西科大网络教育线性代数指导书练习题参考答案

西科大网络教育 线性代数 指导书练习题参考答案 1 计算排列 3 2 1 4 5 和 3 4 1 2 5 的逆序数 并说明奇偶性 答 3 2 3 1 2 1 所以 3 2 1 4 5 逆序数为 3 是奇数 同理 3 1 3 2 4 1 4 2 所以 3 4 1 2 5 逆序数为 4 是偶数 2 由行列式性质 2 P26 知a11 a12 a13 a11 a12 a13 10a21 10a22 10a23 10 a21 a22 a23 10 2 20 a31 a32a33 a31 a32 a33 3 答 1 2 5 01 2 5 0 1 2 5 0 1 2 5 0 D 2 3 8 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 3 1 2 40 7 17 4 0 0 3 3 0 0 3 3 1 4 2 50 6 3 5 0 0 9 11 0 0 0 20 1 1 3 20 60 用行列式性质化上三角行列式 4 答 1 0 12 0 1 0 1 2 D 1 2 0 M11 3 2 4 M12 1 2 2 M13 1 3 5 1 3 21 A11 1 1 1M11 4 A12 1 1 2M12 2 A13 1 1 3M13 5 1 1 1 11 4 16 64 5 答 D4 4 3 7 5 1 3 9 27 16 9 49 25 1 7 49 343 5 4 5 3 5 7 7 4 64 27 343 125 1 5 25 125 7 3 3 4 10368 P42 6 答 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 8 1 2 8 D 3 0 1 5 3 0 1 5 3 0 1 15 1 4 3 1 3 0 15 1 2 0 3 0 4 1 1 0 4 1 11 0 4 11 2 4 1 6 0 0 1 10 0 0 1 0 1 2 13 2 13 2 13 3 0 0 3 1 2 1 3 3 2 15 90 0 4 11 4 11 0 15 尽可能出现较多 0 注意行列变换时 要在前自加 号 7 答 0 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 D 1 0 1 1 3 0 1 1 3 1 0 1 1 3 1 1 0 0 1 1 0 1 3 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 3 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 3 1 1 1 1 3 8 答 x y 2z 4 1 1 2 1 0 0 7 31 7 31 5x 2y 7z 7 A 5 2 7 5 7 31 14 2x 5y 3z 1 2 5 3 2 7 13 7 13 0 2 4 1 2 0 19 14 19 1419 1419 14 A1 7 2 7 0 37 28 14 1 5 3 1 5 3 37 2837 28 1 0 1 4 2 1 2 2 1 2 2 5 75 7 A2 5 7 7 5 0 7 5 0 7 2 1 1 2 2 14 2 1 3 2 4 3 4 0 74 7 1 0 1 1 4 1 0 4 1 0 4 1 4 1 4 A3 5 2 7 5 7 7 5 7 7 7 1 2 2 7 28 2 5 1 2 7 1 3 0 8 3 8 3 0 由克莱姆法则 x 1 y 1 z 2 A A1 A A2 A A1 x 1 线性方程组解为 y 1 z 2 9 答 设 f x ax3 bx2 cx d a 0 由 f 0 0 f 1 1 f 2 4 f 1 1 0 0 0 d 0 d 0 得 a b c d 1 a b c 1 8a 4b 2c d 4 8a 4b 2c 4 得 2b 0 b 0 a b c d 1 a b c 1 a c 1a 1 8a 2c 4 c 2 f x x3 2x 10 答 1 a1 a12 a1n 1 1 a2 a22 a2n 1 范得蒙行列式 ai aj 0 系数行列式 A 1 j i n 1 an an2 ann 1 ai aj i j i j 1 2 n 1 a1 a1n 1 1 1 a12 a1n 1 A1 1 a2 a2n 1 A A2 1 1 a22 a2n 1 0 同理 A3 A4 An 0 1 an ann 1 1 1 an2 ann 1 由克莱姆法则 x1 1 x2 0 x3 xn 0 A A1 A A A A2 线性性方程组解为 x1 1 x2 0 xn 0 2 1 1 4 3 32 1 1 4 3 3 11 答 由 3 1 1 2x 1 1 3 得 3 1 1 1 1 3 2x 6 2 2 3 1 1 2x 4 0 4 x 2 0 2 1 2 3 1 2 0 1 1 2 0 3 3 4 1 10 4 1 12 答 AB 2 1 2 0 1 1 4 3 1 4 3 1 3 0 1 1 1 3 1 1 2 3 2 7 6 8 13 答 AB 1 2 1 3 0 1 