数学09级1班闻晶晶外文文献翻译

河南理工大学河南理工大学 本科毕业设计 论文 本科毕业设计 论文 外文文献资料翻译外文文献资料翻译 院 系部 数学信息科学学院 专业名称 数学与应用数学 年级班级 2009 级 01 班 学生姓名 闻晶晶 学生学号 310911010108 2013 年 6 月 3 日 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 1 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 一类负相伴随机阵列部分和的精致大偏差 汪世界 王伟 王文胜 安徽大学数学科学院 合肥 230039 华东师范大学金融统计学院 上海 200241 摘要 本文在一些适当的条件下得到了多风险模型中负相伴随机阵列的精致大偏差 推广了一些已知 的结果 同时表明在多风险模型中负相伴结构对精致大偏差同样不具有敏感性 关键词 负相伴随机阵列 大偏差 一致变化尾 学科分类号 O212 3 1 引言 近年来 很多学者都总结出重尾分布和的精致大偏差 因为用大偏差概率的损失过程来描述破 产概率的估计 是一个非常重要的目标风险管理 为此 我们参阅了一些最新文献 如 Ng et al 2004 Tang 2006 Wang et al 2006 Liu 2007 Chen and Zhang 2007 Yang et al 2009 Liu 2009 等 然而 他们只研究单一类型的风险 即他们总是假定保险公司只提供一种 保险合同 在实际生活中 这种假设是不存在的 所以 研究多风险模型的大偏差问题是很有价值 的 为此 Wang and Wang 2007 首次把精致大偏差的相关结论扩展到独立索赔多风险模型中 显 然 Wang and Wang 2007 的独立性假设是极其不符合现实的 Alam and Saxena 1981 及 Joag Dev and Proschan 1983 中介绍到这种较弱的结构是负相关的 定义 1 1 d 是正整数 是有限的实值随机变量 我们称一维随机变量是负相伴的 d n nX 如果对任意两个不相交的非空子集都成立 d TS 0j TXgSiXfCov ji 其中和是任意两个使得协方差存在且对任意变量都增加的函数 SiXf i TjXg j 在本文中 我们称是 NA 序列 其中 表示关于 i 的同分 k i jX 1 ij 1 1 jXijki 1 布损失函数 满足 我们同样可以假定 xFi iij EX 01 i xFxF i x 对任意 如果满足ki 1 CF i 或 1 limliminf1 yx F xy F x 1 limlimsup1 y x F xy F x 我们说分布函数 F 属于重尾子集 C 其中分布函数 F 具有一致变化尾 Cline et al 1994 也曾研究 过重尾子集 C 他称其为 中间正规变量 另一个著名的重尾子集被称为控制变量集 D 族 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 2 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 一个分布函数 F 支撑在上且属于 D 当且仅当对任意 或某些 0y 1 0 1y limsup x F xy F x 成立 对于像 R S L 等其他重尾子集的更多细节 参考文献 Ng et al 2004 或者 Wang and Wang 2007 集合 log inf 1 log F Fy Jy y 其中 在 Tang 2006 的专业用语中 被称为 F 的上 liminf x FyF xyF x F J Matuszewska 指数 是 k 正整数序列 为方便起见 令 1 i n ik i i n j ijn XS 1 ki 1 是一列关于索赔次数的独立非负整数计数过程 我 1 11 i n k kij ii S k nnX 1 i Ntik 们假定和是相互独立的 且当时 1 1 k ij i Xj 1 i Ntik 1 tik 令 Tang 2006 研究了带有一致变化尾的负相伴随 ii ENtt 11 0 i N t k ij ii S k tXt 机变量和的精致大偏差 Chen et al 2007 和 Liu 2007 把 Tang 2006 的研究结果扩展到负 相伴随机变量的随机和 它们各自具有一致变化尾 在本文中 我们研究多风险模型中的负相伴随 机阵列部分和的精致大偏差 我们对一些已知的结论进行推广 发现在多风险模型中精致大偏差的 渐近同样呈现负相伴结构 后面的章节安排如下 在第二节中 我们介绍一些预备知识 主要的结 果和证明将在第三章节给出 第四章将会给出一个应用程序的主要结果 2 预备知识 在这一章节 我们按照惯例用符号 以及表示 n 1 n i i SX 1 t N t Ni i SX GF 0liminflimsup FF GG 显然 如果 那么 对任意 这在 Tang and Yan 2002 中同样也FG 0 c F cxF x 可以看到 下面我们给出一些证明定理的引理 引理 2 1 是对 Joag Dev 和 Proschan 1983 的轻微 调整 引理 2 1 设为一 NA 随机变量序列 为的任意一列两两不 1 k Xkn 1 m AA 1 n 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 3 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 交子集 如果为对每个分量不降 或不增 函数 1 i f im 仍为 