山西省山西大学附中2019-2020学年高一数学上学期12月月考试题

1 山西省山西大学附中山西省山西大学附中 2019 20202019 2020 学年高一数学上学期学年高一数学上学期 1212 月月考试月月考试 题题 一 选择题 共一 选择题 共 1010 小题 每题小题 每题 4 4 分 分 1 已知全集 则 1 2 3 4 5 6 u 1 2 4 6 a 4 5 b bacuu a b c d 4 5 3 5 3 4 5 2 函数的定义域为 31 1 f xxlnx a b c d 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 3 与函数表示同一个函数的是 1yx a b 2 log 1 2 x y 2 1 1 x y x c d 3 3 1 yx 2 1 yx 4 已知是定义在 上的偶函数 那么的值是 2 f xaxbx 1a 2 aab a b c d 1 3 1 3 1 2 1 2 5 已知是函数的一个零点 若 0 x 1 0 f xlnxx x 10 0 xx 20 xx 则 a b 1 0f x 2 0f x 1 0f x 2 0f x c d 1 0f x 2 0f x 1 0f x 2 0f x 6 设为定义在实数集上的偶函数 且在上是增函数 f x f x 0 3 0f 则的解集为 36 0 x f a b 1 2 3 1 log 6 2 2 c d 2 1 2 7 某同学用二分法求方程的近似解 该同学已经知道该方程的一个零点260lnxx 在之间 他用二分法操作了 7 次得到了方程的近似解 那么该近 2 3 260lnxx 似解的精确度应该为 a 0 1b 0 01c 0 001d 0 0001 8 已知函数 的实根个数 2 log f xx 0 01 1 1 2 1 2 x g xf xg x xx 则方程 为 a 2 个b 3 个c 4 个d 5 个 9 已知函数 若有四个互不相等的实数根 2 2 log1 11 x2 1 xx f x x f xa 且 则的取值 范围 1234 x xx x 1234 xxxx 121234 x xxxxx a b c d 0 9 3 4 2 3 01 10 如果函数在其定义域内存在实数 使得成立 则 xf 0 x 1 1 00 fxfxf 称函数为 可拆分函数 若为 可拆分函数 则的取值 xf 12 lg x a xfa 范围是 a b c d 1 3 2 2 3 3 2 3 3 2 3 二 填空题 共二 填空题 共 5 5 小题 每题小题 每题 4 4 分 分 11 设 且 25 ab m 11 2 ab m 12 若函数在区间 上为减函数 则的取值范围是 2 log 2 a yxax 1 a 13 已知 则的取值范围 22 33 1 32 aa a 3 14 某商品在最近 100 天内的单价与时间 的函数关系是 t ft 日销售量与时间 的函数关系是 10040 52 2 400 22 4 ntt t ntt t tf tgt 则该商品的日销售额的最大值是 1000 3 112 3 1 nttttg s t 日销售额 日销售量 单价 15 已知函数 若关于的方程恰有三个实根 则实 2 2 1 1 xa x f x xaa x x 0f x 数的取值范围为 a 三 解答题 共三 解答题 共 4 4 题 共题 共 4040 分 分 16 求值 211 024 324 13 2 9 6 3 1 5 5 48 已知 试用 表示 2 log 3a 3 log 7b ab 14 log 56 17 已知函数是定义在上的奇函数 满足 当时 有 f x 4 4 1 2 f04 x 4 axb f x x 1 求实数 的值 ab 2 求函数在区间上的解析式 并利用定义证明证明其在该区间上的单调性 f x 0 4 4 3 解关于的不等式 m 1 2 0 mm f efe 18 已知函数 且 3 log 3 m x f x x 0m 1m 1 判断的奇偶性并证明 f x 2 若 是否存在 使在的值域为0 f 0 xf 若存在 求出此时的取值范围 若不存在 请说明理由 log1 log1 mm m 19 定义在上的函数 如果满足 对任意 存在常数 都有 d f x xd 0m 成立 则称是上的有界函数 其中称为函数的一个上 f xm f x dm f x 界 