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2008 2009 年回归课本精析 一 集合与逻辑一 集合与逻辑 1 1 区分集合中元素的形式 区分集合中元素的形式 如 函数的定义域 函数的值域 xyxlg xyylg xyyxlg 函数图象上的点集 如 如 1 设集合 集合 N 则 答 3 Mx yx 2 1 y yxxM MN 1 2 集合 集合 34 2 xxyxM 3 6 cos3sin xxxyyN MN 答 1 2 2 条件为 条件为 在讨论的时候不要遗忘了 在讨论的时候不要遗忘了的情况的情况BA A 如 如 1 若非空非空集合 则使得成立的 5312 axaxA 0 22 3 xxxBBAA a 的集合是 答 96 a 2 集合 M N 若NM 则实数 a 的取值范围为 04 2 axxx 02 2 xxx 条件为 在讨论的时候不要遗忘了的情况 答 BA A3 a 3 如果 求的取值 答 a 0 012 2 xaxxA RA a 3 3 BxAxxBA 且 BxAxxBA 或 CUA x x U 但 xA 真子集怎定义 如 如 含 n 个元素的集合的子集个数为 2n 真子集 BxAxBA 则 个数为 2n 1 如 如 满足集合 M 有 个 答 7 1 2 1 2 3 4 5 M 4 4 C CU U A B C A B CU UA CA CU UB B C CU U A B C A B CU UA CA CU UB B 5 5 A B AA B AA B BA B BA AB BC CU UB BC CU UA AA CA CU UB B C CU UA B UA B U 6 6 补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题 补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题 如 如 1 若关于的不等式的解集是 则的取值范围是 答 xaxx 1 2 a3 a 2 已知函数在区间上至少存在一个实数 使 求12 2 24 22 ppxpxxf 1 1 c0 cf 实数的取值范围 答 p 3 3 2 7 7 原命题 原命题 逆命题逆命题 否命题否命题 逆否命题 逆否命题 互 互为逆否的两个命题是等价为逆否的两个命题是等价pq qp pq qp 的的 如 如 1 是 的 条件 答 充分非必要条件 sinsin 2 设命题 已知函数 使得 命题 不等式 p0 1 00 2 yRxmxxxf 00 yxf q 有实数解 若且为真命题 则实数的取值范围为 答 22 9mx p qm 3 2 2 3 8 8 若 若且且 则则 p p 是是 q q 的充分非必要条件 或的充分非必要条件 或 q q 是是 p p 的必要非充分条件 的必要非充分条件 pq qp 如 如 写出 成立 的一个必要而不充分条件 答 比范围大即可 21 x 3 1 9 9 注意命题 注意命题的否定与它的否命题的区别的否定与它的否命题的区别 pq 命题的否定是 否命题否命题是pq pq pq 命题 p 或 q 的否定是 P 且Q p 且 q 的否定是 P 或Q 注意 注意 如 如 命题 若和都是偶数 则是偶数 abba 否命题 若和不都是偶数 则是奇数 abba 命题的否定 若和都是偶数 则是奇数 abba 二 函数与导数二 函数与导数 1 指数式 对数式指数式 对数式 m nm n aa 1 m n m n a a 当为奇数时 当为偶数时 n nn aa n 0 0 nn a a aa a a 15lg2lg 0 1 0 aa log 0 1 0 b a aNNb aaN bab a log logaN aN log log m n a a n bb m log loglog aaa MNMN logloglog aaa M MN N 1 log log a b b a 如 如 的值为 答 答 2 log81 264 1 33 5 lg5lg2lg3 2 lg 1 2 2 一次函数 一次函数 y ax b a 0 y ax b a 0 b 0b 0 时奇函数时奇函数 3 3 二次函数 二次函数 三种形式 一般式 f x ax2 bx c 对称轴 a 0 顶点 顶点式 f x a x h 2 k a b x 2 4 4 2 2 a bac a b 零点式 f x a x x1 x x2 对称轴 b 0 偶函数 2 21 xx x 区间最值 配方后一看开口方向 二讨论对称轴与区间的相对位置关系 如 如 1 已知函数在区间上有最小值 3 求的值 答 2244 22 aaaxxxf 2 0a 105 21 a 2 若函数的定义域 值域都是闭区间 则 答 2 42 2 1 2 xxy 2 2 bb 实根分布 先画图再研究 开口 开口 0 0 对称轴与区间关系对称轴与区间关系 区间端点函数值符号区间端点函数值符号 4 4 反比例函数 反比例函数 平移平移 中心为 b a 对勾函数是奇函数 0 x x c y bx c ay x a xy 上为增函数 在区间时 0 0 0 a递减 在时 0 0 0aaa 递增 在 a a 5 5 幂 指数 对数函数的图象和性质 幂 指数 对数函数的图象和性质 1 若 则的大小关系为 答 0 5 2a log 3b 2 2 log sin 5 c cba abc 2 设 