NA 序列 且对任意以及 有 11 jmjm fXjAfXjA 2 1 n 12 n x xx 11 nn iikk ki PXxP Xx 以及 11 nn iikk ki PXxP Xx 引理 2 2 设是一列同分布的 NA 随机变量 共同发布 期望为 1 2 k Xk F xD 且如果存在某 使得 FxF xx 1 r 1 r E X 11 max 0 XX 则对任意给定的常数 当时 对一致地有0 n xn n P SnxnF x 对一致成立 即xn limsup0 n n xn P Snx nF x 证明 由于为 NA 序列 根据定义 同样是 NA 序列 由 1 2 k Xk 1 2 k Xk Tang 2006 的引理 2 3 得 对任意 必存在某正常数与 C 使得对任意0 F pJ 0 有 xn1 2 n 10 p nn P SnxPSnxnPXCx 2 1 0 p nFCx 显而易见 对任意给定的 则当时 有 对于较大的 x F pJx p xF x 0 F v x 在 2 1 中 利用条件 我们得到 F x FxF x 0 p n P SnxnxCx nF xnF x 0 p nFCx nF x 1 F x C nF x 从而引理 2 2 证毕 注 1 1 在引理 2 2 的证明中 对任意 用替换 当时 0 x xn n P SnxnF x 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 4 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 2 2 对一致成立 xn 2 设是负相伴序列 且满足定理 2 2 的条件 我们可以用 1 1 k ij i Xj 1 i F xik 数学归纳法证明 对任意 当时 0 i n 111 i kkk niiii iii PSnxn F x 2 3 对所有一致成立 事实上 对和任意 由引理 2 1 引理 max 1 i xn ik2k 0 1 2 2 2 和负相伴性质 有 22 11 i nii ii PSnx 12 1122 11 nn P SnxP Snx 12 1122nn P Snx P Snx 11221122 n F xn Fxn F xn Fx 1122 n F xn Fx 2 4 因此 2 3 可以直接由 2 4 用归纳假设证出 3 主要结论及其证明 定理 3 1 设为 NA 随机阵列 对任意具有相同的分布 1 1 k ij i Xj 1 1 ij ikXj 有限期望为 且满足 为任意给定的 i F xC i ii xFxF xx 1 2 i n ik 个正整数 如果对任意的 存在某使得 则对任意给定的 对k1 ik1 r r ij E X0 r 所有的 当时 有 1 ikn 1 11 kk kiiii ii P S k nnnxn F x 3 1 对所有一致成立 max 1 k i xn ik 注 2 假定所有是同分布函数 那么 3 1 可以推出 Tang 2006 的定理 1 1 1 i F xik 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 5 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 特别的 如果我们已知是非负随机变量序列 很容易可以验证定理 3 1 的条件一定成 1 1 k ij i Xj 立 因此 3 1 验证 Liu 2007 的定理 2 1 如果是独立随机阵列 由 3 1 推 1 1 ij Xjik 出 Wang and Wang 2007 的引理 3 1 证明 我们用数学归纳法证明 3 1 当时 首先 显然有2k 12 2 12 1 2 122 1 2 liminf1 ii i n nx P Sn nnx n F xn Fx 3 2 注意 对任意 任意 01 0 x 121122 2 P Sn nnnx 12 1122 1 nn P Snx Snx 21 2211 1 nn P Snx Snx 12 1122 1 1 nn P Snx Snx 123 III 3 3 先估计 注意到 1 I 12 11222 1 nn IP Snx Snx 12 1122 1 nn P SnxP Snx 3 4 由 Tang 2006 定理 2 1 得 对任意 当时 01 1 n 1 1 11 11 1 sup1 1 n xn P Snx n Fx 3 5 又 则更有成立 由引理 2 2 对一致的有 22 xFxFx 22 FxFx 2 xn 综合以上各式 对充分大的 2 2222n P Snxn Fx 1 n 2 n 11122 11In Fxn Fx 3 6 对一致成立 同理亦有对充分大的 2x 12 n n 22211 1In Fxn F x 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 6 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 对一致成立 最后我们估计 由于为 NA 则由 Wang and 2x 3 I 12 111212 nn XXXX Wang 2007 得 0 1 lim lim sup10 1 2 i i i n xn i Fx i F x 3 7 注意到是 NA 也是 NA 因此 由 Tang 2006 的引理 2 1 和 12 111212 nn XXXX 1 n S 2 n S 3 11 得 12 31122 11 nn IP Snx P Snx 2 1122 111n Fx n Fx 2 1122 1n F x