动点问题最值.doc

动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。 方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。1如图，ABC、EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M当EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）ABCD提示：点M在以AC为直径的圆上2（2015咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BFAE交CD于点F，垂足为G，连结CG下列说法：AGGE；AE=BF；点G运动的路径长为；CG的最小值为1其中正确的说法是（把你认为正确的说法的序号都填上）提示：G在以AB为直径的圆上：正确答案是：3、如图，正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm，如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为 4、如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长度的最小值是 5、如图，等腰直角ACB，AC=BC=，等腰直角CDP，且PB=，将CDP绕C点旋转.（1）求证：AD=PB（2）若CPB=135，求BD；（3）PBC= 时，BD有最大值，并画图说明； PBC= 时，BD有最小值，并画图说明.分析：在ABD中有：BDAB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，且AD在BA的延长线上，又ACB是等腰直角三角形，CAB=45，由（1）知PBC=CAD=180-45=135BDAB-AD，当BD=AB-AD时BD最小，此时，AB与AD在一条直线上，且AD在线段AB上，此时CAD=45，所以PBC=CAD=456、如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ACB=ADE=90,BAE=135,AD=1，AC=，F为BE中点.（1）求CF的长（2）将ADE绕A旋转一周，求点F运动的路径长；（3）ADE绕点A旋转一周，求线段CF的范围.提示：本题根据中点构造三角形相似，BOFBAE,且7、如图，AB=4，O为AB中点，O的半径为1，点P是O上一动点，以点P为直角顶点的等腰PBC（点P，B，C按逆时针方向排列）则线段AC的取值范围 AP3 提示：发现定等腰直角AOC与等腰直角OBE，从而得到相似。BOPBEC CE= AE= 在ACE中，AE-CEACAE+CE8、如图，ABC是等边三角形，边长为2，D是AC边上一动点，连接BD，O为ABD外接圆，过点A作AEBC交O于E，连接DE，BE.则ADE的周长的最小值为 2+ 9、如图，正方形ABCD，AB=4，E为形外一点，且AED=900，连CE，F为CE的中点，求BF得最大值。连AC,取DC中点G，取AC中点H，则FGHEDA,又AD=4，GFH=DEA=90，点F在以GH为直径的圆上，BF的最大值为二、定点到动点所在定直线的最小值，动点在一条直线上运动，其实质是点到直线的最小距离。方法：1在平面直角坐标系中，已知A(2，4)、P(1，0)，B为y轴上的动点，以AB为边构造ABC，使点C在x轴上，BAC90M为BC的中点，则PM的最小值为_取特殊位置考虑：当B在原点时，OC=10，此时M（5,0）当C在原点时，B（0,5），此时M（0，），所以点M在直线上运动PM PM=OM=AM，点M在OA的垂直平分线上。2、在平面直角坐标系中，A（-3,0），B（3,0），C（0，-），E为y轴上一动点，以BE为边向左侧作正BEF，则OF的最小值为 提示：点F在如图所示的直线AF上运动。那两个涂色的三角形始终是全等的FAO=303、如图，点D在等边ABC的边BC的延长线上，点E、F分别是边BC、AB上的点，且AF=BE，连接EF，以EF为边构造等边EFG，连接DG，若BD=2，则DG的最小值是 考虑特殊位置：当当E与B重合时，F与A重合，此时BGAC，当E与C重合时，F与B重合，FGAC，所有点G在过点B且与AC平行的直线上，DBG=60，当DG垂直于过B与AC平行的直线垂直时，DG最小是过E作EHAC，则有EFHEGB EBG=EHF=60点G在平行于AC的直线GB上运动。4、如图，OA=3，OAB=60，P为射线BO上一动点，E为OB中点，以AP为边作等边APC,则点P运动过程中CE的最小值为 易证：APHACB（H为y轴负半轴上的那个点）AC=BC，点C在AB的垂直平分线上.三、根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，最大值就是让第三边等于其他两边的和，最小值就是第三边等于其他两边之差1、15、ACD中，AD8，CD，BCAC于C，AC=2BC，则BD的最大值是_.提示：过C作CECD使CE=2CD，连接AC，DE，则有BCDACE，则有 又AEDE+AD=13 BD=6.52、如图，AB=4，O为AB中点，O的半径为1，点P是O上一动点，以点P为直角顶点的等腰PBC（点P，B，C按逆时针方向排列）则线段AC的取值范围 AP3 提示：发现定等腰直角AOC与等腰直角OBE，从而得到相似。BOPBEC CE= AE= 在ACE中，AE-CEACAE+CE5、如图，等腰直角ACB，AC=BC=，等腰直角CDP，且PB=，将CDP绕C点旋转.（1）求证：AD=PB（2）若CPB=135，求BD；（3）PBC= 时，BD有最大值，并画图说明； PBC= 时，BD有最小值，并画图说明.