2011年高考真题详解——广东卷(文科数学)

20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 1 页 共页 共 20 页 页 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 文科数学 本试卷分第第 卷卷 选择题 和第第 卷卷 非选择题 两部分 第 卷第 1 至第 2 页 第 卷第 3 页至第 4 页 全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 第第 卷卷 选择题 共 50 分 一 选择题 每小题 5 分 共 50 分 2011 广东文 1 1 设复数z满足1iz 其中i为虚数单位 则z A i B i C 1 D 1 答案 A 解析 1 i zi iii 2011 广东文 2 2 已知集合 Ax yxy 为实数 且 22 1xy Bx yxy 为实数 且 1xy 则AB 的元素个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 答案 C 解析 AB 的元素个数等价于圆 22 1xy 与直线1xy 的交点个数 显然有 2 个交 点 2011 广东文 3 3 已知向量 1 2 1 0 3 4 abc 若 为实数 ab c 则 A 1 4 B 1 2 C 1 D 2 答案 B 解析 1 2 ab 由 ab c 得64 1 0 解得 1 2 2011 广东文 4 4 函数 1 lg 1 1 f xx x 的定义域是 A 1 B 1 C 1 1 1 D 20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 2 页 共页 共 20 页 页 答案 C 解析 10 1 10 x x x 且1x 则 f x的定义域是 1 1 1 2011 广东文 5 5 不等式 2 210 xx 的解集是 A 1 1 2 B 1 C 1 2 D 1 1 2 答案 D 解析 2 1 210 1 21 0 2 xxxxx 或1x 则不等式的解集为 1 1 2 2011 广东文 6 6 已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 02 2 2 x y xy 给定 若 M x y为D上的动点 点A的坐标为 2 1 则zOM OA 的最大值为 A 3 B 4 C 3 2 D 4 2 答案 B 解析 2zxy 即2yxz 画出不等式组表示的平面区域 易知当直线 2yxz 经过点 2 2 时 z取得最大值 max 2224z 20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 3 页 共页 共 20 页 页 2011 广东文 7 7 正五棱柱中 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为 它的对角线 那么一个正五棱柱对角线的条数共有 A 20 B 15 C 12 D 10 答案 D 解析 正五棱柱中 上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线 所以一 个正五棱柱对角线的条数共有5 210 条 2011 广东文 8 8 设圆C与圆 22 3 1xy 外切 与直线0y 相切 则C的圆心轨 迹为 A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 圆 答案 A 解析 依题意得 C的圆心到点 0 3 的距离与它到直线1y 的距离相等 则C的圆心 轨迹为抛物线 2011 广东文 9 9 如图 某几何体的正视图 主视图 侧视图 左视图 和俯视图分 别为等边三角形 等腰三角形和菱形 则该几何体体积为 20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 4 页 共页 共 20 页 页 A 4 3 B 4 C 2 3 D 2 答案 C 解析 该几何体是一个底面为菱形的四棱锥 菱形的面积 1 2 2 32 3 2 S 四棱锥 的高为3 则该几何体的体积 11 2 3 32 3 33 VSh 2011 广东文 10 10 设 HOHT 是 R 上的任意实值函数 如下定义两个函数 fgx 和 f gxA 对任意xR fgxf g x f gxf x g x A 则下列等式恒成立的是 A fghxf hg hx AAA B f ghxfhg hx AA C fghxfhg hx D f ghxf hg hx A AA A A 答案 B 解析 对 A 选项 fg A h x fg x h x f g x h x f hA g hA x f hA g hxA f hA g x h xA f g x h x h g x h x AA 故排除 A 20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 5 页 共页 共 20 页 页 对 B 选项 f gA h x f g h x A f h x g h x fh A g h x fh x g h x f h x g h x 故选 B 对 C 选项 fg h x fg h x f g h x fg gh x fggh xfgg h x f g g h x 故排除 C 对 D 选项 f gAA h x f gx h xf x g x h x A f gAA g hA x f gx g h xf x g x g x h x AA 故排除 D 解析二 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 小题 考生小题 考生作答作答 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20分分 一 必做题 一 