n Fx 3 8 联合 3 3 3 8 得 当时 对一致地有 12 n n 2x 121122 2 P Sn nnnx 2 11221122 1n F xn Fxn F xn Fx 此外 令 我们得到 3 2 0 下面 我们再证 12 121122 2 1122 2 limsup sup1 n nx P Sn nnnx n F xn Fx 3 9 任意给定以及 由 NA 性质 引理 2 1 和 Tang 2006 的定理 2 1 有 210 0 x 121122 2 P Sn nnnx 12 1122 11 nn P SnxP Snx 12 1122 nn P Snx P Snx 11221122 n F xn Fxn F xn Fx 3 10 从而 3 9 成立 这样 3 1 对时成立 2k 假定 3 1 对时成立 下面往证结果对 k 时也成立 我们采用类似 3 3 的分解法 可得到 1k 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 7 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 1 1 k k i P S k nnnx 1 11 1 ik k ik niinkk ii PSnx Snx 1 11 1 ki k ik nkknii ii P SnxSnx xnSxnSP iin k i ii ik i n ii 1 1 1 11 由 NA 性质 注 1 和归纳假设得 1 1 1 1 liminf inf1 k k kii i k nnxk ii i P S k nnnx n F x 3 12 另一方面 利用归纳假设表明 1 1 1 1 limsup sup1 k k kii i k nnxk ii i P S k nnnx n F x 3 13 结合 3 12 3 13 定理证明成立 定理 3 2 设为一负相伴随机阵列 对 具有相同的分布 1 1 k ij i Xj 1 ik i F xC 期望为 且满足 如果对任意的 存在某使得0 i ii xFxF xx 1 ik1 r 再令为一列相互独立的非负正整数值计数过程 r ij E X 1 k i i Nt i ENtt 且与相互独立 如果满足 对任意 均存 ni 2 1 1 1 k ij i Xj 1 k i i Nt 1 k i i Nt 0 在 当时 使得 F pJt 1 t ii p ii N t ENt It 3 14 则对任意固定的 当时 有 max 1 2 i ikt 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 8 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 11 kk iiii ii P S k ttxt F t 3 15 对一致成立 max 1 i xtikk 注 3 如果假定所有的为同一分布 则由 3 15 可推出 Chen 和 Zhang 定 1 i F xik 理 1 2 特别地 如果我们假定是非负随机变量序列 可以很轻易的看出满足 1 1 ij Xjik 定理 3 2 的条件 所以 3 15 验证了 Liu 2007 定理 2 2 如果假定是一列 1 1 ij Xjik 相互独立的序列 可由 3 15 证出 Wang 和 Wang 2007 的定理 4 1 证明 我们仍然采用数学归纳法证明本定理的结论 其证明思路与定理 3 1 完全相同 为简 洁起见 这里我们只证明情形 为此 我们首先证2k 1122 2 1122 2 liminf inf1 tx P Stttx t F xt Fx 3 16 同理 对任意以及 01 0 x 1122 2 P Stttx 12 1122 1 tt NN P Stx Stx 21 2211 1 tt NN P Stx Stx 12 1122 1 1 tt NN P Stx Stx 123 JJJ 3 17 先估计 由于 1 J 12 11122 1 tt NN JP StxP Stx 3 18 由 Chen 和 Zhang 2007 的定理 1 2 易知 1 1 11 11 1 lim sup10 1 t N t xt P Stx t Fx 3 19 现在对任意 令 0 0 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 9 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 2 22 t N P Stx 2222 1 n n P SnxntP Ntn 2222 xntxxntx 12 KK 3 20 首先 运用引理 2 2 我们得到 22 222n xntx KP Stx P Ntn 22 22 xntx nFx P Ntn 2222 1n FxnP Ntnt Fx 3 21 现在我们估计 为简单起见 我们声明在下文中属于 事实上 对任意 2 K 2 C 2 F pJ 用 Tchebychef 不等式 我们可得出 2 0 22 2222 n xntx KP Stx P Ntn 22 2 22 2 2 p NtCxt p ENt I P Ntxt Cxt 22 2 1 2 p NtCt pp p ENt I Cxt Cx 22 t Fx 3 22 由 Tang 2006 引理 2 1 中的 最后一个等式成立 联合 3 18 3 22 得 对任意 2 p xFx 都有0 11122 11Jt Fxt Fx 3 23 同理可得 最后我们估计 类比 3 7 我们易 22211 11Jt Fxt F x 