已知函数 11 1 24 xx f xa 1 2 1 log 1 ax g x x 1 若函数为奇函数 求实数的值 g x a 2 在 1 的条件下 求函数在区间上的所有上界构成的集合 g x 9 3 7 5 3 若函数在上是以 5 为上界的有界函数 求实数的取值范围 xf 0 a 高一年级第一学期高一年级第一学期 1212 月数学考试答案月数学考试答案 一 选择题 共一 选择题 共 1010 小题 小题 1 已知全集 2 3 4 5 2 4 则 1u 6 1a 6 4b 5 ua b a b c d 4 4 5 35 35 考点 交 并 补集的混合运算1h 分析 进行并集和补集的运算即可 解答 解 2 3 4 5 2 4 1u 6 1a 6 4b 5 4 3 ua 5 3 ua b 5 故选 d 2 函数的定义域为 31 1 f xxlnx a b c d 1 31 1 31 1 31 1 31 考点 33 函数的定义域及其求法 分析 可看出 要使得有意义 则需满足 解出的范围即可 f x 31 0 10 x x x 解答 解 要使有意义 则 解得 f x 31 0 10 x x 1 1 3 x 的定义域为 f x 1 1 3 故选 b 3 与函数表示同一个函数的是 1yx 6 a b 2 log 1 2 x y 2 1 1 x y x c d 3 3 1 yx 2 1 yx 考点 32 判断两个函数是否为同一函数 分析 分别判断函数的定义域是否是 以及对应法则是否和相同即可 r1yx 解答 解 函数的定义域为 与的定义域不相同 不是同一函数 a 1 1yx 函数的定义域为 与的定义域不相同 不是同一 2 1 1 1 x b yx x 1 x x 1yx 函数 两个函数的定义域相同 表达式相同是同一函数 3 3 1 1c yxx 函数的定义域为 两个函数的定义域不相同 不是同一 2 1 1d yxx 1 函数 故选 c 4 已知是定义在 上的偶函数 那么的值是 2 f xaxbx 1a 2 aab a b c d 1 3 1 3 1 2 1 2 考点 奇函数 偶函数3i 分析 依照偶函数的定义 对定义域内的任意实数 且定义域关于原 fxf x 点对称 12aa 解答 解 依题意得 又 fxf x 0b 12aa 1 3 a 1 3 ab 故选 b 5 已知是函数的一个零点 若 则 0 x 1 0 f xlnxx x 10 0 xx 20 xx 7 a b 1 0f x 2 0f x 1 0f x 2 0f x c d 1 0f x 2 0f x 1 0f x 2 0f x 考点 53 函数的零点与方程根的关系 分析 本题利用的正负确定的单调性 从而求解 fx f x 解答 解 1 0 f xlnxx x 22 111 x fx xxx 0 x 0fx 单调递增 f x 已知是函数的一个零点 若 0 x 1 0 f xlnxx x 10 0 xx 20 xx 1 0f x 2 0f x 故选 a 6 设为定义在实数集上的偶函数 且在 上是增函数 f x f x 0 3 0f 则的解集为 36 0 x f a b 1 2 3 1 log 6 2 c d 2 1 2 考点 奇偶性与单调性的综合3n 分析 由偶函数的性质可知 3 结合在 上是增函数 f 3 0f f x 0 可知距离对称轴越远 函数值越大 可求 解答 解 为定义在实数集上的偶函数 f x 3 f 3 0f 又在 上是增函数 f x 0 8 则由可得 36 0 x f 3363 x 解可得 12x 故选 a 7 某同学用二分法求方程的近似解 该同学已经知道该方程的一个零点260lnxx 在之间 他用二分法操作了 7 次得到了方程的近似解 那么该近 2 3 260lnxx 似解的精确度应该为 a 0 1b 0 01c 0 001d 0 0001 考点 55 二分法的定义与应用 分析 根据题意 由二分法的定义 每使用一次二分法可以使区间的长度变为原来的 据此求出第 6 次和第 7 次使用二分法时区间的长度 进而可得该近似解的精确 1 2 度应该在 之间 分析选项 即可得答案 1 64 1 128 解答 解 根据题意 该同学已经知道该方程的一个零点在之间 区间的长度 2 3 为 1 每使用一次二分法可以使区间的长度变为原来的 1 2 则该同学第 6 次用二分法时 确定区间的长度为 不能确定方程的近似解 6 11 264 当他第 