必做题 11 13 题 题 第第 卷卷 非选择题 共 100 分 二 填空题 每小题 5 分 共 20 分 2011 广东文 11 11 已知 n a是递增等比数列 243 2 4aaa 则此数列的公比 q 答案 2 解析 22 4322 4422402 2 1 0aaa qa qqqqq 2q 或1q n a是递增的等比数列 2q 20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 6 页 共页 共 20 页 页 2011 广东文 12 12 设函数 3 cos1 f xxx 若 11f a 则 fa 答案 9 解析 3 cos111f aaa 即 3 cos10f aaa 则 33 cos 1cos110 19faaaaa 2011 广东文 13 13 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系 下 表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打时间 x 单位 小时 与当于投篮命中率 y 之间的关系 时间 x12345 命中率 y0 40 50 60 60 4 小李这 5 天的平均投篮命中率为 用线性回归分析的方法 预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为 答案 0 5 0 53 解析 小李这 5 天的平均投篮命中率 1 0 40 50 60 60 4 0 5 5 y 3x 1 2222 2 1 0 2000 1 0 2 0 01 2 1 0 12 n ii i n i i xxyy b xx 0 47aybx 线性回归方程 0 010 47yx 则当6x 时 0 53y 预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为0 53 二 选做题 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 2011 广东文 14 14 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 已知两曲线参数方程分别为 sin cos5 y x 0 和 2 5 4 xt yt t R 它们的交点坐标为 答案 2 5 1 5 20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 7 页 共页 共 20 页 页 解析 5cos sin x y 表示椭圆 2 2 1 5 x y 5501 xy 且 2 5 4 xt yt 表示抛物线 2 4 5 yx 2 2 2 2 1 5501 5 4501 4 5 x yxy xxx yx 且 或5x 舍去 又因为01y 所以它们的交点坐标为 2 5 1 5 2011 广东文 15 15 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 4 在梯形 ABCD 中 AB CD AB 4 CD 2 E F 分别为 AD BC 上点 且 EF 3 EF AB 则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 答案 7 5 解析 如图 延长 AD BC ADBCP 2 3 CD EF 4 9 PCD PEF S S 2 4 CD AB 4 16 PCD PEF S S 7 5 ABEF EFCD S S 梯形 梯形 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 2011 广东文 16 16 本小题满分 12 分 已知函数 1 2sin 36 f xx xR 求 0f的值 设 10 0 3 2213 f 6 3 25 f 求 sin 的值 解析 20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 8 页 共页 共 20 页 页 0 2sin 1 6 f 110 3 2sin 3 2sin 232613 f 即 5 sin 13 16 32 2sin 32 2sin 3625 f 即 3 cos 5 0 2 2 12 cos1 sin 13 2 4 sin1 cos 5 5312463 sin sincoscossin 13513565 2011 广东文 17 17 本小题满分 13 分 在某次测验中 有 6 位同学的平均成绩为 75 分 用 n x 表示编号为 1 2 6n n 的同学所 得成绩 且前 5 位同学的成绩如下 编号 n12345 成绩 n x 7076727072 求第 6 位同学成绩 6 x 及这 6 位同学成绩的标准差s 从前 5 位同学中 随机地选 2 位同学 求恰有 1 位同学成绩在区间 68 75中的概率 解析 6 1 1 75 6 n n xx 5 6 1 6675707672707290 n n xxx 6 22222222 1 11 5135315 49 66 n n sxx 7 s 从 5 位同学中随机选取 2 位同学 共有如下 10 种不同的取法 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 选出的 2 位同学中 恰有 1 位同学的成绩位于 68 75 的取法共有如下 4 种取法 1 2 2 3 2 4 2 5 故所求概率为 2 5 解法二 1 6 1 7076727072 75 6 x 解得 6 90 x 20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 9 页 共页 共 20 页 页 标准差 222222222 126 11 5135315 7 66 sxxxxxx 2 前 5 位同学中随机选出的 2 位同学记为 a b 1 