3 J 得 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 10 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 1 limlim sup10 1 2 i i t xt i Fx i F x 3 24 注意到相互独立以及为 NA 序列 由引理 2 1 Chen 和 Zhang 2007 以及 2 1 i i Nt 2 1 ij i X 3 24 可得 12 31122 11 N tNt JP Stx P Stx 1122 11t Fxt Fx 1122 t F xt Fx 3 25 所以 用 3 23 3 25 令 对任意充分大的 t 由0 2x 1122 2 1122 2 liminf inf1 tx P Stttx t F xt Fx 证出 3 16 另一方面 我们再证明 1122 2 1122 2 limsup sup1 tx P Stttx t F xt Fx 3 26 注意到对任意以及并利用 NA 性质和 3 10 相同的方法 当时 0 1 2 0 x 2tx 有 1122 2 P Stttx 12 1122 11 tt NN P StxP Stx 12 1122 tt NN P Stx P Stx 11221122 11t Fxt Fxt Fxt Fx 11221122 t F xt Fxt F xt Fx 3 27 这样我们得到 3 26 联合 3 16 3 26 3 15 定理对时成立 定理 3 2 证明完毕 2k 4 应用 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 11 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 本节我们给出一个例子对本章主要结果加以应用 假定某保险公司经营着两个不同险种 而与 第一个险种对应的索赔额记为 为一列独立同分布的非负随机变量 共同分布为 1 j XXj 有限期望为 若该索赔到来的时刻为一更新过程 FC 1 j j sup1 i Ntnt 其中对任意 满足 再令为一列 Bernoulli 随机变量序列0 t0t ii tENt 1 j Ij 即服从两点分布 且的期望为 q 其中 q 表示第 j 个索赔到来的概率 假 1 j Ij j I01 q 定与公司第二个险种相应的索赔额为 为另外一列独立同分布的非负随机变量 共同分 1 j Yj 布为 有限期望为 再令为一 Cox 过程 其中为由一列独 GFC 2 NtNt N t 立同分布的非负随机变量序列生成的更新过程 且满足 令为另一 1 j Zj 1 j EZ 0tt 个右连续的非降的随机过程 且满足 若与相互独立 对任意 00 t 2 Nt0t 假定上述随机变量序列以及 1 Pt 1 1 1 jjj XjIjYj 相互独立 为 NA 序列 则可以看出到 t 时刻时公司的累 12 0 0NttNtt 1 j Ij 计索赔额为 12 11 0 N tNt jjj jj S tX IY t 4 1 这里我们假定公司同时经营着两种不同的险种 因此该模型是 Denuit 等 2002 与 Ng 2004 所研究的一维风险模型的推广 这里我们假设随机过程满足 对任意 t 0t 且当时 对任意 存在使得 tEtt t 0 G pJ 1 1 p tt Ett 记 则表示在时刻内发生索赔的真实次数 易见 1 sup 1 0 nn Nt It 1 0Ntt 0 t 以及 因此 4 1 式可以被重新改写为 1 1 1 N t j j NtI 1 0ENtqtt 12 11 NtNt jj jj S tXY 用和 Wang 等 2007 中第五节相同的方法和定理 3 2 我们得到 当时 有t 11 P S tqttxqt F xt G x 对任意 及一致成立 0 1 max xtt 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 12 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 参考文献参考文献 1 Alem K and Sexena K M L Positive dependence in multivariate distribution Comm Statist A Theory Methods 10 1981 1183 1196 2 Bingham N Goldie C and Teugels J Regular Variation Cambridge University Press 1987 3 Chen Y and Zhang W P Large deviations for random sums of negatively dependent random variables with consistently varying tails Stat Prob Lett 77 2007 530 538 4 Cline D B H and Samorodnitsky G Subexponentiality of the product of independent random variables Stoch Proc Appl 49 1994 75 98 5 Joag Dev K and Proschan F Negative association of random variables with applications Ann Statist 11 1983 286 295 6 Liu L Precise