二次函数知识点总结

二次函数知识点总结及相关典型题目二次函数知识点总结及相关典型题目 第一部分第一部分 二次函数基础知识二次函数基础知识 相关概念及定义 二次函数的概念 一般地 形如 是常数 的函 2 yaxbxc abc 0a 数 叫做二次函数 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数 0a 而可以为零 二次函数的定义域是全体实数 bc 二次函数的结构特征 2 yaxbxc 等号左边是函数 右边是关于自变量的二次式 的最高次数是 2 xx 是常数 是二次项系数 是一次项系数 是常数项 abc abc 二次函数各种形式之间的变换 二次函数用配方法可化成 的形式 其中cbxaxy 2 khxay 2 a bac k a b h 4 4 2 2 二次函数由特殊到一般 可分为以下几种形式 2 axy kaxy 2 2 hxay khxay 2 cbxaxy 2 二次函数解析式的表示方法 一般式 为常数 2 yaxbxc abc0a 顶点式 为常数 2 ya xhk ahk0a 两根式 是抛物线与轴两交点的横坐标 12 ya xxxx 0a 1 x 2 xx 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数 都可以写成交点式 只有抛物线与轴有交点 即时 抛物线的解析式x 2 40bac 才可以用交点式表示 二次函数解析式的这三种形式可以互化 二次函数的性质 2 axy 二次函数的性质 2 yaxc 的符号 a 开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 00 轴 y 时 随的增大而增大 时 0 x y x0 x 随的增大而减小 时 有最小 y x0 x y 值 0 0a 向下 00 轴 y 时 随的增大增大而减小 0 x y x 时 随的增大而增大 时 0 x y x0 x 有最大值 y 0 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质性质 二次函数的性质 2 ya xh 二次函数的性质 2 ya xhk 抛物线的三要素 开口方向 对称轴 顶点 2 yaxbxc 的符号决定抛物线的开口方向 当时 开口向上 当时 开口向a0 a0 a 下 相等 抛物线的开口大小 形状相同 a 对称轴 平行于轴 或重合 的直线记作 特别地 轴记作直线y 2 b x a y 0a 向上 0c 轴y 时 随的增大而增大 时 0 x yx0 x 随的增大而减小 时 有最小yx0 x y 值 c 0a 向下 0c 轴y 时 随的增大而减小 时 0 x yx0 x 随的增大而增大 时 有最大yx0 x y 值 c 的符a 号 开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0h X h 时 随的增大而增大 时 随xh yxxh y 的增大而减小 时 有最小值 xxh y0 0a 向下 0h X h 时 随的增大而减小 时 随xh yxxh y 的增大而增大 时 有最大值 xxh y0 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 hk X h 时 随的增大而增大 时 xh yxxh 随的增大而减小 时 有最小yxxh y 值 k 0a 向下 hk X h 时 随的增大而减小 时 xh yxxh 随的增大而增大 时 有最大yxxh y 值 k 0 x 顶点坐标坐标 a bac a b 4 4 2 2 顶点决定抛物线的位置 几个不同的二次函数 如果二次项系数相同 那么抛a 物线的开口方向 开口大小完全相同 只是顶点的位置不同 抛物线中 与函数图像的关系cbxaxy 2 cba 二次项系数a 二次函数中 作为二次项系数 显然 2 yaxbxc a0a 当时 抛物线开口向上 越大 开口越小 反之的值越小 开口越大 0a aa 当时 抛物线开口向下 越小 开口越小 反之的值越大 开口越大 0a aa 总结起来 决定了抛物线开口的大小和方向 的正负决定开口方向 的大小决aaa 定开口的大 小 一次项系数b 在二次项系数确定的前提下 决定了抛物线的对称轴 ab 在的前提下 0a 当时 即抛物线的对称轴在轴左侧 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在轴的右侧 0b 0 2 b a y 在的前提下 结论刚好与上述相反 即0a 当时 即抛物线的对称轴在轴右侧 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在轴的左侧 0b 0 2 b a y 总结起来 在确定的前提下 决定了抛物线对称轴的位置 ab 总结 常数项c 当时 抛物线与轴的交点在轴上方 即抛物线与轴交点的纵坐标为正 0c yxy 当时 抛物线与轴的交点为坐标原点 即抛物线与轴交点的纵坐标为 0c yy0 当时 抛物线与轴的交点在轴下方 即抛物线与轴交点的纵坐标为0c yxy 负 总结起来 决定了抛物线与轴交点的位置 cy 总之 只要都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 abc 求抛物线的顶点 对称轴的方法 公式法 顶点是 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 对称轴是直线 a bac a b 4 4 2 2 a b x 2 配方法 运用配方的方法 将抛物线的解析式化为的形式 得 khxay 2 到顶点为 对称轴是直线 h khx 运用抛物线的对称性 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形 所以对称轴的 连线的垂直平分线是抛物线的对称轴 对称轴与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点 再用公式法或对称性进行验证 才能做到万无一失 用待定系数法求二次函数的解析式 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般式 cbxaxy 2 xy 顶点式 已知图像的顶点或对称轴 通常选择顶点式 khxay 2 交点式 已知图像与轴的交点坐标 通常选用交点式 x 1 x 2 x 21 xxxxay 直线与抛物线的交点 轴与抛物线得交点为 0 ycbxaxy 2 c 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点 yhx cbxaxy 2 h cbhah 2 抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐xcbxaxy 2 x 标 是对应一元二次方程的两个实数根 抛物线与轴的 1 x 2 x0 2 cbxaxx 交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定 有两个交点抛物线与轴相交 0 x 有一个交点 顶点在轴上 抛物线与轴相切 x 0 x 没有交点抛物线与轴相离 