2 3 4 5 a b 且ab 则基本事件有 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 共 10 种 这 5 位同学中 编号为 1 3 4 5 号的同学成绩在区间 68 75 中 设 A 表示随机事件 从前 5 位同学中随机选出 2 位同学 恰有 1 位同学成绩在区间 68 75 中 则 A 中的基本事件有 1 2 2 3 2 4 2 5 共 4 种 则 42 105 P A 2011 广东文 18 18 本小题满分 12 分 如图所示 将高为 2 底面半径为 1 的直圆柱 沿过轴的平面切开后 将其中一半沿切面向右平移到的 A A B B 分别为 AAAA CD C D DE D E 的中点 1122 O O O O 分别为 CD C D DE D E 的中点 证明 12 OA O B 四点共面 设G为 AA 中点 延长 1 A O 到 H 使得 11 O HA O 证明 2 BOH B G 面 解析 20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 10 页 共页 共 20 页 页 AA A ACD C D 分别为中点 11 O AO A 连接 BO2 直线 BO2是由直线 AO1平移得到 12 AOBO 12 O ABO 12 OA O B 共面 将 AO1延长至 H 使得 O1H O1A 连接 1 HOHB H H 由平移性质得 12 O O HB 21 BOHO 11 2 A GH OH HA HO H HGA H 1 GA HO H H 1 2 H O HGH A 1 O HH G 2 BOH G 12212222222 O OB OO OO O B OO OO 1222 O OB BO O 平面 122 O OBO 2 BOH B H BH GH 2 BOH B G 平面 20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 11 页 共页 共 20 页 页 解法二 证明 1 连接 2 BO 22 O O 依题意得 1122 O O O O 是圆柱底面圆的圆心 CD C D DE D E 是圆柱底面圆的直径 A B B 分别为 A C D A DE AD E 的中点 12 90A O DB O D 1 A O 2 BO BB 22 O O 四边形 22 O O B B 是平行四边形 2 BO 2 BO 1 A O 2 BO 12 OA O B 四点共面 2 延长 1 A O 到H 使得 11 O HAO 连接 1 HH HOHB 11 O HA O 1 O H 2 O B 四边形 12 O O B H 是平行四边形 12 O O H B 1222 O OO O 122 O OB O 2222 O OB OO 12 O O 面 22 O O B B H B 面 22 O O B B 2 BO 面 22 O O B B 2 BOH B 易知四边形AA H H 是正方形 且边长2AA 20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 12 页 共页 共 20 页 页 1 1 tan2 HH HO H O H 1 tan 2 A G A H G A H 1 tantan1HO HA H G 1 90HO HA H G 1 HOH G 易知 12 O O HB 四边形 12 O O BH 是平行四边形 2 BO 1 HO 2 BOH G H GH BH 2 BO 平面H B G 2011 广东文 19 19 本小题满分 14 分 设0a 讨论函数 2 ln 1 2 1 f xxaa xa x 的单调性 解析 函数 f x的定义域为 0 2 2 1 2 1 1 aa xa x fx x 当 2 12 1 2 1 1aaa xa x 时 方程的判别式 1 12 1 3 aa 当 1 0 0 3 afx 时有两个零点 12 1 31 1 31 11 0 22 1 22 1 aaaa xx aaaaaa 且当 1212 0 0 0 xxxxfxf xxx 或时在与内为增函数 当 1212 0 xxxfxf xx x 时在内为减函数 当 1 1 0 0 0 3 afxf x 时所以在内为增函数 20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 13 页 共页 共 20 页 页 当 1 1 0 0 0 afxxf x x 时在内为增函数 当 1 1 31 1 1 0 0 22 1 aa ax aaa 时 2 1 31 1 0 22 1 aa xfx aaa 所以在定义域内有唯一零点 1 x 且当 11 0 0 0 xxfxf xx 时在内为增函数 当 1 xx 时 1 0 fxf xx 在内为减函数 f x的单调区间如下表 1 0 3 a 1 1 3 a 1a 1 0 x 12 x x 2 x 0 1 0 x 1 x AAAAAA 其中 12 1 31 1 31 11 22 1 22 1 aaaa xx aaaaaa 解法二 函数 f x的定义域为 0 2 12 1 2 1 1 2 1 2 1 aa xa x fxaa xa xx 令 2 2 1 2 1 1g xaa xa x 22 4 1 8 1 121644 31 1 aaaaaaa 当 1 0 3 a 时 0 令 0fx 解得 1 31 1 2 1 aaa x aa 则当 1 31 1 0 2 1 aaa x aa 或 1 31 1 2 1 aaa x aa 时 0fx 20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 14 页 共页 共 20 页 页 当 1 31 1 1 31 1 2 1 2 1 aaaaaa x aaaa 时 0fx 则 f x在 1 31 1 0 2 1 aaa aa 