1 5 3 5 3 2 2 1 2 2 5 2 5 AB T 7 3 BTAT AB T 7 3 6 5 6 5 8 3 8 3 a b 2 1 0 1 1 2 a 1 b 2 14 答 由 得 c d b c 1 0 c b c c d b a 1 b 2 c 0 d 2 15 答 A 为任一方阵 A AT T AT AT T AT A A AT AAT T AT TAT AAT 矩阵性质 A AT AAT均为对称阵 16 答 n 阶方阵可逆 0 且 AA 1 In 1 A In AA 1 A n I A A A 1 同时可证明 A 1 A 1 A A 17 答 3 2 0 0 5 3 0 0A1 03 2 A A1 0 0 3 40 A25 3 0 0 1 2 A1 3 2A1 1 A1 A1 3 2 1 1 A A 5 3 5 3 3 42 42 41 2 A2 12A2 1 3 A2 2 A2 1 1 3 2 1 2 1 2 3 A1 1 0 3 2 0 0 A 1 P 90 5 3 0 0 0 A2 10 0 1 2 0 0 2 1 2 3 18 答 方法 1 P80 方法 方法 2 1 4 3 1 0 0 1 4 3 1 0 0 1 5 3 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 6 4 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 4 0 2 6 3 1 0 0 2 2 3 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 2 2 3 A 1 1 1 0 1 2 1 P107 108 注意 用初等变换方法求逆矩阵时只用行初等或只用列初等变换 不能行列 初等变换混用 即一直用行初等或列初等变换使 A I I A 1 19 答 AX B 若 A 1存在 则 A 1AX A 1B 即 X A 1B 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 A 0 2 2 0 2 2 0 1 0 0 2 2 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 2 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 3 2 3 1 3 1 0 2 2 0 1 0 0 2 0 3 2 3 1 3 2 0 0 3 1 1 1 0 0 3 1 1 1 1 1 0 1 0 0 3 2 3 1 3 1 3 1 6 1 3 2 1 0 0 0 1 1 3 1 6 1 3 1 3 1 6 1 3 1 0 0 1 0 0 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 1 1 3 1 6 1 3 2 3 1 6 1 3 2 A 1 X A 1B 1 1 3 1 6 1 3 1 3 1 6 1 3 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 5 2 1 6 1 2 1 1 3 2 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 20 答 A I 0 3 4 0 1 0 0 3 4 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 2 1 0 1 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 0 1 2 1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 3 4 0 1 0 0 0 2 3 1 3 0 0 1 2 3 2 1 2 3 1 0 0 2 1 3 2 1 3 0 1 0 2 1 2 A 1 2 1 2 0 0 1 2 3 2 1 2 3 2 3 2 1 2 3 此题也可只用么列初等变换使 A I I A 1 用 A 1 A 求也方便 A 1 1 2 5 2 1 21 答 方法同 20 题 A 1 1 1 0 0 2 1 2 1 1 2 0 0 2 5 0 0 22 答 方法同 17 题 A 1 0 0 3 1 3 2 0 0 3 1 3 1 23 答 1 2 2 3 向量 1 2 3线性相关 24 答 设有实数 x1 x2 x3 使 x1 1 x2 2 x3 3 0 则 2x1 x2 0 3x1 4x2 0 2x3 0 x1 0 显然 x2 0 1 2 3线性无关 x3 0 或 2 1 0 3 4 0 0 1 2 3线性无关 P141 引理 0 0 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 25 答 A 0 2 1 5 1 0 2 1 5 1 2 0 3 1 3 0 2 1 5 1 1 1 0 4 1 0 0 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 