函数与方程 (2)

高二数学导学案 编制人 杨巍 审核 高二数学组 使用日期 2013 5 编号 用最多的梦面对未来 用最少的浪费面对现在 第 8 讲 函数与方程 学习目标 1 考查具体函数的零点的取值范围和零点个数 2 利用函数零点求解参数的取值范围 基础梳理 基础梳理 1 函数的零点 1 函数的零点的概念 对于函数 y f x 把使 f x 的实数 x 叫做函数 y f x 的零 点 2 函数的零点与方程的根的关系 方程 f x 0 有实根 函数 y f x 的图象与 轴有交点 函数 y f x 有 点 3 零点存在定理 如果函数 y f x 满足 在闭区间 a b 上连续 f a f b 0 则函数 y f x 在 a b 上存在 即存在 c a b 使 得 f c 这个 c 也就是方程 f x 0 的根 2 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 0 0 0 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象 与 x 轴的交点 零点个数 3 二分法 对于在区间 a b 上连续不断 且 f a f b 0 的函数 y f x 通过 不断地把函数 f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐 步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 双基自测 1 人教 A 版教材习题改编 下列函数图象与 x 轴均有交点 其中不 能用二分法求图中函数零点的是 2 函数 f x x 的零点个数是 4 x A 0 B 1 C 2 D 无数个 3 若函数 f x ax b 有一个零点为 2 则 g x bx2 ax 的零点是 A 0 2 B 0 C 0 D 2 1 2 1 2 1 2 4 根据表格中的数据 可以判定方程 ex x 2 0 的一个根所在的 区间为 x 10123 ex0 3712 727 3920 09 x 212345 A 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 3 5 用二分法研究函数 f x x3 3x 1 的零点时 经第一次计算得 f 0 0 f 0 5 0 可得其中一个零点 x0 第二次应计算 这时可判断 x0 高二数学导学案 编制人 杨巍 审核 高二数学组 使用日期 2013 5 编号 用最多的梦面对未来 用最少的浪费面对现在 考向一 函数零点存在性的判断 例 1 设函数 f x x ln x x 0 则 y f x 1 3 A 在区间 1 e 内均有零点 1 e 1 B 在区间 1 e 内均无零点 1 e 1 C 在区间内有零点 在区间 1 e 内无零点 1 e 1 D 在区间内无零点 在区间 1 e 内有零点 1 e 1 判断函数在某个区间上是否存在零点 要根据具体题目 灵活处理 当能直接求出零点时 就直接求出进行判断 当不能 直接求出时 可根据零点存在性定理 当用零点存在性定理也无 法判断时可画出图象判断 训练 1 函数 f x x log2x 的零点所在的区间为 A B C D 0 1 8 1 8 1 4 1 4 1 2 1 2 1 考向二 函数零点个数的判断 例 2 2012 银川调研 若定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f x 2 f x 且当 x 0 1 时 f x x 则函数 y f x log3 x 的零点个数 是 A 多于 4 个 B 4 个 C 3 个 D 2 个 1 直接求零点 令 f x 0 如果能求出解 则有几个解就 有几个零点 2 零点存在性定理 利用该定理不仅要求函数在 a b 上是连续的 曲线 且 f a f b 0 还必须结合函数的图象和性质 如单调性 才能 确定函数有多少个零点 3 画两个函数的图象 看其交点的个数有几个 其中交点的横坐标 有几个不同的值 就有几个不同的零点 训练 2 2010 福建 函数 f x Error Error 的零点个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 考向三 根据函数零点的情况求参数 例 3 已知关于 x 的二次方程 x2 2mx 2m 1 0 1 若方程有两根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求 m 的范围 2 若方程两根均在区间 0 1 内 求 m 的范围 高二数学导学案 编制人 杨巍 审核 高二数学组 使用日期 2013 5 编号 用最多的梦面对未来 用最少的浪费面对现在 训练 3 是否存在这样的实数 a 使函数 f x x2 3a 2 x a 1 在区间 1 3 上与 x 轴恒有一个零点 且只有一个零 点 若存在 求出范围 若不存在 说明理由 难点突破 7 函数零点问题求解方法 一 零点定理法 零点定理法就是根据连续函数 y f x 满足 f a f b 0 则函数区 间 a b 内存在零点 判断函数零点的方法 示例 2011 新课标全国 在下列区间中 函数 f x ex 4x 3 的零点所在的区间为 A B C D