二次方程根的分布情况归纳(完整版)

精品文档 1欢迎下载 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1 一元二次方程根的分布情况0 2 cbxax 设方程的不等两根为且 相应的二次函数为 2 00axbxca 12 x x 12 xx 2 0f xaxbxc 方程的根即为二次函数图象与轴的交点 它们的分布情况见下面各表 每种情况对应的均是充要条件 x 表一 两根与 0 的大小比较即根的正负情况 分布情况 两个负根即两根都小于 0 12 0 0 xx 两个正根即两根都大于 0 12 0 0 xx 一正根一负根即一个根小于 0 一个大于 0 12 0 xx 大致图象 0 a得出的结论 0 0 2 00 b a f 0 0 2 00 b a f 00 f 大致图象 0 a得出的结论 0 0 2 00 b a f 0 0 2 00 b a f 00 f 综合结论 不讨论 a 0 0 2 00 b a a f 0 0 2 00 b a a f 00 fa 精品文档 2欢迎下载 表二 两根与 的大小比较 k 分布情况 两根都小于即 k kxkx 21 两根都大于即 k kxkx 21 一个根小于 一个大于即k k 21 xkx 大致图象 0 a得出的结论 0 2 0 b k a f k 0 2 0 b k a f k 0 kf 大致图象 0 a得出的结论 0 2 0 b k a f k 0 2 0 b k a f k 0 kf 综合结论 不讨论 a 0 2 0 b k a a f k 0 2 0 b k a a f k 0 kfa k k k 精品文档 3欢迎下载 表三 根在区间上的分布 分布情况 两根都在内 nm 两根有且仅有一根在内 nm 图象有两种情况 只画了一种 一根在内 另一根在 nm 内 qp qpnm 大致图象 0 a得出的结论 0 0 0 2 f m f n b mn a 0 nfmf 或 0 0 0 0 f m f n fp f q 0 0 f m f n fp f q 大致图象 0 a得出的结论 0 0 0 2 f m f n b mn a 0 nfmf或 0 0 0 0 f m f n fp f q 0 0 f m f n fp f q 综合结论 不讨论 a 0 nfmf 0 0 qfpf nfmf 根在区间上的分布还有一种情况 两根分别在区间外 即在区间两侧 图形分别如下 nm 12 xm xn 需满足的条件是 精品文档 4欢迎下载 1 时 2 时 0a 0 0 f m f n 0a 0 0 f m f n 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明 1 两根有且仅有一根在内有以下特殊情况 nm 若或 则此时不成立 但对于这种情况是知道了方程有一根为或1 0f m 0f n 0f mf n Am 可以求出另外一根 然后可以根据另一根在区间内 从而可以求出参数的值 如方程n nm 在区间上有一根 因为 所以 2 220mxmx 1 3 10f 2 2212mxmxxmx 另一根为 由得即为所求 2 m 2 13 m 2 2 3 m 方程有且只有一根 且这个根在区间内 即 此时由可以求出参数的值 然后再将参数2 nm 0 0 的值带入方程 求出相应的根 检验根是否在给定的区间内 如若不在 舍去相应的参数 如方程 有且一根在区间内 求的取值范围 分析 由即 2 4260 xmxm 3 0 m 300ff A 得出 由即得出或 当 141530mm 15 3 14 m 0 2 164 260mm 1m 3 2 m 时 根 即满足题意 当时 根 故不满足题意 1m 23 0 x 1m 3 2 m 33 0 x 3 2 m 综上分析 得出或 15 3 14 m 1m 根的分布练习题根的分布练习题 例 1 已知二次方程有一正根和一负根 求实数的取值范围 2 21210mxmxm m 解 由 即 从而得即为所求的范围 2100mf A 2110mm 1 1 2 m 例 2 已知方程有两个不等正实根 求实数的取值范围 2 210 xmxm m 精品文档 5欢迎下载 解 由 0 1 0 2 2 00 m f A 2 180 1 0 mm m m 32 232 2 0 mm m 或 或即为所求的范围 032 2m 32 2m 例 3 已知二次函数与轴有两个交点 一个大于 1 一个小于 1 求 2 22433ymxmxm x 实数的取值范围 m 解 由 即 即为所求的范围 210mf A 2210mm A 1 2 2 m 例 4 已知二次方程只有一个正根且这个根小于 1 求实数的取值范围 2 2340mxmx m 解 由题意有方程在区间上只有一个正根 则 即为所 0 1 010ff A 4 310m A 1 3 m 求范围 注 本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内 由计算检验 均不复合题 0 10 意 计算量稍大 精品文档 6欢迎下载 2 2 二次函数在闭区间上的最大 最小值问题探讨 nm 设 则二次函数在闭区间上的最大 最小值有如下的分布情况 00 2 acbxaxxf nm a b nm 2 即n a b m 2 nm a b 2 nm a b 2 图象最大 最小值 nfxf mfxf min max a b fxf mfnfxf 2 max min max mfxf nfxf min max 对于开口向下的情况 讨论类似 其实无论开口向上还是向下 都只有以下两种结论 1 若 则 nm a b 2 nf a b fmfxf 2 max max nf a b fmfxf 2 min min 2 若 则 nm a b 2 nfmfxf max max nfmfxf min min 另外 当二次函数开口向上时 自变量的取值离开轴越远 则对应的函数值越大 反过来 当二次函数开x 口向下时 自变量的取值离开轴越远 则对应的函数值越小 x 二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上的最值练习 二次函数在闭区间上求最值 讨论的情况无非就是从三个方面入手 开口方向 对称轴以及闭区间 以下三 个例题各代表一种情况 例 1 函数在上有最大值 5 和最小值 2 求的值 2 220f xaxaxb a 2 3 a b 解 对称轴 故函数在区间上单调 0 12 3x f x 2 3 1 当时 函数在区间上是增函数 故 0a f x 2 3 max min 3 2 f xf f xf 325 22 ab b 1 0 a b 精品文档 7欢迎下载 2 当时 函数在区间上是减函数 故 0a f x 2 3 max min 2 3 f xf f xf 25 322 b ab 1 3 a b 例 2 求函数的最小值 2 21 1 3f xxaxx 解 对称轴 0 xa 1 当时 1a min 122yfa 2 当时 13a 2 min 1yf aa 3 当时 3a min 3106yfa 改 1 本题若修改为求函数的最大值 过程又如何 解 1 当时 2a max 3106f xfa 2 当时 2a max 122f xfa 2 本题若修改为求函数的最值 讨论又该怎样进行 解 1 当时 1a max 3106f xfa min 122f xfa 2 当时 12a max 3106f xfa 2 min 1f xf aa 3 当时 23a max 122f xfa 2 min 1f xf aa 4 当时 3a max 122f xfa min 3106f xfa 例 3 求函数在区间上的最小值 2 43yxx 1t t 解 对称轴 0 2x 1 当即时 2t 2t 2 min 43yf ttt 2 当即时 21tt 12t min 21yf 3 当即时 21t 1t 2 min 12yf ttt 例 4 讨论函数的最小值 2 1f xxxa 解 这个函数是一个分段函数 由于上下两段上的对称轴分别 2 2 2 1 1 1 xaxxa f xxxa xaxxa 为直线 当 时原函数的图象分别如下 1 2 3 1 2 x 1 2 x 1 2 a 11 22 a 1 2 a 精品文档 8欢迎下载 因此 1 当时 1 2 a mi