则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为 答 1 或 1 113 2 a a yx Ra 3 3 不等式的解集是 方程的解是 答 1 1lg x07369 xx 11 1 7 log3 4 函数的图象和函数的图象的交点个数是 答 3 个 2 441 431 xx f x xxx 2 logg xx 5 幂函数 y 当 取不同的正数时 在区间 0 1 上它们的图像是一族美丽的 x 曲线 如图 设点 A 1 0 B 0 1 连接 AB 线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y y 的图像三等分 即有 BM MN NA 那么 x x 答 1 6 设二元一次不等式组 2190 80 2140 xy xy xy 所表示的平面区域 的图象没有经过域的取值范围 0 x Myaa 为 若函数 1 a Ma则 答 9 21 10 aaa 6 6 单调性 单调性 定义法 导数法 1 设那么 2121 xxbaxx 上是增函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 上是减函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 2 设函数在某个区间内可导 如果 则为增函数 如果 则为减函数 xfy 0 x f xf0 x f xf 如 如 1 已知函数在区间上是增函数 则的取值范围是 答 3 f xxax 1 a 3 2 函数在上为增函数 则的取值范围为 答 axxxf 0 a0 a 注意注意 能推出为增函数 但反之不一定 如函数在上单调递增 但0 x f xf 3 xxf N M y B A x 是是为增函数的充分不必要条件 为增函数的充分不必要条件 0 x f0 x f xf 注意注意 函数单调性与奇偶性的逆用吗 比较大小 解不等式 求参数范围 如 如 已知奇函数是定义在上的减函数 若 求实数的取值范围 xf 2 2 0 12 1 mfmfm 答 12 23 m 复合函数由同增异减判定 图像判定 作用 比大小 解证不等式 如 如 1 函数的单调递增区间是 答 1 2 2 1 2 log2yxx 2 若函数在区间内单调递增 则的取值范围是 10 log 3 aaxxxf a 0 2 1 a 答 1 4 3 7 7 奇偶性 奇偶性 f x 是偶函数f x f x f x f x 是奇函数f x f x 定义域含零的奇函数过原点定义域含零的奇函数过原点 f 0 f 0 0 0 定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件 如 如 1 若函数 a为常数 在定义域上为奇函数 则k 答 2 12 x x k f x k 1 k 2 定义在 R 上的偶函数在上是减函数 若 则的取值范围是 xf 0 2 1 afaf a 答 2 3 a 3 已知函数y f x x 1 1 的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成 如图所示 则不等式的 2 3 fxf xx的解集为 答 2 1 0 2 1 1 4 已知函数是定义在 R 上的奇函数 xf0 1 f 则不等式的解集是 答 0 2 x xfxf x 0 x0 2 xfx 1 0 1 8 8 周期性 周期性 1 类比 三角函数图像 得 如 如 已知定义在上的函数是以 2 为周期的奇函数 则方程在上至少有 个实R f x 0f x 2 2 数根 答 5 2 由周期函数的定义 函数满足 则是周期为的周期函数 得 f x xafxf 0 a f xa 函数满足 则是周期为 2的周期函数 f x xafxf f xa 若恒成立 则 1 0 f xaa f x 2Ta 若恒成立 则 1 0 f xaa f x 2Ta 如 如 1 设是上的奇函数 当时 则 等于 xf 2 xfxf 10 xxxf 5 47 f 答 5 0 2 若是 R 上的偶函数 是 R 上的奇函数 则与的大小关系为 xf 1 xf 4 xf xf 答 4 xfxf 3 定义在上的偶函数满足 且在上是减函数 若是锐角三角形的两R f x 2 f xf x 3 2 个内角 则的大小关系为 答 sin cos ff sin cos ff 9 常见的图象变换常见的图象变换 函数的图象是把函数的图象沿轴向左或向右平移个单位得到的 axfy xfy x 0 a 0 aa 如如 1 要得到的图像 只需作关于 轴对称的图像 再向 平移 3 个单位而 3lg xy xylg 得到 答 右 y 2 函数的图象与轴的交点个数有 个 答 2 lg 2 1f xxx x 函数 的图象是把函数助图象沿轴向上或向下平移个单位得到的 xfy a xfy y 0 a 0 aa 函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的 axfy 0 a xfy x a 1 如 如 1 将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的 纵坐标不变 再将此图像沿轴方向向 yf x 1 3 x 左平移 2 个单位 所得图像对应的函数为 答 36 fx 2 如若函数是偶函数 则函数的对称轴方程是 答 21 yfx 2 yfx 1 2 x 