圆与圆的位置关系教学设计

1 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 崔世轮 绥德中学 本节课的教学内容选自北师大普通高中课程标准实验教科书数学必修 2 第二章 2 3 2 圆与圆的位 置关系 是第 2 课时 教学内容分析教学内容分析 1 1 圆圆 的地位与作用的地位与作用 课程标准 指出 在 解析几何初步 这个单元 学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的 代数方程 运用代数方法研究几何性质 体会数形结合的思想 第四章 圆 是在学生学习了第三章 直线方程 之后 对 解析法 的思想的进一步学习 初中的 教学中已经初步介绍了圆的基础知识 再次学习的时候 不仅要让学生能够使用 解析法 的工具 更 要体会这种方法的优越性和必要性 2 2 本节课的地位与作用 本节课的地位与作用 圆与圆的位置关系 位于 解析几何初步 这个单元的末尾 应该起到三个作用 1 完善圆的知识体系 2 升华数形结合思想 3 为后续教学做准备 教学目标设置教学目标设置 1 学生掌握判断两个圆的位置关系的方法 能够根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系 2 学生理解两种判断方法的数学本质与不同的适用范围 从而进一步感受 几何问题代数化 得以 实现的数学本质 也就是曲线与方程的关系 其中教学的重点是 圆与圆的位置关系的两种判定方法的操作步骤 教学的难点是 两种判断方法 的数学本质与适用范围 学生学情分析学生学情分析 此时的学生处于从初中到高中的转型期 常常感觉旧的学习方法不适于学习更加抽象的高中知识 所 2 以 他们不仅需要透彻理解数学原理 而且 对学习方法也有渴求 在本节课之前 学生已经学习了直线和圆的方程 直线与圆的位置关系 初步了解了 坐标法 的特 征 教学策略分析教学策略分析 为了实现教学目标 我设计了 三层四段五问 教学模式 1 准备阶段准备阶段 包括预习 复习 目标展示等环节 2 探究阶段探究阶段 这是课堂的主体 解决是什么 怎么用 何时用的问题 3 运用阶段运用阶段 包括模仿练习 比较练习 巩固练习等 我将它们穿插在问题解决的过程中 4 建构阶段建构阶段 包括为什么学和怎样发展两个问题 使得新知识融入旧的知识体系 并促进知识体系的 再生长 是什么 怎么用 何时用 为什么学和怎样发展 等五个问题 对应着数学知识学习的三个层次 数 学工具品质 认知品质和研究品质 这样 可以使得不同水平的学生均能有所收获 教学流程框图教学流程框图 本节课希望以清晰的脉络 让学生体会知识产生发展的过程 逐步培养适合新知识的学习方式 教 学的主要过程设计如下 复习引入阶段复习引入阶段 一 预习候课 二 概念复习 三 明确任务 3 问题解决阶段问题解决阶段 问题生成阶段问题生成阶段 第一部分 怎么用第一部分 怎么用 一 怎样判断两圆关系 策略一 d r 比较法 二 怎样判断两圆关系 策略二 联立方程法 三 强化练习 第二部分 何时用第二部分 何时用 四 两种策略比较 五 核心思想深化 六 逆向练习 一 为什么再次学习 圆与圆 的位置关系 二 学完了这节课之后 你还 能提出哪些与两圆位置关系相关 的新问题 三 布置作业 4 教学过程设计教学过程设计 第一阶段第一阶段 复习引入阶段复习引入阶段 计划用时 计划用时 4 4 分钟 分钟 分为四个步骤 一 侯课阶段 二 概念复习 三 明确任务 预 计 时 间 教 学 内 容 教师活动学生活动教学评价 0 分 钟 预预 习习 候候 课课 操作 操作 展示本节课题和课前预习问题 1 圆与圆的位置关系有哪几种情况 你还记得初中课本中 是如何定义的吗 2 通过学习课本中例题 