7 次使用二分法时 确定区间的长度为 确定了方程的近似解 7 11 2128 则该近似解的精确度应该在 之间 1 64 1 128 分析选项 在区间 内 b 1 64 1 128 故选 b 8 已知函数 的实根个数 2 log f xx 0 01 1 1 2 1 2 x g xf xg x xx 则方程 为 9 a 2 个b 3 个c 4 个d 5 个 考点 53 函数的零点与方程根的关系 分析 方程 1 1f xg xf xg x 1 01 1 1 2 1 2 x yg x xx 分别画出 的图象 利用交点个数 1 01 1 3 2 1 2 x yg x xx yf x 1yg x 即可得出方程的实数根的个数 解答 解 方程 1 1f xg xf xg x 1 01 1 1 2 1 2 x yg x xx 1 01 1 3 2 1 2 x yg x xx 1 分别画出 的图象 yf x 1yg x 由图象可得 时 两图象有一个交点 时 两图象有一个交点 时 01x 12x 2x 两图象有一个交点 2 分别画出 的图象 yf x 1yg x 由图象可知 时 两图象有一个交点 7 2 x 综上可知 方程实数根的个数为 4 1f xg x 故选 c 10 9 b 解析 分析 作出函数f x 的图象 根据方程有四个互不相等的实数根 得到与 f xa 1 x 2 x 与的关系 代入所求 将所求用a表示 然后计算即可得到结论 3 x 4 x 详解 作出的图像如图 2 2 log1 11 x2 1 xx f x x 11 若有四个互不相等的实数根 且 则 0 a 1 f xa 1234 x xx x 1234 xxxx 且是的两个根 4 4 a 34 xx 2 x2a 34 xx 34 x x 且 即 21 log1x 22 log1x 21 log 1x 22 log 1x 1 0 1 1x 2 1x 1212 x xxx 所求 4 a 121234 x xxxxx 34 x x 3 4 故选 b 点睛 本题主要考查函数交点个数的应用 考查了二次方程韦达定理的应用及对数运算 利用 数形结合确定四个根之间的关系是解决本题的关键 属于难题 10 b 解析 分析 根据条件将问题转化为方程在上有解的问题即可得解 00 2 1 213 21 xx aa 0 xr 详解 解 21 x a f xlg 0 xr a 12 函数为 可拆分函数 21 x a f xlg 存在实数 使成立 0 x 000 2 1 321213 21 xxx aaaa lglglglg 方程在上有解 00 2 1 213 21 xx aa 0 xr 即在上有解 0 00 11 3 21 331 222121 x xx a a 0 xr 0 xr 0 1 1 0 1 21 x 3 3 2 a 的取值范围为 a 3 3 2 故选 b 点睛 本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解 关键是将问题转化为方程有解问题 属中档题 二 填空题 共二 填空题 共 5 5 小题 小题 11 设 且 25 ab m 11 2 ab m 10 考点 对数的运算性质 指数函数与对数函数的关系4h4q 分析 先解出 再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到的等abm 式 求 m 解答 解 由换底公式得25 ab m 2 logam 5 logbm 11 log 2log 5log 102 mmm ab 2 10m 0m 10m 13 故应填10 12 若函数在区间 上为减函数 则的取值范围是 2 log 2 a yxax 1 a 2 3 考点 对数函数图象与性质的综合应用4t 分析 先根据复合函数的单调性确定函数的单调性 进而分和 2 2g xxax 1a 两种情况讨论 当时 考虑函数的图象与性质 得到其对称轴在01a 1a 的右侧 当时的函数值为正 当时 其对称轴已在直线的1x 1x 01a 1x 右侧 欲使得 上增函数 最后取这两种情形的并集即可 g x 1 解答 解 令 2 2 0 1 g xxaxaa 当时 在 上为减函数 1a g x 1 2 1 232 120 a a a 当时 在 上为减函数 此时不成立 01a g x 1 综上所述 23a 故答案为 23 13 已知 则的取值范围 22 33 