函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的 xafy 0 a xfy ya 1010 函数的对称性 函数的对称性 满足条件的函数的图象关于直线对称 f xaf bx 2 ab x 如 如 已知二次函数满足条件且方程有等根 则 0 2 abxaxxf 3 5 xfxfxxf 答 xf 2 1 2 xx 点关于轴的对称点为 函数关于轴的对称曲线方程为 x yy x y xfy y xfy 点关于轴的对称点为 函数关于轴的对称曲线方程为 x yx xy xfy x xfy 点关于原点的对称点为 函数关于原点的对称曲线方程为 x y xfy xfy 点关于直线的对称点为 曲线关于直线 x yyxa xy yaxa 0f x y 的对称曲线的方程为 yxa 0fyaxa 特别地 点关于直线的对称点为 曲线关于直线的对称曲线的方程为 x yyx y x 0f x y yx 点关于直线的对称点为 曲线关于直线的对称曲线的方 0f y x x yyx yx 0f x y yx 程为 0fyx 如 如 己知函数 若的图像是 它关于直线对称图像是关于 33 232 x f xx x 1 xfy 1 Cyx 22 C C 原点对称的图像为对应的函数解析式是 答 33 CC 则 2 21 x y x 若 f a x f b x 则 f x 图像关于直线 x 对称 两函数 y f a x 与 y f b x 图像关于直线 x 2 ba 对称 2 ab 提醒提醒 证明函数图像的对称性 即证明图像上任一点关于对称中心 对称轴 的对称点仍在图像上 如 如 已知函数 求证 函数的图像关于点成中心对称图形 1 Ra xa ax xf xf 1 M a 曲线关于点的对称曲线的方程为 0f x y a b 2 2 0faxby 如 如 若函数与的图象关于点 2 3 对称 则 答 xxy 2 xgy xg 2 76xx 形如的图像是双曲线 对称中心是点 0 axb ycadbc cxd d a c c 如 如 已知函数图象与关于直线对称 且图象关于点 2 3 对称 C 2 1 1C y xaaxa yx C 则a的值为 答 2 1 的图象先保留原来在轴上方的图象 作出轴下方的图象关于轴的对称图形 然 xfy f xxxx 后擦去轴下方的图象得到 x 2 的图象先保留在轴右方的图象 擦去轴左方的图象 然后作出轴右方的图象关 xfy f xyyy 于轴的对称图形得到 y 如 如 1 作出函数及的图象 2 log 1 yx 2 log 1 yx 2 若函数是定义在 R 上的奇函数 则函数的图象关于 对称 答 xf xfxfxF 轴 y 1111 求解抽象函数问题的常用方法是 求解抽象函数问题的常用方法是 1 借鉴模型函数进行类比探究 几类常见的抽象函数 正比例函数型 0 f xkx k f xyf xf y 幂函数型 2 f xx f xyf x f y xf x f yf y 指数函数型 x f xa f xyf x f y f x f xy f y 对数函数型 logaf xx f xyf xf y x ff xf y y 三角函数型 tanf xx 1 f xf y f xy f x f y 如 如 已知是定义在 R 上的奇函数 且为周期函数 若它的最小正周期为 T 则 答 0 xf 2 T f 1212 反函数 反函数 函数存在反函数的条件一一映射 互为反函数的两函数具相同单调性 原函数定义域是反函数的 值域 原函数值域是反函数的定义域 如 如 已知函数的图象过点 1 1 那么的反函数的图象一定经过点 答 1 3 yf x 4fx 1313 题型方法总结 题型方法总结 判定相同函数判定相同函数 定义域相同且对应法则相同 求函数解析式的常用方法 求函数解析式的常用方法 1 待定系数法 已知所求函数的类型 二次函数的表达形式有三种 一般式 顶点 2 f xaxbxc 式 零点式 2 f xa xmn 12 f xa xxxx 如 如 已知为二次函数 且 且 f 0 1 图象在 x 轴上截得的线段长为 2 求 f x 2 2 xfxf2 的解析式 答 f x 2 1 21 2 f xxx 2 代换 配凑 法 已知形如的表达式 求的表达式 f g x f x 如 如 1 已知求的解析式 答 sin cos1 2 xxf 2 xf 242 2 2 2 f xxxx 2 若 则函数 答 2 2 1 1 x x x xf 1 xf 2 23xx 3 若函数是定义在 R 上的奇函数 且当时 那么当时 xf 0 x 1 3 xxxf 0 x 答 xf 3 1 xx 这里需值得注意值得注意的是所求解析式的定义域的等价性 即的定义域应是的值域 f x g x 3 方程的思想 对已知等式进行赋值 从而得到关于及另外一个函数的方程组 f x 如 如 1 已知 求的解析式 答 2 32f xfxx 2 3 3 f xx 2 已知是偶函数 是奇函数 且 则 答 f x xg f x f x xg 1 1 x f x 1 2 2 x 求定义域 求定义域 使函数解析式有意义解析式有意义 如 分母 偶次根式被开方数 对数真数 底数 零指数幂的底数 实际实际 问题有意义问题有意义 若 f x 定义域为 a b 复合函数 f g x 定义域由 a g x b 解出 若 f g x 定义域为 a b 则 f x 定义域相当于 x a b 时 g x 的值域 如 如 1 