从一道课本习题看平面向量的解题策略

1 x y F3 F2 F1 O OF G 45 F2 F1 F3 从一道课本习题看平面向量的解题策略从一道课本习题看平面向量的解题策略 胡贵平 甘肃省白银市第九中学 甘肃 白银 730913 题目 题目 平面上三个力 作用于一点且处于平衡状态 1 F 2 F 3 F1 1 FN 与的夹角为 求 1 的大小 2 与夹角的大小 2 26 2 FN 1 F 2 F 45 3 F 3 F 1 F 这是人教 A 版高中数学必修 4 P113 一道习题 下面通过五种不同的解法来看平面向 量的解题策略 解法一 几何化 解法一 几何化 如图所示 设 的合力为 与的夹角为 过作 1 F 2 FFF 1 F F 所在直线的垂线 垂足为 则 在中 1 FG GFFG 12 2 2 FFGORt 13 2 2 2 2 2 21 2 2 FFFF 2 1 2 2 sin 2 F F F FG 30 所以 与的夹角为 13 3 F 3 F 1 F 150 点评 点评 向量问题和平面几何问题可以相互转化 向量可以用有向线段表示 向量的模可以用 有向线段的长度表示 向量问题几何化 就是通过解决几何特征的关系解决向量问题 解法二 坐标化 解法二 坐标化 建立如图所示的直角坐标系 因为 45 12 OFF1 1 FN 所以 2 26 2 FN 0 2 26 2 F 2 2 2 2 1 F 213 FFF 21 FF 0 2 26 2 2 2 2 2 2 2 226 13324 2 2 2 226 22 3 F 2 45 F3 F1 F2 O O F3 F1 F2 F 从而与的夹 2 3 1 13 2 2 2 2 2 2 2 226 cos 13 13 13 FF FF FF 3 F 1 F 角为 150 点评 点评 由于向量可以用坐标表示 使得向量的线性运算都可以用坐标来进行 这样数与形就 有机结合起来了 许多问题通过向量的坐标化 避免了繁琐的运算 解法三 代数化 解法三 代数化 三个力 作用于一点且处于平衡状态 所以 1 F 2 F 3 F 即0 321 FFF 213 FFF 2 221 2 1 2 221 2 1213 45cos22FFFFFFFFFFF 13324 2 26 2 2 2 26 21 2 2 3 1 13 2 2 2 26 11 cos 13 21 2 1 13 121 13 13 1 FF FFF FF FFF FF FF FF3 从而与的夹角为 3 F 1 F 150 点评 点评 从向量的代数特征着手解决问题 如 2 aa 222 2 bbaaba 都是向量代数化的基本形式 22 bababa BAAB 2211 eea 解法四 物理化 解法四 物理化 三个力 作用于一点且处于平衡状态 所以 1 F 2 F 3 F 0 321 FFF 由拉密定理 32 3 13 2 32 1 sinsinsinOFF F OFF F OFF F 即 45sinsin 2 26 sin 315 1 3 1313 F OFFOFF 由 1313 sin 2 26 sin 315 1 OFFOFF 3 O F3 F1 F2 F 即 解得 从而与 1313 sin 45sin 2 26 OFFOFF 3 3 tan 13 OFF 3 F 的夹角为 1 F 15013 3 F 点评 点评 对于三个力的平衡 物理中可以用拉密定理求解 物理量之间的关系可以抽象成数学 关系 数学关系又可以解释相应的物理现象 两者联系紧密 解法五 模型化 解法五 模型化 如图所示 设 的合力为 则 因为 1 F 2 FF 3 FF 45 21 OFF 所以 在中 由余弦定理得 135 1 OFFFOF1 324cos2 121 2 21 2 1 2 OFFOFOFFFOFOF 所以 13324 OF 即 13 3 F 又由正弦定理得 所以 从而与的夹角为 2 1 sin sin 11 1 OF OFFFF OFF 30 1 O