3 归纳利用两种方法判断圆与圆 的位置关系的步骤 3 回答例 3 旁注中的问题 两圆方程作差之后的直线有什 么特征 为什么 1 预知教学 内容 逐渐 进入教学状 态 2 准备与本 节课相关的 教材及其它 工具 我们经常见到 当老师开始上课后 学生才匆匆忙忙寻 找相关书籍或作业 的情景 所以 在 侯课阶段 屏幕上 投影一些暗示教学 内容的材料 会有 很好的效果 3 分 钟 概概 念念 复复 习习 1 导言导言 今天我们学习的内容是圆与圆的位置关系 那 么 圆与圆的位置关系一共有多少种呢 学生齐答 五种 在自学作业中 同学们已经归纳了位置关系 我选择 两个同学的作业来展示 2 操作操作 展示两名学生对自学问题 1 圆与圆的位圆与圆的位 置关系有哪几种情况 你还记得初中课本中是如何置关系有哪几种情况 你还记得初中课本中是如何 定义的吗 定义的吗 的回答 3 点评点评 第一名同学不仅给出了位置关系分类 而 且画出了示意图 但是 在名称中有一处错误 同 学们看出来了吗 此外 第一名同学给出的定义实际上是判定方法 而第二名同学的定义才与教材相符 4 操作操作 展示初中教材内容以及思维导图 教师进 1 展示预 习作业 回 忆两圆位置 关系的定义 2 发现屏 幕中投影的 作业中存在 的问题 完 善 相离包 含外离和内 含 这一认 识 通过展示作业 发现学生中存在 的问题 使得讲 解更有针对性 利用初中的知识 创造先行组织者 也为课堂后期的 对比打下伏笔 5 行讲解 1 分 钟 明明 确确 任任 务务 1 导言导言 今天 我们再一次来学习圆于圆的位置关系 我想重点说明三个问题 第一个 怎样判断位置关系 第 二个 不同判断方法的本质与适用范围 第三个 我们为 什么要再次学习两个圆的位置关系 2 操作 投影本节课的教学任务 感知本节课 的教学内容 由于本节课的 内容学生初中学 过 又经过了课 前预习 学生很 可能自我感觉良 好 产生倦怠情 绪 这时 明确 告诉学生这节课 要讲什么 他会 意识到 原来还 有这么多问题我 们没有想到啊 第二阶段第二阶段 问题解决阶段问题解决阶段 计划用时 计划用时 3434 分钟 分钟 第一部分 怎么用第一部分 怎么用 分为三个步骤 一 怎样判断两圆关系 策略一 d r 比较法 二 怎样判断两圆关系 策略二 联立方程法 三 强化练习 预 计 时 间 教 学 内 容 教师活动学生活动教学评价 8 分 钟 怎怎 样样 判判 断断 两两 圆圆 关关 系 系 1 导言导言 首先 我们来探索怎样判断两个圆的位置关系 教材中仅仅有一个例题 讲了两种方法 同学们在自学作 业中也进行了归纳 这两种判断方法各是怎样的呢 2 操作操作 展现例题 教材例 3 已知圆 圆 22 1 2880C xyxy 试判断圆和圆的位置关系 22 2 4420Cxyxy 1 C 2 C 3 操作操作 展现两名学生对自学问题 2 通过学习课本中通过学习课本中 与教师共同归 纳利用 d r 比较法 的解 题流程 第一步 化成 标准形式 第二步 计算 圆心距离 d 以 及 1212 rr rr 通过 展现学生解 答 展现教师解 答 共同总结归 纳 动态演示 等环节 帮助学生 牢固的掌握知识技 能 归纳简洁的判 断流程 就可以加 强教学效果 又可 以为不久之后要学 习的 算法 埋下 6 策策 略略 一一 例题例题 3 3 归纳利用两种方法判断圆与圆的位置关系 归纳利用两种方法判断圆与圆的位置关系 的步骤 的步骤 的回答 4 点评点评 我能感受到同学们基本掌握了判断两圆位置关 系的方法 但是 如果更加条理分明一些是不是更好呢 5 操作操作 展示 d r 比较法 的解答步骤 并实际板演解 题过程 在此过程中 特别要讲解如何比较 的大小关系 否则 会有一些学生明明知3 5510 与 道如何判断 