若函数的定义域为 则的定义域为 答 xfy 2 2 1 log2xf 42 xx 2 若函数的定义域为 则函数的定义域为 答 1 5 2 1 f x 2 1 f x 求值域 求值域 配方法 如 如 求函数的值域 答 4 8 2 25 1 2 yxxx 逆求法 反求法 如 如 通过反解 用来表示 再由的取值范围 通过解不等式 得出的取值范围 答 3 1 3 x x y y3x3xy 0 1 换元法 如 如 1 的值域为 答 2 2sin3cos1yxx 17 4 8 2 的值域为 答 令 211yxx 3 1xt 0t 运用换元法时 要特别要注意新元运用换元法时 要特别要注意新元 的范围的范围 t 三角有界法 转化为只含正弦 余弦的函数 运用三角函数有界性来求值域 如 的值域 答 2sin1 1cos y 3 2 不等式法 利用基本不等式求函数的最值 2 abab a bR 如 如 设成等差数列 成等比数列 则的取值范围是 答 12 x a ay 12 x b by 21 2 21 bb aa 0 4 单调性法 函数为单调函数 可根据函数的单调性求值域 如 如 求 的值域为 答 1 19 yxx x 2 2 9 sin 1 sin yx x 2 3 2log5 x yx 80 0 9 11 9 2 0 数形结合 根据函数的几何图形 利用数型结合的方法来求值域 如 如 1 已知点在圆上 求及的取值范围 答 P x y 22 1xy 2 y x 2yx 33 33 5 5 2 求函数的值域 答 22 2 8 yxx 10 判别式法 如 如 1 求的值域 答 2 1 x y x 1 1 2 2 2 求的值域 答 2 1 1 xx y x 3 1 导数法 分离参数法 如 如 求函数 的最小值 答 48 32 2440f xxxx 3 3 x 用 2 种方法求下列函数的值域 32 1 1 32 x yx x 0 3 2 x x xx y 0 1 3 2 x x xx y V V 解应用题 解应用题 审题 理顺数量关系 建模 求模 验证 VI VI 恒成立问题恒成立问题 分离参数法 最值法 化为一次或二次方程根的分布问题 a f x 恒成立a f x max a f x 恒成立a f x min 如 如 1 若不等式对恒成立 则 a 的取值范围是 答 04 2 2 2 2 xaxaRx 2 2 2 对于任意 函数的值恒大于零 那么的取值范围是 1 1 a 2 4 42f xxaxa x 答 3 1 3 已知 不等式0log 2 xx m 在 2 1 0 x上恒成立 则实数m的取值范围是 答 1 16 1 4 设函数 若时 恒成立 则实数的取值范围是 答 xxxf 3 0 2 cos 1 0f mfm m0 成等比 若 bn bn 0 等比 则 logcbn c 0 且 c1 等 n b 1 n n b a n a c 差 如 如 1 若是等比数列 且 则 答 1 n a3n n Sr r 2 已知是等比数列 则 答 n a2 2 a8 4 a 1433221 nna aaaaaaa 3 41 2 n 3 数列满足 n a 27 2 122 31 anNnaa n nn 1 求的值 答 21 a a9 2 21 aa 2 是否存在一个实数 t 使得且数列为等差数列 若存在 求出实数 2 1 Nntab n n n n b t 若不存在 请说明理由 答 1 t 3 3 首项正的递减 首项正的递减 或首项负的递增或首项负的递增 等差数列等差数列前 n 项和最大 或最小 问题 转化为解不等式 或 0 0 0 0 11 n n n n a a a a 或 用二次函数处理 等比前 n 项积 由此你能求一般数列中的最大或最小项吗 如如 1 等差数列中 问此数列前多少项和最大 并求此最大值 答 前 13 项和最大 n a 1 25a 917 SS 最大值为 169 2 若是等差数列 首项 则使前n项和成立的最大正整 n a 1 0 a 20032004 0aa 20032004 0aa 0 n S 数n是 答 4006 3 设为等差数列 的前 n 项和 若 则中最小的是 答 n S n a0 0 993 Saa 321 SSS 5 S 4 已知为等差数列 若 且它的前 n 项和 Sn有最大值 那么当 Sn取得最小正值时 n a 1 10 11 a a n 答 19 5 等差数列 满足 且 为 的前 n 项和 则 Sn中的最大项是 n a 138 53aa 0 1 a n S n a 答 20 S 4 4 基本量方法 基本量方法 等差数列中 an a1 n 1 d Sn d nn na 2 1 1 2 1n aan 等比数列中 an a1 qn 1 当 q 1 Sn na1 当 q 1 Sn q qa n 1 1 1 q qaa n 1 1 如 如 数列是公差不为零的等差数列 并且 是等比数列的相邻三项 若 则等于 n a 5 a 8 a 13 a n b 2 5b n b 答 2 3 5 5 n n b 5 5 利用等差 比 数列的性质 利用等差 比 数列的性质 等差数列中 1 an am n m d nm aa d nm 2 当 m n p q am an ap aq 若 则 2mnp 2 mnp aaa 3 任意连续 m 项的和构成的数列 Sm S2m Sm S3m S2m S4m S3m 仍为等差数列 4 等差数列 an 项数 2n 时 S偶 S奇 nd 项数 2n 1 时 