0 2 1 5 1 0 2 1 5 1 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 A 3 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 注 1 求矩阵的 有 3 种方法 a 用求极大线性无关组方法 b 初等变换求矩阵秩 c 行列式法求矩阵秩 正式 2 学用初等变换法求矩阵秩 此时可用行变换 也可用列变换 只要将 A 化为三角 形矩阵 上 下三角形均可 求对角矩阵 再数一下主对角线上非重元素个数即为 A 3 对向量组的秩 可将它化为矩阵来求秩 见下题 11 0 1 26 答 设 A 1 2 3 4 2 2 3 1 3 2 1 1 43 2 4 1 0 11 0 11 0 11 0 1 0 3 10 1 10 1 10 1 1 0 1 1 0 3 1 0 0 4 0 0 4 0 2 10 2 10 0 30 0 0 A 3 1 2 3 4的秩为 3 1 2 2 3 也可设 A 0 3 1 2 A 3 1 1 1 4 27 答 设存在 x1 x2 x3使 x1 1 x2 2 x3 3x1 3x2 2x3 4 1 3 2x1 43x1 2x2 5x3 11 或 3 2 5 x2 11 即 2x1 x2 x3 3 2 1 1 x3 3 1 3 2 1 3 2 7 1 6 1 3 2 5 0 7 1 30 0 2 1 1 0 5 5 5 50 5 4 3 2 10 5 0 1 4 2 1 4 2 A1 11 2 5 26 7 0 70 5 26 60 A2 3 11 5 0 1 1 0 3 1 1 3 1 1 2 3 1 0 5 5 由克莱姆法则 x1 60 30 2 x2 0 代入 x3 1 2 1 3 x11 3 2 1 4 注 求 x1 x2 x3也可用 x2 3 2 5 11 x3 2 1 1 3 13 2 4 初等行变换 1 0 0 2 x1 2 或用增矩阵 3 2 5 11 0 1 0 0 此时 x2 0 2 1 1 3 0 0 1 1 x3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 28 答 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 3 1 1 1 3 3 1 1 1 3 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 2 2 1 1 0 0 1 1 0 2 1 2 1 1 1 1 0 0 1 0 0 2 1 0 1 0 0 1 0 2 1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 0 2 1 2 1 1 1 1 0 2 1 2 1 1 1 1 0 2 1 2 1 1 0 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 0 3 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 29 答 1 2 1 3 1 2 3线性相关 1 2 3 1 2 3 1 2 3 或 0 2 5 0 2 5 0 2 5 0 1 2 3线性相关 1 0 2 0 2 5 0 0 0 2 1 2 3 1 2 3线性相关 30 答 1 对 设有 x1 x2 x3 使 x1 1 2 x2 2 3 x3 3 1 0 则 x1 x3 1 x1 x2 2 x2 x3 3 0 x1 x3 0 1 0 1 1 2 3线性无关 x1 x2 0 其系数行列式 1 1 0 2 0 x2 x3 00 1 1 方程组有唯一解 x1 x2 x3 0 1 2 2 3 3 1 线性无关 2 错 设有 x1 x2 x3 x4 使 x1 1 2 x2 2 3 x3 3 4 x4 4 1 0 则 x1 x4 1 x1 x2 2 x2 x3 3 x3 x4 4 0 x1 x4 0 1 2 3 4线性无关 x1 x2 0 x2 x3 0 x3 x4 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 其系数行列式 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 方程组有非实解 如 x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 1 2 2 3 3 4 4 1线性相关 31 答 以构造矩阵 1 0 3 1 2 1 0 3 1 21 0 3 1 2 A 1 3 0 1 1 为方便求极大元素组 0 3 3 0 30 0 0 0 0 2 1 7 2 50 1 1 0 1 0 1 1 0 1 4 2 14 0 6 初等行变换 0 2 2 4 20 0 0 4 4 1 0 3 1 2 A 3 含 3 个向量的一个极大线性元素 0 1 1 0 1组 三个非原行的主列在 1 2 4 列 故 0 0 0 4 4 1 2 