large deviations for dependent random variables with heavy tails Stat Prob Lett 79 2009 1290 1298 7 Liu Y Precise large deviations for negatively associated random variables with consistently varying tails Statist Prob Lett 77 2007 181 189 8 Ng K W Tang Q H Yan J A and Yang H L Precise large deviations for sums of random variables with consistently varying tails J Appl Prob 41 2004 93 107 9 Tang Q H Insensitivity to negative dependence of the asymptotic behavior of precise large devia tions Electron J Pro 11 2006 107 120 10 Tang Q H and Yan J A A sharp inequality for the tail probabilities of sums of i i d r v s with dominatedly varying tails Sci China Ser A 45 2002 1006 1011 11 Wang S J and Wang W S Precise large deviations for random variables with consistently varying tails in multi risk models J Appl Prob 44 2007 889 900 12 Wang Y B Wang K Y and Cheng D Y Precise large deviations for sums of negatively associated random variables with common dominatedly varying tails Acta Math Sin English Ser 22 2006 1725 1734 13 Yang Y and Wang Y B Large deviations for random variables with two sided distributions Acta Math Sin Chinese 52 2009 289 300 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 13 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 混合相依变量线性形式的强稳定性 杨延召 刘妍岩 青岛科技大学数学系 青岛 266061 武汉大学数学与统计学院 武汉 430072 线性形式的强稳定性在科学技术上存在着广泛应用 本文讨论了 混合随机变量列线性形式的 强稳定性 通过对 混合随机变量列运用截尾术 借助于 混合随机变量的性质以及 Borel Cantelli 引理 得到了 混合随机变量线性形式具有强稳健性的充分条件 同时也给出了 一些其它形式的结果 关键词关键词 强稳定性 混合 线性形式 学科分类号学科分类号 O211 4 1 序言 概率密度估计 非参数非线性回归可能是研究最为广泛的非参数估计问题 许多研究方法已经 在独立的观察下独立发展起来 近年来 一些论文因为广泛存在的独立随机变量产生的如强稳定性 的线性形式等大量概率问题 就把这些方法扩展到不独立的情况 强稳定的线性形式在生态学 分 子生物学 生物化学等领域都有应用 研究线性的强稳定性被大量的定律推动 在线性模型的兼容 的最小平方估计中很有用 因此 研究线性强稳定性的重要性是毋庸置疑的 2004 年 Gan 2004 研究了几乎收敛的混合随机变量 对于严平稳序列 很合序列首次 在 Blum 等 1963 中首次被提出 混合序列包括一些被广泛应用的例子 比如可数状态空间马 尔可夫过程 在 Blum 等 1963 中可以发现更多的混合序 列的例子 众所周知 极少的关于 混合序列的研究可以被找出 在本文中 我们首先通过使用终止来研究变量 然后通过 Broel Cantelli 引理和 混合序列的 性质找到通常情况下 混合序列的强稳定线性形式的充分条件 基于以上结果 我们给出在 混 合序列中其他线性形式的一些结果 接下来 我们证明 混合序列强稳定线性形式的一些结果 本文的其他部分组织如下 在第二 节中 我们陈述和证明主要的结论 然后在第三节中 我们证明 混合序列中强稳定性的其他线 性形式 2 的强稳定性线性形式 n X 在我们叙述主要结论之前 我们先复习几定义个下文即将用到的定义 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 14 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 定义 2 1 设是定义在概率空间 F P 的一列稳定变量 分别用表示 1 nXn n m FF 代数生成的和 令 mxXi 1 niXi 1supsup 0 1 BPAP ABP r BPAP FBFAp prp 如果当时 我们就说是 混合随机序列 是 混合相关系数 0 r 0 r 1 nXn r 定义 2 2 一随机变量序列是强稳定的 如果存在两列常数 1 nXn nnn