S奇 S偶 an 项数为 时 则 项数为奇数n2q S S 奇 偶 时 21n 1 SaqS 奇偶 等比数列中 1 n m nm aa q mn m n q a a 2 若 则 若 则 2mnp 2 pmn aaa 3 等比数列的任意连续项的和且不为零时不为零时构成的数列仍为等比数列 n am 23243mmmmmmm SSSSSSS 如 公比为 1 时 不成等比数列 4 S 8 S 4 S 12 S 8 S 如 如 1 在等比数列中 公比 q 是整数 则 答 512 n a 3847 124 512aaa a 10 a 2 各项均为正数的等比数列中 若 则 答 10 n a 56 9aa 3132310 logloglogaaa 3 一个等差数列共n项 其和为 90 这个数列的前 10 项的和为 25 后 10 项的和为 75 则项数为 n 答 18 4 等比数列中 前四项之和为 240 第二 第四项之和为 180 则首项为 答 6 n a 5 等差数列的前 12 项的和是 98 前 98 项的和是 12 则的前 110 项的和为 答 n a n a 110 6 设等比数列的公比为 前 n 项和为 若成等差数列 则的值为 n a q n S 21 nnn SSS q 注意在运用等比求和公式时对公比进行讨论 答 q2 q 7 设等差数列的前项和为 已知 n an n S 1 1 2009 1 2 3 2 aa 则下列结论正确的是 1 1 2009 1 2008 3 2008 aa 1 2 3 220082009 2009aaS 220082009 2009aaS 220082009 2008aaS 4 220082009 2008aaS 6 6 等差三数等差三数为 a d a a d 四数 a 3d a d a d a 3d 等比三数可设 a q a aq 四个数成等比的错误设法 a q3 a q aq aq3 为什么 如 如 有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个成等比数列 且第一个数与第四个数的和是 16 第二个数与第 三个数的和为 12 求此四个数 答 15 9 3 1 或 0 4 8 16 7 7 求数列 求数列 a an n 的最大 最小项的方法 函数思想 的最大 最小项的方法 函数思想 an 1 an 如如 an 2n2 29n 3 an 0 如如 an 答 0 0 0 1 1 1 1 n n a a n n n 10 1 9 109 aa an f n 研究函数 f n 的增减性 如如 an 答 156 2 n n 1312 aa 8 8 求通项常法求通项常法 1 已知数列的前 n 项和 求通项 可利用公式 n s n a 2 n SS 1 n S a 1nn 1 n 如 如 数列满足 求 答 n a 12 2 111 25 222 n n aaan n a 1 14 1 2 2 n n n a n 2 先猜后证 3 递推式为 f n 采用累加法 f n 采用累积法 1n a n a 1n a n a 如 如 已知数列满足 则 答 n a 1 1a nn aa nn 1 1 1 2 n n a121 n an 4 构造法形如形如 为常数 的递推数列 1nn akab 1 n nn akab k b 如 如 已知 求 答 11 1 32 nn aaa n a132 1 n n a 5 涉及递推公式的问题 常借助于 迭代法 解决 适当注意以下 3 个公式的合理运用 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 an 1 1 2 2n 1n 1n n a a a a a a a 如 如 数列 an 中 已知 则 答 1 1a 2 1 1 nn anna n a23 nan 6 倒数法形如的递推数列都可以用倒数法求通项 1 1 n n n a a kab 如 如 1 已知 求 答 1 1 1 1 31 n n n a aa a n a 1 32 n a n 2 已知数列满足 1 求 答 1 a 11nnnn aaa a n a 2 1 n a n 9 9 数列的求和 数列的求和 数列求和的常用方法 关键找通项公式 确定项数 公式法 等差数列的求和公式 等比数列的求和公式 分组求和法 在直接运用公式求和有困难时常 将 和式 中的 同类项 先合并在一起 再运用公式法求和 如 通项中含因式 周期数列等等 n 1 如 如 已知数列 满足 an 求 n a n 32 n n S 倒序相加法 在数列求和中 如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联 那么常 可考虑选用倒序相加法 等差数列求和公式 如 如 1 设 则 答 1 1 log 2 x x xf Nn n n f n f n fan 1 2 1 2008 a 2007 2 已知 则 答 2 2 1 x f x x 111 1 2 3 4 234 fffffff 7 2 错位相减法 差比数列 的求和 如 如 已知数列 满足 an 2n 1 2n 求 n a n S 裂项相消法 如果数列的通项可 分裂成两项差 的形式 且相邻项分裂后相关联 那么常选用裂项相消法求 和 常用裂 项形式有 1 11 11 n nkk nnk 2 22 11111 1211kkkk 2 1111111 1 1 1 1kkkkkkkkk 