却不能得出最后结果 方法 1 平方比较 方法 2 中间值比较 注意到而 3 57 5 5108 5 归纳归纳 与学生共同归纳出利用 d r 比较法 的解题流 程 6 操作操作 利用 几何画板 直观演示不同的关系 列表 展示其判断条件 第三步 比较 d 与 的 1212 rr rr 关系 伏笔 8 分 怎怎 样样 判判 1 导言导言 我们又学了一种方法 称为 联立方程法 怎么操做呢 2 操作操作 板演利用 联立方程法 的解题过程 并指导 学生重新归纳解答步骤 3 点评点评 教师总结解答步骤 第一步 联立方程 这时 我们对比 d r 比较法 我们为了方程好解 是不是一般 方程更好一些呀 而曾经的时候 为了得到圆心和半径 我们化成标准式 第二步 消元变成关于 x 或 y 的方程 怎么消元呢 要看具体情况来做了 变成了一个方程之后 第三步 我们开始判断根的个数 有时可以解出来 解不 出来时可以用判别式来判断 独立归纳利用 联立方程法 的解题流程 学生可能的归 纳如下 第一步 联立 方程 第二步 消元 解方程 在上一步共同归纳 的基础上 由学生 独立完成解题流程 的归纳 可以锻炼 学生的总结分析能 力 7 钟断断 两两 圆圆 关关 系 系 策策 略略 二二 3 导言导言 现在 我们想一个深层次的问题 联立方程法 的原理是什么 它本来是一个几何问题 结果变成了一个 方程的问题 这种思想叫什么 学生齐答 数形结合 要研究的是两个圆的交点 而我们却把它变成了两个方程 的解 交点的个数就等价于解的个数 这个过程 就是把 几何问题代数化这是整个解析几何的基础 4 板书板书 代数化 圆的交点方程组的解 3 分 钟 强强 化化 练练 习习 1 导言导言 我们把例题的两种解法都学完了之后 需要大 家去训练 学会这些方法 下面看练习 1 要求大家用两 种方法完成这道目 2 操作操作 投影练习 1 指导学生用两种方法解决 已知圆 圆 22 1 231 0C xyxy 试判断圆和圆的位置关系 22 2 4320Cxyxy 1 C 2 C 2 操作操作 投影展示两名学生的解答过程 3 点评点评 指出学生解答的优点与不足 学生自主完成 强化练习 这两种方法的讲解 都是用传统的 演 示 归纳 练 习 模式 保证所 有学生掌握两种判 断方法 归纳简洁 的判断流程 就可 以加强教学效果 又可以为不久之后 要学习的 算法 埋下伏笔 第二部分 何时用第二部分 何时用 分为三个步骤 一 两种策略比较 二 核心思想深化 三 逆向练习 预 计 时 间 教 学 内 容 教师活动学生活动教学评价 6 两两 1 导言导言 这两种方法学完了 在操作实践的基础上 我 想问大家一个问题 这两种方法 哪个更好一些呢 学生议论纷纷 1 自主完成 两个练习 2 小组交流 一题多解 是 锻炼学生发散思维 的一种有效手段 但是 之后的 多 8 分 钟 种种 策策 略略 对对 比比 好 争论暂时停一下吧 到底哪个更好呢 我想如果 有更多的经验更好一些 所以 咱们再来完成两个题目 当你把这两道题做完 之后 先独立思考一下 三分钟之后 同学们可以互相交 流一下自己的想法 2 操作操作 展示两个练习 练习 2 已知曲线与曲线 22 2 220Cxyxy 试判断有几个交点 22 2 461 0Cxyxy 练习 3 已知曲线与曲线 2 2 220Cxxy 2 2 461 0Cxxy 试判断有几个交点 3 操作操作 教师结合学生发言 展示上述两题的示意图与 解答 4 归纳归纳 利用表格形式 展示两种策略的适用范围及判 断方法 对两种策略的 比较 3 小组代表 发言 阐述观 点 解归一 更重要 归一 常有两种 方式 一是比较不 同方法的特征 从 中选择一种最佳的 二是从中寻找这些 方法的共同本质 加深学生的认识 9 5 点评点评 判断什么好什么坏是辩证的 