4为向量组的一个极大元素组 00 0 0 0 1 2 3 4 5 1 0 3 1 21 0 3 1 21 0 3 0 1 3 3 1 2 0 4 0 1 1 0 10 1 1 0 10 1 1 0 1 5 1 2 4 0 0 0 4 4 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 注 这里取三个非原行的主列所在的为向量组的一个极大元素组 且因为其所构成矩阵 行列式不为零 此向量组必线性无关 对 A 用初等行变换 不用列变换 是因为保 持 1 2 位置不变 否则要变换 麻烦 从简化的阶梯形矩阵中容易找到 3 5由 1 2 4线性变出时前的系数 1 2 0 1 3x1 2x2 x4 3 32 答 Ab 2 1 1 1 1 即 2x1 x2 x3 x4 1 有 3 个方程A 0 1 0 0 2 x2 24 个未知量 1 1 2 31 1 2 3 1 1 2 3 33 答 1 3 1 1 0 2 1 2 0 2 1 2A 0 2 1 20 2 1 2 0 0 0 0 1 0 4 A 2 3 方程有无穷多个解 2 5 A 0 2 1 23 2 1 1 个基础解系 对应各方程组 0 0 0 0 x1 4 x3取待解 x3 0 x4 4 x2 1 令 x3 1 x1 x1 对应各 2 5 2 5 2 1 2x2 2 x3得基础解系 y 次方程组 2 5 2 1 41x1 4 2 5 2 5 原方程组解为 X 1 即x2 1 R 2 1 2 1 01 x3 1 1 1 2 11 1 0 5 01 1 0 0 0 34 答 系数矩阵 A 0 0 1 3 1 0 0 1 3 10 0 1 0 1 0 0 2 1 20 0 0 5 00 0 0 1 0 x1 x2 0 x1 x2 秩为 3 基础解系有 5 3 2 个向量 x3 x5 0 x3 x5 x4 0 x4 0 10 10 取 y1 1 y2 0 原方程解为 1y1 2y2 1 1 20 0101 0000 0101 1 2 R 1 2 1 3 1 21 2 1 3 1 2 35 答 2 4 2 6 3 6 0 0 0 0 1 2A 1 1 1 1 3 40 0 0 2 4 6 1 2 1 3 1 21 2 1 0 5 7 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 30 0 0 1 0 1 1 2 1 0 0 3 0 0 0 0 1 2 A 3 5 5 3 2 个相伴各次方程 A 0 0 0 1 0 1组的基础解系 3 x1 2x2 x3 3 0 x1 2x2 x3 x5 2 待解 0 对应各次方程组 x4 0 x4 1 1x5 0 2 取 x2 1 x3 0 得 x1 2 x4 x5 0 取 x2 0 x3 1 得 x1 1 x4 x5 0 2 1 y1 1 y2 0 0 1 0 0 0 0 3 2 1 0 1 0 原线性系数方程为 1y1 2y2 0 1 0 2 1 1 2 R 1 0 0 2 0 0 x1 2 1 2 3 x2 1 即 x3 2 1 2 R x4 1 x5 2 1 1 0 3 1 1 1 0 3 1 1 1 0 3 1 36 答 A 1 1 2 1 1 0 2 2 2 20 1 1 1 1 4 2 6 5 1 0 6 6 7 5 0 0 0 1 1 2 4 2 4 16 0 2 2 10 14 0 0 0 12 12 1 1 0 3 1 1 1 0 0 4 0 1 1 1 1 0 1 1 0 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 A 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 3 2 个基础解系 x1 x2 4x5 0 x1 x2 4x5 令 x2 1 x5 0 得 x1 1 x3 1 x4 0 x2 x3 2x5 0 x3 x2 2x5 令 x2 0 x5 1 得 x1 4 x3 2 x4 1 x4 x5 0 x4 x5 1 4 y1 1 y2 0 1 2 原线性方程组解为 1y1 2y2 0 1 0 1 1 2 R 1 1 3 1 11 1 3 1 11 1 3 1 1 3 1 3 4 4 0 4 6 7 1 0 4 6 7 1 37 答 1 5 9 8 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0A A A 2 4 4 2 2 个对应各次方程组基础解系 4 5 x1 x2 3x3 x4 1 待解 x3 x4 0 x2 x1 4 1 4 5 4 1 4x2 6x3 7x 0 x1 0 2 3 x1 x2 3x3 x4 y1 x2 2 3 x3 1 4x2 6x3 7x4 x4 0 4 11 y2 4 7 0 原方程组解为 1y1 2y2 1 4 5 2 3 4 11 1 2 4 11 2 3 4 7 01 0 00 1 x 1 1 2 2 3 4 11 4 5 x 2 1 2 1 2 R 2 3 4 7 4 1 即 x 3 1 x 4 2 1 1 1 1 1 a 1 1 1