3 4 理 1111 1 2 2 1 1 2 n nnn nnn 1 nnnn 5 1 2 1 2 1 nnnn n 如 如 求和 答 111 1 12123123n 2 1 n n 四 三角函数四 三角函数 1 1 三角函数的基本概念 三角函数的基本概念 角度制与弧度制的互化 弧度 弧度 弧度 180 180 1 1 180 1857 弧长公式 扇形面积公式 Rl RlRS 2 1 2 1 2 如 如 已知扇形 AOB 的周长是 6cm 该扇形的中心角是 1 弧度 求该扇形的面积 答 2 2 cm 2 2 函数 函数 y y b b 五点法作图 sin xA0 0 A 振幅 相位 初相 周期 T 频率 k 时奇函数 k 时偶函数 单调增 减 区间 如增区间可有 2 2 来求出的范围 2 2 2 2 kxkx 对称轴处对称轴处 y y 取最值取最值 对称中心处值为 0 余弦正切可类比 如 如 1 函数的奇偶性是 答 偶函数 5 2 2 ysinx 2 已知函数为常数 且 则 答 5 3 1f x axbsin x a b 57f 5f 3 函数的图象的对称中心和对称轴分别是 cos sincos2xxxy 答 1 28 k kZ 28 k x kZ 4 已知为偶函数 求的值 答 3f x sin x cos x 6 k kZ 5 函数为增函数的区间是 错因不注意内层函数的单调性 0 2 6 sin 2 xxy 答 6 5 3 6 已知函数 设为常数 若在区间上是增函数 2 4sin sin cos2 42 x f xxx 0 yfx 2 23 求的取值范围 答 w 4 3 0 变换 正左移负右移 b 正上移负下移 sin sin sin 1 xyxyxy 倍横坐标伸缩到原来的 左或右平移 sin sinsin 1 xyxyxy 左或右平移倍横坐标伸缩到原来的 bxAyxAy bA sin sin 上或下平移倍纵坐标伸缩到原来的 1 要得到函数的图像 只需将的图像向左平移 个单位 答 4 2cos xyxy2sin 8 2 将函数的图像沿轴向右平移个单位 所得的图像关于轴对称 求的xxy2cos32sin xa0 aya 最小值是 答 12 3 3 同角基本关系 同角基本关系 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 如 如 已知 则 答 1 1tan tan cossin cos3sin 2cossinsin 2 3 5 5 13 4 4 正弦 余弦的诱导公式 正弦 余弦的诱导公式 诱导公式简记诱导公式简记 奇变偶不变奇变偶不变 符号看象限 符号看象限 注意 公式中始终视注意 公式中始终视 为锐角为锐角 2 1 2 1 sin sin 2 1 s n n n co 2 1 2 1 s s 2 1 sin n n co n co 如 如 若 则角的终边在第 象限 5 4 2 sin 5 3 22 sin 5 5 1 1 和 差 角公式 和 差 角公式 sincoscossin sin sinsincoscos cos tantan1 tantan tan tantantan 1tantan 如 如 已知 tan tan 是方程 x2 3x 4 0 的两根 若 则 答 3 2 2 3 2 错因 没有准确限制角的范围 2 2 二倍角公式 二倍角公式 cossin22sin 2222 sin211cos2sincos2cos n 为偶数 n 为奇数 n 为偶数 n 为奇数 2 tan1 tan2 2tan 变形公式 2 2cos1 sin 2 2cos1 cos 2 2 2 2 sin22cos1 cos22cos1 1 sincossin2 2 2 sin 2 cos 2 sin 2 cossin1 2 如 如 1 函数的单调递增区间为 答 2 55 3f x sinxcos xcos x 5 3 2 xR 5 1212 k k kZ 2 答 2 40cos270tan10sin310cos20cot 3 已知 那么的最大值和最小值分别是 答 7 或 2 sin6cos y5 4 已知 则的取值范围是 答 cos4cos4cos5 22 22 coscos 25 16 0 巧变角 巧变角 如 2 2 等 2 2 222 如 如 1 已知 那么的值是 答 2 tan 5 1 tan 44 tan 4 3 22 2 已知为锐角 则与的函数关系为 sin cosxy 3 cos 5 yx 答 2 343 1 1 555 yxxx 6 6 辅助角公式中辅助角的确定 辅助角公式中辅助角的确定 其中 22 sincossinaxbxabx tan b a 如 如 如果是奇函数 则 答 2 sin2cos f xxx tan 7 7 正弦定理 正弦定理 2R 是外接圆直径 A a sinB b sinC c sin R2ABC CBAcbasin sin sin 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 内切圆半径 r CRcBRbARasin2 sin2 sin2 cba S ABC 2 余弦定理 余弦定理 a b c 2bc ABC 中 222 Acos bc acb A 2 cos 222 sinsinABAB ba 三角形内角和定理 在 ABC 中 有 ABCCAB 222 CAB 222 CAB 术语 坡度 仰角 俯角 方位角 