1 32 aa a 2 4 3 考点 幂函数的性质4x 分析 考察幂函数当时 函数为偶函数 且在上是减函数 在 a yx 2 3 a 0 上是增函数 即可求得 的范围 0 a 解答 解 幂函数当时为偶函数 a yx 2 3 a 在上是减函数 在上是增函数 0 0 14 所以有 1 32 aa 解得 2 4 3 a 故答案为 2 4 3 14 某商品在最近 100 天内的单价f t 与时间t的函数关系是f t 日销售量g t 与时间t的函数关系是g t 0 t 100 t n n 求该商品的日销售额s t 的最大值 日销售 额 日销售量 单价 考点 5b 分段函数的应用 分析 由已知中销售单价f t 与时间t t n n 的函数f t 及销售量g t 与时间t t n n 的函数g t 结合销售额为s t f t g t 我们可以求 出销售额为s t 的函数解析式 再利用 分段函数分段处理 的原则 分别求出 每一段上函数的最大值 即可得到商品日销售额s t 的最大值 解答 解 由已知销售价f t 销售量g t 0 t 100 t n n 日销售额为s t f t g t 即当 0 t 40 时 s t t 22 t t2 2t 此函数的对称轴为x 12 又t n n 最大值为s 12 当 40 t 100 时 s t t 52 t t2 36t 此时函数的对称轴为t 108 100 最大值为s 40 768 15 由 768 可得这种商品日销售额s t 的最大值为 此时t 12 点评 本题考查的知识点是分段函数的解析式求法 函数的值域 二次函数的性质 其中根据日销售额为s t f t g t 得到销售额为s t 的函数解析式 是 解答本题的关键 15 已知函数 当时 不等式的解集是 2 2 1 1 xa x f x xaa x 1a f xx 若关于的方程恰有三个实根 则实数的取值范围为 1 3 x 0f x a 考点 57 函数与方程的综合运用 分析 结合绝对值函数以及一元二次函数的图象和性质 利用数形结合进行求解即 可 解答 解 当时 1a 22 2 12 11 1 1 11 xa xxx f x xaa xxx 当时 由得 1x f xx 2 1xx 当 不等式等价为 即此时不等式不成立 01x 21xx 1x 当时 不等式等价为 得 0 x 21xx 1 3 x 当时 由由得 得 得 此时无解 1x f xx 2 1 1xx 2 0 xx 01x 综上不等式的解集 f xx 1 3 当时 的最小值为 在 上的最大值为 1 1x 2 f xxa 0 fa 01 f 2a 当时 函数是开口向下的抛物线对称轴为 顶点为 1x f xxa a a 当时 最多有两个零点 1x 2 f xxa 16 当时 最多有两个零点 1x 2 f xxaa 则要使恰有三个实根 0f x 则当时 有两个零点 时有一个零点 1x 1x 或当时 有一个零点 时有两个零点 1x 1x 若当时 有两个零点 则 得 即 1x 0 0 1 20 fa fa 0 2 a a 02a 此时当时只能有一个零点 1x 若对称轴满足 此时当时 必有一个零点 a12a x a 则只需要当时 1 即 1x a f 22 1 31 0aaaa 2 31 0aa 得 此时 3535 22 a 12a 若对称轴满足 此时在上为增函数 a01a f x 1 要使此时只有一个零点 则 1 f xf 22 1 31 0aaaa 即 得 此时 2 31 0aa 3535 22 a 01a 若当时 有一个零点 此时 1 1x f20a 即时 2a 此时当时 函数的对称轴 1x 2a 要使时有两个零点 则 1 1x f 22 1 310aaaa 即 得舍或 此时 2 310aa 35 2 a 35 2 a 35 2 a 综上实数的取值范围是或 a 35 2 a 02a 故答案为 或 1 3 35 2 a 02a 17 三 解答题 共三 解答题 共 5 5 小题 小题 16 1 求值 211 024 324 13 2 9 6 3 1 5 5 48 分析 1 根据有理指数幂的运算性质可得 解答 解 1 原式 21 2 32 9272 1 5 483 21 3 2 32 334 1 5 229 344 15 299 11 2 2 已知 试用 表示 2 log 3a 3 log 7b ab 14 log 56 考点 换底公式的应用 4i 18 