1 31 1 2 1 aaa aa 上单调递增 在 1 31 1 1 31 1 2 1 2 1 aaaaaa aaaa 上单调递减 当 1 1 3 a 时 0 0fx 则 f x在 0 上单调递增 当1a 时 0 令 0fx 解得 1 31 1 2 1 aaa x aa 0 x 1 31 1 2 1 aaa x aa 则当 1 31 1 0 2 1 aaa x aa 时 0fx 当 1 31 1 2 1 aaa x aa 时 0fx 则 f x在 1 31 1 0 2 1 aaa aa 上单调递增 在 1 31 1 2 1 aaa aa 上单 调递减 2011 广东文 20 20 本小题满分 14 分 设0b 数列 n a满足 1 ab 1 1 2 22 n n n nba an an 求数列 n a的通项公式 证明 对于一切正整数n 1 21 n n ab 解析 由 1 1 1 0 0 1 n n n nba aba an 知 1 111 nn nn abb a 20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 15 页 共页 共 20 页 页 令 1 1 n n n AA ab 当 1 11 2 nn nAA bb 时 1 11 111 nn A bbb 1 111 nn bbb 当 11 1 1 1 1 1 1 nn n n bbb bA bb b 时 当1b 时 n An 1 1 1 1 1 n n n nb b b a b b 当1b 时 欲证 1 2 1 21 1 n n n n nb b ab b 只需 1 1 2 1 1 n nn b nbb b 1221112 1 1 1 1 n nnnnnn b bbbbbb b 1 1 111 nnn nn bbbb bbb 222 n b 2 n nb 1 2 1 21 1 n n n n nb b ab b 综上所述 1 21 n n ab 解法二 1 1 1 n n n nba a an 1 1 1 nn n aba nan 1 111 nn nn ab ab 当1b 时 1 1 1 nn nn aa 则 n n a 是以 1 为首项 1 为公差的等差数列 1 1 1 n n nn a 即1 n a 20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 16 页 共页 共 20 页 页 当0b 且1b 时 1 1111 11 nn nn abb ab 当1n 时 11 1 1 n n abbb 1 1 n n ab 是以 1 1 bb 为首项 1 b 为公比的等比数列 111 11 n n n abbb 111 1 1 1 n nn n nb ab bbb b 1 1 n n n nb b a b 综上所述 1 01 1 11 n n n nb b bb a b b 且 2 证明 当1b 时 1 212 n n ab 当0b 且1b 时 21 1 1 1 nnn bbbbb 要证 1 21 n n ab 只需证 1 2 1 1 1 n n n nb b b b 即证 2 1 1 1 nn nb b bb 即证 21 21 1 nnn n b bbbb 即证 21 1 1 2 nn n bbbbn b 即证 21 12 1111 2 nn nn bbbbn bbbb 21 12 1111 nn nn bbbb bbbb 21 21 1111 nn nn bbbb bbbb 21 21 1111 22222 nn nn bbbbn bbbb 原不等式成立 对于一切正整数n 2 n a 1 1 n b 2011 广东文 21 21 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系xOy中 直线 2l x 交 x轴于点A 设P是l上一点 M是线段OP的垂直平分线上一点 且满足 20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 17 页 共页 共 20 页 页 MPOAOP 当点P在l上运动时 求点M的轨迹E的方程 已知 1 1 T 设H是E上动点 求 HOHT 的最小值 并给出此时点H的坐标 过点 1 1 T 且不平行于y轴的直线 1 l与轨迹E有且只有两个不同的交点 求直线 1 l的斜率k的取值范围 解析 解法一 1 如图所示 连接OM 则PMOM MPOAOP 动点M满足MPl 或M在x的负半轴上 设 M x y 当MPl 时 2MPx 22 OMxy 22 2xxy 化简得 2 44yx 1 x 当M在x的负半轴上时 0y 1 x 综上所述 点M的轨迹E的方程为 2 44yx 1 x 或0y 1 x 2 由 1 知M的轨迹是顶点为 1 0 焦点为原点的抛物线和x的负半轴0y 1 x 若H是抛物线上的动点 过H作HNl 于N 由于l是抛物线的准线 根据抛物线的定义有HOHN 则HOHTHNHT 当 N H T三点共线时 HNHT 有最小值3TN 求得此时H的坐标为 3 1 4 若H是x的负半轴0y 1 x 上的动点 显然有3HOHT 综上所述 HOHT 的最小值为 3 此时点H的坐标为 3 1 4 20112011 年全国高考年全国高考 广东卷广东卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 18 页 共页 共 20 页 页 x y O TA A 1 l 1 l 1 l 3 如图 设抛物线顶点 1 0 A 则直线AT的斜率 1 2 AT k 点 1 1 T 在抛物线内部 过点T且不平行于 x y轴的直线 1 l必与抛物线有两个交点 则直线 1 l与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论 当 1 2 k 时 直线 1 l与轨迹E有且只有两个不同的交点 当 1 0 2 k 时 直线 1