以特定基准方向为起点 一般为北方 依顺时针方式旋转至指示方向所在位 置 其间所夹的角度称之 方位角 的取值范围是 0 360 如 如 1 已知锐角三角形中 边长满足 且 则另一边长 ABC a b2 3 2abab 2sin 30AB c 答 6 2 在中 分别是的对边长 已知 ABC cba CBA AAcos3sin2 若 求实数的值 答 mbcbca 222 m1 m 若 求面积的最大值 答 3 aABC 4 33 max S 五 平面向量五 平面向量 1 1 向量定义 向量模 零向量 向量定义 向量模 零向量 单位向量 相反向量 长度相等方向相反的向量叫做相反向量 的相反向量是a 共线向量 相等向量a 如 如 与向量平行的单位向量 垂直的单位向量 5 12 a 答 125 1313 512 1313 2 2 向量加法与减法运算 向量加法与减法运算 代数运算 1 BCABAC ACABCB nnn AAAAAAAA 113221 2 若 则 a 11 y xb 22 y xa b 2121 yyxx 几何表示 平行四边形法则 三角形法则 以向量 为邻边作平行四边形 ABCD 则两条对角线的向量 ABaAD bACa b 且有 BD baDB ababa bab 如 如 已知在平面直角坐标系中 O 0 0 M 1 2 1 N 0 1 Q 2 3 动点P x y 满足 0 OP OM 1 0 OP ON 1 则OP OQ的最大值为 答 4 3 3 实数与向量的积 实数与向量的积 实数与向量的积是一个向量 a a a 1 当 0 时 与的方向相同 当 0 时 与的方向相反 当 0 时 aa aa a 0 2 若 则 a 11 y x a 11 y x 两个向量共线的充要条件 1 向量与非零向量共线的充要条件是 有且仅有一个实数 使得 ba b a 2 若 则 a 11 y xb 22 y xab0 1221 yxyx 4 4 向量的数量积 向量的数量积 向量的夹角 已知两个非零向量与 作 则 AOB 叫做向量与ab OA aOBb 00 1800 a 的夹角 两个向量必须有相同的起点 b 两个向量的数量积 两个非零向量与 它们的夹角为 则 cos ab ab ab 其中向量在方向上的投影为 cos 且 cos b ab b a ba 向量的数量积的性质 若 a 11 y xb 22 y x 1 cos 为单位向量 2 0 e a ae a e ab ab 0 2121 yyxx 3 4 cos a 22 11 a axy a b ab 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 向量的数量积的运算律 ab b a ab ab a b ab c ac b c 注意 与向量垂直且模相等的向量为或 nma mnb mnb 在平分线上的向量可以记为AOB OB OB OA OA OC 0 向量与向量夹角为锐角 且 不共线 ab ab0 ab 向量与向量夹角为钝角 且 不共线 ab ab0 ab 如 如 已知 如果与的夹角为锐角 则的取值范围是 2 a 2 3 b a b 答 或且 4 3 0 1 3 5 5 平面向量基本定理 平面向量基本定理 1 若 是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有有且只有一对实数 1 e 2 e a 1 使得 2 a 1 1 e 2 2 e 2 有用的结论 若 是同一平面内的两个不共线向量 若一对实数 使得 1 e 2 e 1 2 1 1 e 则 0 2 2 e 0 1 2 特别 特别 则是三点 P A B 共线的充要条件如充要条件如平面直角坐标系中 为坐标原点OP 12 OAOB 12 1 O 如 如 已知两点 若点满足 其中且 则点的轨 1 3 A 3 1 BC OC OBOA 21 R 21 1 21 C 迹是 答 直线 AB 6 6 三角形中一些向量结论 三角形中一些向量结论 在中 ABC 为的重心 特别地为的重心 1 3 PGPAPBPC GABC 0PAPBPCP ABC 为的垂心 PA PBPB PCPC PAP ABC 向量所在直线过的内心 是的角平分线所在直线 0 ACAB ABAC ABC BAC 如 如 1 若 O 是所在平面内一点 且满足 则的形状为 ABC 2OBOCOBOCOA ABC 答 直角三角形 2 若为的边的中点 所在平面内有一点 满足 设 DABC BCABC P0PABPCP AP PD 则的值为 答 2 3 设点O在 ABC的内部且满足 现将一粒豆子随机撒在 ABC中 则豆子落在 04 OCOBOA OBC中的概率是 答 3 2 4 若点是的外心 且 则的内角为 答 OABC 0OAOBCO ABC C 120 5 O 是平面上一定点 A B C 是平面上不共线的三个点 动点 P 满足 则 0 AC AC AB AB OAOP P 的轨迹一定通过 ABC 的 心 答 内心 6 为平面上的定点 A B C 是平面上不共线的三点 若 2 0 则 ABCOOB OCOB OCOA 是 三角形 答 等腰三角形 7 已知是平面上不共线三点 设为线段垂直平分线上任意一点 若 O A BPAB 7OA 5OB 则的值为 答 12 OBOAOP 8 等边三角形 ABC 中 P 在线段 AB 上 且AP AB 若CP AB PA PB 则实数 的值是 答 2 2 1 7 7 