分析 2 利用对数的诱导公式变形 化为含有 的代数式得答案 2 log 3 3 log 7 解答 解 222 14 222 5678 log 56 1472 logloglog logloglog 223 log 7log 3 log 7ab a 14 3 log 56 1 ab ab 17 已知函数是定义在上的奇函数 满足 2 当时 有 f x 4 4 f1 40 x 4 axb f x x 1 求实数 的值 ab 2 求函数在区间上的解析式 并利用定义证明证明其在该区间上的单调性 f x 0 4 3 解关于的不等式 m 1 2 0 mm f efe 考点 函数奇偶性的性质与判断 函数单调性的性质与判断3k3e 分析 1 根据是定义在上的奇函数及时的解析式即可得 f x 4 4 40 x f x 出 并可求出 从而可得出 求出 0b 2 1f 2 2 1 2 a f 1a 2 根据上面知 时 从而可设 从而得出 4 0 x 4 x f x x 0 4 x 从而得出时 然后根据函数单调性的 4 x f xfx x 0 4 x 4 x f x x 定义即可判断在上的单调性 设任意的 且 然后作差 f x 0 4 1 x 2 0 4 x 12 xx 通分 提取公因式 然后判断与的大小关系即可得出在上的单调 1 f x 2 f x f x 0 4 性 解答 1 2 3 3a 0b 3 4 x f x x 0 3 ln 解 1 函数是定义在上的奇函数 f x 4 4 19 即 0 0f 0 4 b 0b 又因为 2 所以 2 f1 2 ff 1 即 所以 2 1 2 a 1a 综上可知 1a 0b 2 由 1 可知当时 4 0 x 4 x f x x 当时 且函数是奇函数 0 4 x 4 0 x f x 44 xx f xfx xx 当时 函数的解析式为 0 4 x f x 4 x f x x 任取 且 则 1 x 2 0 4 x 12 xx 1212 12 1212 4 44 4 4 xxxx f xf x xxxx 且 1 x 2 0 4 x 12 xx 1 40 x 2 40 x 12 0 xx 于是 即 12 0f xf x 12 f xf x 故在区间上是单调增函数 4 x f x x 0 4 3 是定义在上的奇函数 且 f x 4 4 1 2 0 mm f efe 且在上是增函数 1 2 mm f efe f x 0 4 解得 14 24 12 m m mm e e ee 03mln 原不等式的解集为 0 3 ln 18 1 奇函数 证明见解析 2 存在 32 2 0 3 20 解析 分析 1 求出函数的定义域 然后利用奇偶性的定义验证函数的奇偶 yf x yf x 性 2 由 可得出 利用复合函数可分析出函数在区间 0f 01m yf x 上为减函数 由题意得 于是得出关于的方程 1 log 1 log m m f f x 在区间上有两解 即关于的方程在 3 3 x mx x 3 x 2 3130mxmx 上有两个不等的实根 然后结合二次函数的图象列出关于的不等式组 解出 3 m 即可 详解 1 函数是奇函数 证明如下 yf x 由解得或 所以 函数的定义域为 3 0 3 x x 3x 3x yf x 关于原点对称 33 333 logloglog 333 mmm xxx fxf x xxx 因此 函数为奇函数 yf x 2 由题意知 且 3 loglog 10 3 mm f 3 01 3 01m 令在上为增函数 3636 1 333 xx u xxx 3 而函数为减函数 所以 函数在上为减函数 logmyu yf x 3 21 假设存在 使得题意成立 则函数在上为减函数 3 yf x 则有 即 1 log 1 log m m f f 3 loglog 3 3 loglog 3 mm mm m m 3 3 3 3 m m 所以 是方程的两正根 3 3 x mx x 整理得在有个不等根和 由韦达定理得 2 3130mxmx 3 2 则 3 9 m 1 0 3 m 令 则函数在有个零点 2 313h xmxmx yh x 3 2 则 解得 2 1 0 3 31120 1 3 3 2 3180 m mm m m hm 32 2 0 3 m 因此 实数的取值范围是 m 32 2 0 3 点睛 本题考查对数型函数的奇偶性 同时也考查了利用函数的值域求参数 解题的关键就是 利用