0 x 平行于轴的直线与抛物线的交点x 可能有 0 个交点 1 个交点 2 个交点 当有 2 个交点时 两交点的纵坐标相等 设 纵坐标为 则横坐标是的两个实数根 kkcbxax 2 一次函数的图像 与二次函数的图像 0 knkxyl 0 2 acbxaxy 的交点 由方程组 的解的数目来确定 方程组有两组不G 2 ykxn yaxbxc 同的解时与有两个交点 方程组只有一组解时与只有一个交点 lG lG 方程组无解时与没有交点 lG 抛物线与轴两交点之间的距离 若抛物线与轴两交点为xcbxaxy 2 x 由于 是方程的两个根 故 00 21 xBxA 1 x 2 x0 2 cbxax a c xx a b xx 2121 aa acb a c a b xxxxxxxxAB 44 4 2 2 21 2 21 2 2121 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用一般式或顶点式表 达 关于轴对称x 关于轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc x 2 yaxbxc 关于轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk x 2 ya xhk 关于轴对称y 关于轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc y 2 yaxbxc 关于轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk y 2 ya xhk 关于原点对称 关于原点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 yaxbxc 关于原点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 关于顶点对称 关于顶点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 2 2 b yaxbxc a 关于顶点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 关于点对称 mn 关于点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk mn 2 22ya xhmnk 总结 根据对称的性质 显然无论作何种对称变换 抛物线的形状一定不会发生 变化 因此永远不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时 可以依据题意或方a 便运算的原则 选择合适的形式 习惯上是先确定原抛物线 或表达式已知的抛 物线 的顶点坐标及开口方向 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向 然 后再写出其对称抛物线的表达式 二次函数图象的平移 平移步骤 将抛物线解析式转化成顶点式 确定其顶点坐标 2 ya xhk hk 保持抛物线的形状不变 将其顶点平移到处 具体平移方法如下 2 yax hk h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k0a 0 图像 y 0 x y 0 x 性质 1 抛物线开口向上 并向上无限延伸 2 对称轴是 x 顶点坐标是 a b 2 a b 2 a bac 4 4 2 3 在对称轴的左侧 即当 x 1 抛物线开口向下 并向下无限延伸 2 对称轴是 x 顶点坐标是 a b 2 a b 2 a bac 4 4 2 3 在对称轴的左侧 即当 x时 y 随 x 的增大而减小 简 a b 2 记左增右减 4 抛物线有最高点 当 x 时 y 有最 a b 2 大值 a bac y 4 4 2 最大值 2 二次函数中 的含义 0 2 acbacbxaxy是常数 cb a 表示开口方向 0 时 抛物线开口向上aa 0 时 图像与 x 轴有两个交点 当 0 时 图像与 x 轴有一个交点 当 0 时 图像与 x 轴没有交点 知识点五知识点五 中考二次函数压轴题常考公式 必记必会 理解记忆 中考二次函数压轴题常考公式 必记必会 理解记忆 1 两点间距离公式 当遇到没有思路的题时 可用此方法拓展思路 以寻求解题方 法 y 如图 点 A 坐标为 x1 y1 点 B 坐标为 x2 y2 则 AB 间的距离 即线段 AB 的长度为 A 2 21 2 21 yyxx 0 x B 知识点五知识点五 二次函数二次函数图象的画法图象的画法 2 yaxbxc 五点绘图法 利用配方法将二次函数化为顶点式 2 yaxbxc 2 ya xhk 确定其开口方向 对称轴及顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画图 一般我们选取的五点为 顶点 与轴的交点 以及关于对称轴对y 0c 0c 称的点 与轴的交点 若与轴没有交点 则取两组 2hc x 1 0 x 2 0 x x 关于对称轴对称的点 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与轴的交点 与轴的xy 交点 已知二次函数 0 2 acbxaxy的图象如图所示 则下列结论中正确的是 A 00b0 ca B 00b0 ca C 00b0 ca D 00b0 ca 函数 0 2 a x a yaaxy与在同一坐标系中的图象可能是 特别记忆特别记忆 同左上加同左上加 异右下减异右下减 必须理解记忆必须理解记忆 说明 函数中 ab 值同号 图像顶点在 y 轴左侧同左同左 a b 值异号 图像顶点必在 Y 轴 右侧异右异右 向左向上移动为加左上加左上加 向右向下移动为减右下减右下减 3 直线斜率 b为直线在y轴上的截距4 直线方程 12 12 tan xx yy k 4 4 两点两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程 简称两式 tan 1 12 12 1 xxx xx yy bxbkxyy 此公式有多种变形此公式有多种变形 牢记牢记 点斜点斜 11 xxkxyy 斜截斜截 直线的斜截式方程 简称斜截式 y kx b k 0 截距截距 由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程 简称截距式 x y 1 b y a x 牢记牢记 口诀口诀 两点斜截距两点斜截距 两点两点 点斜点斜 斜截斜截 截距截距 5 设两条直线分别为 若 则有 1 l 11 yk xb 2 l 22 yk xb 12 ll x y Ox y Ox y Ox y O A B C D 且 若 1212 llkk 12 bb 1212 1llkk 6 点P x0 y0 到直线y kx b 即 kx y b 0 的距离 1 1 2 00 22 00 k bykx k bykx d 7 7 抛物线抛物线中 中 a a b b c c 的作用的作用cbxaxy 2 1 决定开口方向及开口大小 这与中的完全一样 a 2 axy a 2