二次函数与一元二次方程.doc

二次函数与一元二次方程 南乐县西邵中学 刘贵如函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，它们的形式虽然不同，但本质上是相互连接的，有密切关系。函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一.二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一,更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。在历届淮安市中考试题中，二次函数都是不可缺少的内容。二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。二次函数与一元二次方程知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会贯通. 二次函数 定义与定义表达式，一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。重要概念：（a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）二次函数表达式的右边通常为二次。x是自变量，y是x的二次函数 二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)顶点式抛物线的顶点 P(h，k) ：y=a（x）2交点式仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线：y=a(x-x1 2)(x-x22)以上3种形式可进行如下转化：一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a),(4ac-b2)/4a，即h=-b/2a=(x1 +x2)/2k=(4ac-b2)/4a一般式和交点式的关系x1,x2=-b(b2_4ac)/2a(即一元二次方程求根公式) 二次函数的图像编辑本段在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P (-b/2a ，(4ac-b2)/4a ，当-b/2a=0时，P在y轴上；当= b2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左侧； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a0,若要b/2a小于0，则a、b要异号事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数= b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。= b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。6二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2 +k，y=ax2+bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同。一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。判定一个数是否是方程的根;用配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程。运用开平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程，领会降次转化的数学思想。利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.二次函数y=ax2+bx+c的图像(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数