bdb 0 则 2 1 0 1 nn dXb sa 定义 2 3 一随机变量序列被非负变量 X 所控制 如果存在整数 则有 1 nXn 0 c 1 0 nttXcPtXP n 2 2 记为 XXn 除特别说明外 全文假定是 混合随机变量序列 相应的混合系数满足 1 nXn 1r r 2 3 下面的定理是对 混合序列线性强稳定性的总结 n X 定理 2 1 设是一列零均值 混合随机变量 是一列正数 若存在某个 1 nXn n b n b 则 1 21 n p n p n b XE p 0 1 1 saXb i i 为证明定理 2 1 需先介绍以下引理 引理 2 1 3 引理 1 2 11 设是 混合随机变量 1 nXn rk k FYFX 则 YEXE YEXEEXEYEXYXYE 引理 2 2 设是一列零均值 混合随机变量 1 nXn n i in XS 1 2 n EX 则 有1 n0 2 1 2 1 1 41 max n i i l j nj EXl SP 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 15 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 证明 对 令 对任意 有0 j nj S 1 max j Snjjv 1 min kv k 当时 这样且 由1 k 0max 1 j kj Sji ji n k k 1 n k knkk n k nn kk dPSSSSdPSdPS 1 2 2 1 22 2 进行如 3 和引理 2 1 同样的讨论 得到 可得 n i i l n k knk EXlSSES 1 2 11 PdPSEXldPSEXlES n k n n i i l n n i i l k 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 2 4 由引理 2 1 可得 n i i l ji ji n i in EXlXEXEijEXES 1 2 11 22 212 由以上公式得 2 1 2 1 41 n i i l EXl P 引理 2 3 设是一列 混合随机变量 满足 2 3 的条件 若 1 nXn i 1n n EX ii 1n n XVar 则序列收敛 n k k X 1 证明 对序列由引理 2 2 得知 对任意正整数 m 有 jj EXX 21 nn 2 11 21 1 2 41 1 max n ni i l k nj jj nkn XVarlm m EXXP 由 ii 知 对任意 m 有 0 1 maxlim 1 2121 m EXXP k nj jj nknnn 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 16 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 所以尾部收敛到 0 a s 即收敛 由 i 知收敛 n nn EXX n nn EXX n n X 定理 2 1 的证明 设是的分布函数 令 是示性函数 则 xFn n X nnnn bXIXY I n p n p n n bx n n n bx n n n n b XE xdF b x xdF b x b Y E nn 2 2 2 2 2 2 于是 n p n p n n n n n n n b XE b Y E b Y Var 2 2 因此 由定理 2 3 得 收敛 a s n n nn b EYY 2 5 因为 故0 n EX n n bx n n n bx n n n n b xxdF b xxdF b EY nn xdF b x xdF b x n n bx p n p n n bx n nn n p n p n b XE 2 6 由 2 5 和 2 6 知一致收敛 且 n nn bY n p n p n n n bx p n p n bx n n nn b XE xdF b x xdFYXP nn 由 Borel Cantelli 定理 收敛 a s n nn bX 应用 Kronecker 定理 在每一个概率为 1 的集合上的任意一个样本点有 故 0 1 1 n i in Xb 有 a s 0 1 1 n i in Xb 3 其他线性形式的稳定性 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 17 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 在这一节中 我们将给出 混合随机变量的其他线性形式的稳定性 所有的证明建立在定理 2 1 的结果中 定理 3 1 设是两列正数 是一列 混合随机变量 nn ba nnnn babc 1 nXn 令 若下列条件满足 XXn RxxcnCardxN n a XEN b 21 1 0 1 pdydtyyNtXPt t pp 则存在 有 a s Rdn 21 N0 1 1 n i niin dXab 证明 设 则 n i iin n i iinnnnn YaTXaScXIXY 11 XcENcXPccXPYXP n n n nn n nn 111 由 Broel Cantelli 引理知 对任意实数列 和在相同的集合上收敛到 n d nnn dTb 1 nnn dSb 1 相同的极限 只须证明 a s 就有了定理的 0 1 1 ii n i in EYYab n i iinn EYabd 1 1 由于是一列零均值 混合随机变量且 得 1 nEYYa nnn 1l l 11n p n p n n p n p nnn