没有一个万能的 方法解决所有的问题 我们要具体问题具体分析 针对这 节课来讲 我们判断的是圆与圆的位置关系 还是用第一 种方法 d r 比较法 更好一些 之所以 d r 比较法 看起来更好一些 是由于圆自身 的完全对称性 而 联立方程法 在判断其他曲线的位置 关系时更有普遍性 6 分 钟 核核 心心 思思 想想 深深 化化 1 导言导言 利用 联立方程法 还有一个附加的产品 我 们看自学作业中的问题 3 两圆方程作差之后的直线有两圆方程作差之后的直线有 什么特征 为什么 什么特征 为什么 2 操作操作 展示两名同学的回答 3 点评点评 回答的关键是 符合两圆方程的点的坐标必然 符合直线方程 两圆交点代数化后是方程的解 如果 这个方程的解符合直线方程 则说明直线方程过两点 这 节课一直在进行代数问题和几何问题的转换 这不就是数 形结合的思想吗 4 操作操作 证明两圆方程作差之后的直线方程就是相交弦 所在直线方程 5 板书板书 代数化 符合 几何化 圆的交点 方程组的解 直线方程 直线过两交点 完善课前预习 问题 3 的回答 体会数与形相 互转化的过程 这一部分既解决 了教材中提出的问 题 又体现了 多 解归一 的第二种 方式 从中寻找这 些方法的共同本质 3 分 逆 向 1 导言导言 经过比较我们已经知道 用 d r 比较法 比用 联立方程法 对圆来讲更适合一些 所以 既然我们选 它就要用好它 第二组练习都是已知了它们的关系或者说 能判断出关系 反过来求参数的取值范围 1 自主完成 练习 2 回答结果 和思维过程 学生通过这两个练 习 在已经学会了 判断两圆关系的基 础上 从逆向掌握 已知两圆关系 10 钟训 练 2 操作操作 要求学生完成两个巩固性的逆向训练 练习 4 集合 22 4 Ax yxy 其中 若 222 3 4 Bx yxyr 0r 中有且仅有一个元素 则的值是 AB r 练习 5 已知圆与没有公共 22 1xay 22 25xy 点 求正数 a 的取值范围 3 操作操作 教师点名选择两名同学回答 要求说出结果和 简要思维过程 注意 每道题都是两种情况 练习 4 答案 37r 或 练习 5 答案 46aa 或 求参数 的问题 同时 强化了严密 的思维习惯 第三阶段第三阶段 问题生成阶段问题生成阶段 计划用时 计划用时 7 7 分钟 分钟 分为三个步骤 一 为什么再次学习 圆与圆的位置关系 二 学完了这节课之 后 你还能提出哪些与两圆位置关系相关的新问题 三 布置作业 预 计 时 间 教 学 内 容 教师活动学生活动教学评价 1 导言导言 初中我们已经学过了圆与圆的位置关系 那么 高中为什么要在学一次呢 请结合本节课乃至本章的学习 谈谈你的观点 2 操作操作 引导学生举手回答问题 3 点评点评 初中学习两圆位置关系 注重的是直观特征 思考并表达个 人观点 这部分内容可以起 到很好的分层教学 的效果 确实有一 些学生 不满足于 仅仅会做题 而希 望清楚地知道知识 的来龙去脉 教师 11 3 分 钟 再再 次次 学学 习习 的的 原原 因因 高中再次学习 是在引入坐标系的基础上 侧重于量的的 计算 从这个意义上说 我们今天所学的 d r 比较法与联 立方程的方法本质上是同一种方法 坐标法 利用坐标法研究几何问题 不仅仅是一种看起来 高大 上 的手段 而且 它确实能够起到细致入微的作用 这 再一次证明了华罗庚先生的名言 数缺形时少直观 形 少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 所能做的 就是通 过自己的引领示范 让这样的学生不断 增多 同时 这部 分起到了小结的作 用 但比传统的小 结更能吸引学生 此外 日全食 的例子再次出现 具有前后呼应的效 果 3 分 钟 提提 出出 新新 问问 题题