P P 分分的比为的比为 则 0 内分 0 且 1 外分 21P P PP1 2 PP 若 1 则 设 P x y P1 x1 y1 中点 x y 重心 x y OP 2 1 1 OP 2 OP 2 2 21 21 yy y xx x 3 yyy y 3 xxx x 321 321 8 8 点 点按按平移得平移得 则 或 函数按平移得函数方程为 yxP kha yxP PP a kyy hxx xfy kha hxfky 如 如 1 按向量把平移到 则按向量把点平移到点 答 a 2 3 1 2 a 7 2 2 函数的图象按向量平移后 所得函数的解析式是 则 答 xy2sin a12cos xy a 1 4 六 不等式六 不等式 1 1 注意课本上的几个性质 另外需要特别注意 注意课本上的几个性质 另外需要特别注意 若 ab 0 则 即不等式两边同号时 不等式两边取倒数 不等号方向要改变 ba 11 如果对不等式两边同时乘以一个代数式 要注意它的正负号 如果正负号未定 要注意分类讨论 如 已知 则的取值范围是 答 11xy 13xy 3xy 137xy 2 比较大小的常用方法 1 作差 作差后通过分解因式 配方等手段判断差的符号得出结果 2 作商 常 用于分数指数幂的代数式 3 分析法 4 平方法 5 分子 或分母 有理化 6 利用函数的单调性 7 寻找中间量与 0 比 与 1 比或放缩法 8 图象法 其中比较法 作差 作商 是最基本的方法 如 如 1 设 比较的大小 答 当时 0 10 taa且 2 1 loglog 2 1 t t aa 和1a 时取等号 当时 时取等号 11 loglog 22 aa t t 1t 01a 11 loglog 22 aa t t 1t 2 设 试比较的大小 答 2a 1 2 pa a 24 2 2 aa qqp pq 3 3 常用不等式 常用不等式 若 1 当且仅当时取等号 0 ba 22 2 2211 abab ab ab ba 2 a b cR R 当且仅当时 取等号 222 abcabbcca abc 3 若 则 糖水的浓度问题 0 0abm bbm aam 如 如 如果正数 满足 则的取值范围是 答 ab3 baabab 9 基本变形 ba 2 2 ba 注意注意 一正二定三取等一正二定三取等 积定和最小 和定积最大 常用的方法为 拆 凑 平方 如 如 函数的最小值 答 8 2 1 42 9 4 x x xy 若若 则的最小值是 答 21xy 24 xy 2 2 正数满足 则的最小值为 答 x y21xy yx 11 32 2 4 4 何时取等 何时取等 a a a abababa 5 5 证法 证法 比较法 差比 作差 变形 分解或通分配方 定号 另 商比 综合法 由因导果 分析法 执果 索因 反证法 正难则反 放缩法方法有 添加或舍去一些项 如 aa 1 2 nnn 1 将分子或分母放大 或缩小 利用基本不等式 如 4lg16lg15lg 2 5lg3lg 5lg3log 2 2 1 1 nn nn 利用常用结论 kkk kk 2 1 1 1 1 程度大 kkkkk 1 1 1 1 11 2 1 11 1 11 2 kkkkk 程度小 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 11 22 kkkkkk 换元法 常用的换元有三角换元和代数换元 如 已知 可设 222 ayx sin cosayax 已知 可设 1 22 yx sin cosryrx 10 r 已知 可设 1 2 2 2 2 b y a x sin cosbyax 已知 可设 1 2 2 2 2 b y a x tan secbyax 最值法 如 a fmax x 则 a f x 恒成立 6 6 解绝对值不等式 解绝对值不等式 几何法 图像法 定义法 零点分段法 两边平方 公式法 f x g x f x 0 直径式方程 x x1 x x2 y y1 y y2 0 确定圆的几何要素 圆心和半径 不在同一条直线上的三个点 等 2 2 点与圆 直线与圆以及圆与圆的位置关系 点与圆 直线与圆以及圆与圆的位置关系 1 P x0 y0 在圆 x a 2 y b 2 r2内 上 外 x0 a 2 y0 b 2r2 设圆的直径为 AB 则90 90 90 APBAPBAPB 0 0 0 PA PBPA PBPA PB 2 直线与圆相交 相切 相离 有两 一 零 个公共点 dr dr dr 3 圆与圆的位置关系转化为圆心距与半径的关系 设圆心距为 d 两圆半径分别为 r R 则 d r R两圆相离 d r R两圆相外切 R r d r R两圆相交 d R r 两圆相内切 db 0 参数方程1 b y a x 2 2 2 2 sinby cosax 定义 e2c e a2 b2 c2 长轴长为 2a2a 短轴长为 2b2b 相应 d PF 2 2 a b 1 a c 焦半径左 PF1 a ex 右 PF2 a ex 左焦点弦 右焦点弦 xx ea2AB BA xx ea2AB BA 准线 x 通径 最短焦点弦 焦准距 p c a2 a b2 2 c b2 当 P 为短轴端点时 PF1F2最大 近地 a c 远地 a c 21F PF S 2 tanb2 如 如 1 中心在原点 离心率为 焦点到相应准线距离是 3 的椭圆方程是 答 2 1 1 43 1 34 2222 yxyx 2 椭圆的焦点为 F1