分析：在ABD中有：BDAB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，且AD在BA的延长线上，又ACB是等腰直角三角形，CAB=45，由（1）知PBC=CAD=180-45=135BDAB-AD，当BD=AB-AD时BD最小，此时，AB与AD在一条直线上，且AD在线段AB上，此时CAD=45，所以PBC=CAD=45四、由三角形第三边小于两边之和推广可以得到，最小值问题，就是要两条线段的和或多条线段的和构成一条线段，理由是两点之间线段最短。1、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连AM、CM、EN.（1）求证：ABMENB；（2）当M点在何处时，AM+CM的值最小？ 当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？并说明理由.（3）当AM+BM+CM的值最小值为时，求正方形的边长.2（2015天津）在每个小正方形的边长为1的网格中点A，B，D均在格点上，点E、F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF（）如图，当BE=时，计算AE+AF的值等于（）当AE+AF取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明）取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求3、已知抛物线的顶点为P，直线分别交x，y轴于点M，N（1）若点P在直线MN上，求n的值； （2）是否存在过（0，2）的直线与抛物线交于A，B两点（A点在B点的下方），使AB为定长，若存在，求出AB的长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，当四边形MABN的周长最小时，求n的值【意图】本题综合考查运用初中数学核心内容和重要的思想方法解决问题的能力【考点】抛物线的解析式求法，坐标的方法，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系等,坐标系中定值和最值问题第24题图1【解析】(1)配方P（n，n）代入， 得n=(2)如图1，设过（0，2）的直线为，设A()，B()联立，消元得,要使AB为定长，则的值与n的取值无关，44k=0k=1存在直线y=x2，使AB为定长，且AB=第24题图2(3)如图2，易求M(3，0)，N(0，)，平移AB，使A点于M点重合，则B的对应点G刚好落在y轴上，因为AB=，所以G（0，3）作点G关于直线y=x2的对称点H(5，2)过G作GFy轴，交直线AB于F，连FH，所以FH=FG=5，又FGA=AFH=45,连接NH交直线y=x2为点R（2，0）可证明当点B与R重合时，四边形MABN的周长最小将 R（2，0）代入中，得（舍去）n=1 五、利用对称求最值1如图，AOB30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM1，ON3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MPPQQN的最小值是_2、已知抛物线的顶点为P，直线分别交x，y轴于点M，N（1）若点P在直线MN上，求n的值； （2）是否存在过（0，2）的直线与抛物线交于A，B两点（A点在B点的下方），使AB为定长，若存在，求出AB的长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，当四边形MABN的周长最小时，求n的值【意图】本题综合考查运用初中数学核心内容和重要的思想方法解决问题的能力【考点】抛物线的解析式求法，坐标的方法，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系等,坐标系中定值和最值问题第24题图1【解析】(1)配方P（n，n）代入， 得n=(2)如图1，设过（0，2）的直线为，设A()，B()联立，消元得,要使AB为定长，则的值与n的取值无关，44k=0k=1存在直线y=x2，使AB为定长，且AB=(3)如图2，易求M(3，0)，N(0，)，平移AB，使A点于M点重合，则B的对应点G刚好落在y轴上，因为AB=，所以G（0，3）作点G关于直线y=x2的对称点H(5，2)过G作GFy轴，交直线AB于F，连FH，所以FH=FG=5，又FGA=AFH=45,连接NH交直线y=x2为点R（2，0）第24题图2可证明当点B与R重合时，四边形MABN的周长最小将 R（2，0）代入中，得（舍去）n=1 六、其他类最值1、如图，在ABC中，C90，点D是BC边上一动点，过点B作BEAD交AD的延长线于E若 AC6，BC8，则的最大值为( B ) ABCD提示：比值构造相似三角形，于是过E作EFBC于F，则有ACDEFD，而AC=6，所以只要EF最大就比值最大，当E在以AB为直径的半圆弧中点时，EF最大是22如图，在O中，BC是弦，AD过圆心O，ADBCE是O上一点F是AE延长线上一点，EF=AE若AD=9，BC=6设线段CF长度的最小值和最大值分别为m，n，则mn=( )A100 B90 C80 D703如图，O的半径为2，弦AB的长为，点P为优弧AB上一动点，ACAP交直线PB于点C，则ABC的面积的最大值是（ B ）ABCD4、ABC中BC=，BAC=600，D为BC的中点，E为AD的中点，延长CE交AB于P,则的最大值为过D作DHCP交AB于H，则有BH=HP=AP，当BC边上的高最大时，此时在优弧BC中点，其值为9，P到BD的高也最大，此时为6，故SPBD最大值为反比例函数问题：1、如图，矩形OABC的边OA在x轴上，双曲线与BC交于点D，与AB交于点E，矩形OABC的面积为4，则k的值为 提示：连接AC，设坐标证明DEAC，又从而得到D、E为中点，所有k=二次函数问题：如图，抛物线与x轴交于点A（-1,0）、B（3,0），与y轴交于点C（0，）（1）求