YEcc b EYYaE 1 0 1 n c n pp n n dttXPtpcc 0 1 tcn p n p n dtctXPtcp t pp dydtyyNtXPtcp 1 0 12 最后不等式成立是由于以下事实 u t p u uctn p n u tcn p n ydNycc nn limlim uyt ppp u dyyyNptNttNu 1 lim 且 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 18 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 udyytNpuNu u pp 0 1 由条件 2 和定理 2 1 即可证得 定理 3 2 如果我们用如下条件替换定理 3 1 的条件 1 2 3 XEN 4 1 dssXEN 5 ncc nj p j p j nj 1 max 此外假定 得 a s 0 n EX0 1 1 n i iin Xab 证明 由定理 3 1 的 同理有 为了证明所要的结果只 nnn TSY XcENYXP n nn 1 需须证明 由条件 3 4 易证 这样 我们只需证 0 1 1 saEYYab n i iii 0 1 1 n i iiY ab 0 1 1 n i iiin EYYab 因为是一列 混合随机变量且满足 2 3 得 nnn EYYa 11n nn p n p n n p p nnn cXIXEccbEYYaE 1n n p n p n p n cXIEXcXPccc 11n n pp n n n cXIEXcccXPc 令 则0 max 0 1 dcd j nj n jj p n n j p n n n pp n n n pp n dXdIEXcdXIEXccXIEXc 1 1111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 j j j j j jj jjn p n p jjj jn p n j jj p cXPc dXPcdXdjPc cddXdPcdXdIEX 由定理 2 1 得知 证毕 n i iiin EYYab 1 1 0 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 19 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 在下文中 令为正的不增函数 令 RRx nnn n i inn abcabna 1 假定 nn n nn n ccnccnlogsuplimloginflim0 11 对 是不增的 0 x xx log 在条件 和 下 我们有如下定理 定理 3 3 设与同分布 则存在 使 n X 11 log XXE n d a s 0 1 1 n n i ii dXab 证明 由的定义及假定 知 存在 对任意 有 nnn cba 0 0 0 Nm 0 mn nnn ccn log 故 它能确保对任意都有 1 log nn cnc 0 mm mcc m mj j 222 log 仿照定理 3 1 令 则当时 nnnn cXIXY 0 mm ii mi ii mi i ii mi i mj j mi iij j mi iim mj j j mj jjj mj jj mj jjjj cXcIXXEc cXcIEXcc cXcIEXcic cXcIEXcc cXcIEXcXIEXcc cXIXEcccXIXEccbEYYaE 1111 2 11 2 1 2 11 2 1 212 11 2 1 2 11 2 111 2 1 2 1 2 1 2 2 22 2 log1 log1 log1 1 根据定理 2 1 得到 a s 0 1 1 n i iiin EYYab 另一方面 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 20 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 0 0 0 0 log1 loglog1 0 0 1 111 mi ii mi iiii mi ii m i ii i ii i ii iXXPm ccXXPm cXPcXPcXPYXP 由 Borel Cantelli 定理知 定理 3 3 的结论正确 i n i inn EYabd 1 1 致谢致谢 作者在此呜谢相关文献作者 他们做出的极有价值的研究 参考文献参考文献 1 Gan S X Almost sure convergence for mixing random variable sequences Statist Prob L 67 4 2004 289 298 2 Blum J R Hanson D L and Koopmans L On the strong law of large number for a cla stochastic processes Z Wahrsch Verw Gebiete 2 1963 1 11 3 Lu C Y and Lin Z Y The Limiting Theory of Mixing Dependent Random Variables China demic Press 1997 4 Chung K L A Course in Probability Theory 2nd Ed Academic Press New York 1974 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 21 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 三参数威布尔 对数正态及伽马分布下的估计 Russell F KAPPENMAN 西北和阿拉斯加渔业中心 国家海洋渔业局 国家海洋气象局 美国华盛顿州西雅图 98112 1984 年 4 月收到 1984 年 11 月修订 摘要 威布尔分布 对数正态分布 伽马分布的的位置 尺度 形状参数的新估计是发达的 估计是在封闭的形式 他们并不需要同步的非线性方程组求解 模拟研究结果和其他人已经提出的 新的估计的性能进行比较 这些研究表明 新的估计更好 至少考虑到可能的偏差和均方误差 关键词 位置 尺度和形状参数 最大似然估计法 矩估计法 参数估计 仿真 1 引言 概率密度函数下三参数威布尔 对数正态和伽马分布的形式分别为 baxbaxcbcbaxf cbaxaxccbaxf baxbaxbccbaxf c c exp1 2lnexp21 lnexp 1 2 2 21 在每种情况下 a是位置参数 b是尺度参数 c是形状参数 在这里所考虑的问题是给定一个随机从这 些分布中观测的样本 来评估a b c 我们提出各个分布的参数估计 进行模拟仿真 然后和其他人 提出的估计量的性能作对比 在一系列的论文中 Cohen and Whitten 2 4 报道他们运用最大似然法 改进的最大似然 法和矩估计法估计三参数威布尔分布 对数正态分布 伽马分布的研究成果 在考虑多种不同的可 能性 他们提出对每个分布的估计建议 对于对数正态分布的位置 尺度 形状参数估计 已经由 Munro and Wixley 11 提出及LaRiccia和Kindermann 10 进一步研究 检查估计在这些论文中设 计使用迭代或搜索过程 来同时解决三个非线性方程 迭代或搜索过程有时无法找到方程的解 因此 它很有可能 在任何给定情况下 该程序将无法得到参数估计 即使样品来自假定分布 尤其是来 自一个真实的中小程度大小的样本 本文提出的估计有三个重要优势 相比那些仅仅是引用的 首先 它们是相对比较简单的 也 就是说 它们是在封闭形式而涉及非线性方程的数值解 第二 估计总是能被发现 最后 最重要的 是 这些估计量似乎完成一些东西比那些到这个时候提出的好 至少考虑到偏差和均方误差 这里考虑的三种分布的参数估计都是来自一种相似的方式中 然而 不同的情况可以根据基本 的开发方案稍作修改或调整 估计量的发展本质上源于 Wyckoff Bain and Engelhardt 12 因为他们的工作单单只是威布尔案例 他们的发展是稍做改进的威布尔分布产生较好的估计值 并 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 22 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 产生了类似的对数正态分布和伽马分布的参数估计量 对于三个分布中任何一个 我们产生参数估计通过 1 以最初的 非参数估计量的位置为初 始位置 2 假设等于它的初始估计 并寻找形状参数的初始估计 3 设置第一个次序统计量 等于其预期值 4 在形状参数被其初始估计替换后方程的解为位置参数 位置参数的一个函数 替换尺度参数 5 估计的尺度和形状参数通过假定位置参数等于 4 中得到的参数值 在以下三部分我们将详细介绍 我们将轮流检验威布尔分布 对数正态分布和伽马分布 在 下文中 x1 x2 X N 表示一个随机样本的N个观测的分布的参数估计量的次序统计量 Y代表样本均值 表示样本的方差 F表示经验分布函数 通常 100p百分位数是样品 其中 2 s q x 若是整数 则 否则 表示不超过的最大整数 100p分布百分位上npq np npq 1 npnp 是 Up pUpF 2 威布尔分布 Wyckoff Bain and Engelhardt 12 提出了下列程序估计这三参数威布尔分布 第一阶段 的统计作为位置参数的初始估计 形状参数的初始估计通过假设 利用估计的由 Dubey 6 1 xa c 得到两参数威布尔分布 这个估计为 2 1 111 ln989 2 xxxxc hk 其中 和分别是第 94 和第 17 样本百分位数 则威布尔分布为 k x h x c n c baxE 1 1 1 1 为了重新估计 a 令等于其期望值 替换 b 替换 c 由此产生的方程解为 a a 1 x cax11 1 c 的新的估计解用来表示 假定 然后估计参数 b 和 c 根据 Engelhardt and Bain 7 利 a aa 用 b 和 c 的估计推出两参数威布尔分布 注意 对于这个程序 b 本质上是由其重新估计的矩估计量替代的 似乎三个参数的估计都因此略 有改善 反之 b 由替代 其中是第 63 样本百分位数 a 的函数通过等同于第 63 百分位axm m x 数样本和分布的百分比得到 后者是 由此得到的 a b c 分别为ba 111 1 crcrxxa m 2 2a s i i n si in axaxsnsnkc 11 ln ln 2 2b 共 33 页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 23 页 指导教师 李文玲 学生 闻晶晶 naxcb n i i 1 ln 5772 0exp 2 2c 其中 已在 2 1 给出 k 是一个取决于样本大小的 c nccr 1 11 1 c ns84 0 常数 我们可以根据 Engelhardt and Bain 7 中的一个表确定 k 值 Cohen and Whitten 4 研究了威布尔分布参数的最大似然估计法和矩估计法并进行了改进 他们 建议在求解非线性方程组