概率论与数理统计知识要点

知识要点知识要点 一一 概念 概念 1 随机事件随机事件 用等表示 A B C 互不相容互不相容 AB 互逆 互逆 且 此时 AB AB BA 互逆 互不相容 反之不行 相互独立 相互独立 或 P A BP A P ABP A P B 2 随机事件的运算律 随机事件的运算律 1 交换律 ABBAABBA 2 结合律 ABCABCAB CA BC 3 分配律 A BCABACABCAB AC 4 De Morgen 律 对偶律 BABA BAAB 推广 11 nn ii ii AA 11 nn ii ii AA 3 随机事件的概率 随机事件的概率 P A 有界性 0 1P A 若 则AB P AP B 条件概率 P AB P A B P B 4 随机变量随机变量 用大写表示 X Y Z 若与相互独立的充分必要条件是XY yFxFyxF YX 若与是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是 XY XY f x yfx fy 若与是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是XY XY p x ypx py 若与不相关 则 或 XYcov 0X Y 0R X Y 独立不相关 反之不成立 但当与服从正态分布时 则相互独立 不相关XY 相关系数相关系数 且当且仅当时 并且1 YXRbXaY 1 YXR 0 1 0 1 b b YXR 二二 两种概率模型两种概率模型 古典概型 所包含的基本事件的个数 总的基本事件的个数 M P A N MA N 伯努利概型 次独立试验序列中事件恰好恰好发生次的概率 nAm mmn m nn P mC p q 次独立试验序列中事件发生的次数为到之间的概率nA 1 m 2 m 2 1 12 m n m m P mmmP m 次独立试验序列中事件至少至少发生次的概率nAr 1 0 1 nr nn m rm P mrP mP m 特别的 至少发生一次发生一次的概率 1 1 1 nP mp 三三 概率的计算公式 概率的计算公式 加法公式 加法公式 P ABP AP BP AB 若互不相容 则BA BPAPBAP 推论 APAP 1 推广 ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP 若 互不相容 则BA C P ABCP AP BP C 乘法公式乘法公式 或 ABPAPABP P B P A B 若相互独立 A B P ABP A P B 推广 12121312121 nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAP 若它们相互独立 则 1212 nn P A AAP A P AP A 全概率公式全概率公式 若 为随机事件 互不相容的完备事件组 且 A n BBB 21 0 i BP 则 2211nn BAPBPBAPBPBAPBPAP 注 常用作为互不相容的完备事件组 B B 有诸多原因可以引发某种结果 而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和 这样的 概率问题属于全概问题 用全概率公式解题的程序 1 判断所求解的问题 是否为全概率问题 2 若是全概率类型 正确的假设事件及 要求是互斥的完备事件组A i B i B 3 计算出 ii P BP A B 4 代入公式计算结果 四四 一维随机变量 一维随机变量 1 分布函数分布函数 xXPxF 性质性质 1 1 0 xF 2 若 则 21 xx 21 xFxF 3 若是离散随机变量 则是右连续的X xF 若是连续随机变量 则是连续的X xF 有时 此性质也可用来确定分布函数中的常数 4 即 1 lim xF x 1 F 即 此性质常用来确定分布函数中的常数 0 lim xF x 0 F 利用分布函数计算概率利用分布函数计算概率 P aXbF bF a 一维离散随机变量 一维离散随机变量 概率函数概率函数 分布律 1 2 ii p xP Xxi 性质性质 0 i p x 此性质常用来确定概率函数中的常数 1 i i p x 已知概率函数求分布函数已知概率函数求分布函数 ii ii xxxx F xP Xxp x 一维连续随机变量一维连续随机变量 概率密度概率密度 f x 性质 性质 1 非负性 0f x 2 归一性 常用此性质来确定概率密度中的常数 1f x dx 分布函数和概率密度的关系 分布函数和概率密度的关系 f xF x x F xf x dx 注意 当被导函数或被积函数是分段函数时 要分区间讨论 其结果也是分段函数 利用概率密度求概率利用概率密度求概率 b a P aXbf x dx 五五 一维随机变量函数的分布 一维随机变量函数的分布 离散情形 列表 整理 合并 连续情形 分布函数法 先求的分布函数 再求导 Yg X Y 六六 二维随机变量 二维随机变量 联合分布函数联合分布函数 F xyP XxYy 性质性质 1 2 0F 0Fx 3 4 0Fy 1F 此极限性质常用来确定分布函数中的常数 边缘分布函数边缘分布函数 X FxF x yFyFY 二维离散随机变量 二维离散随机变量 联合概率函数联合概率函数 列表 ijij p xyP Xx Yy 边缘概率函数边缘概率函数 Xiij j pxp xy Yiij i pyp xy 二维连续随机变量二维连续随机变量 联合概率密度 f x y 性质性质 1 0f x y 2 常用此性质来确定概率密度中的常数 1f x y dxdy 联合分布函数与联合概率密度的关系联合分布函数与联合概率密度的关系 yxF yx yxf 2 xy dxdyyxfyxF 注意 当被导函数或被积函数是分段函数时 要分区间讨论 其结果也是分段函数 利用联合概率密度求概率利用联合概率密度求概率 R P x yRf x y dxdy 已知联合概率密度求边缘概率密度已知联合概率密度求边缘概率密度 X fxf x y dy Y fyf x y dx 注意 当被积函数是分段函数时 要分区间讨论 其结果也是分段函数 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 1 离散情形 2 连续情形 七七 随机变量的数字特征 随机变量的数字特征 若为离散随机变量 X 1 n ii i E Xx p x 若为连续随机变量 X E Xxf x dx 二维情形 若为二维连续随机变量 则 X Yf x y X E Xxfx dxxf x y dxdy E Yyf x y dxdy 若为二维离散随机变量 则 ij X Yp xy iXiiij iij E Xx pxx p xy jYjjij jji E Yy pyy p xy 随机变量的函数的数学期望 随机变量的函数的数学期望 若为离散随机变量 X ii i E g Xg x p x 若为连续随机变量 X E g Xg x f x dx 方差 方差 定义 2 D XEXE X 方差的计算公式方差的计算公式 22 D XE XEX 注意这个公式的转化 22 E XD XEX 协方差协方差 相关系数相关系数 cov YEXEXYEYX cov YDXD YX YXR 关于期望的定理 关于期望的定理 关于方差的定理关于方差的定理 1 1 E CC 0D C 2 2 E CXCE X 2 D CXC D X 3 相互独立 E XYE XE Y D XYD XD Y E XYE XE Y D XYD XD Y 注意 反之不成立 EXYE XE Y 相互独立 注意 反之不成立 E XYE X E Y 一般地一般地 cov 2 YXYDXDYXD 八八 要熟记的常用分布及其数字特征 要熟记的常用分布及其数字特征 分布分布 0 1 1 Bp 1 0 1 xx p xp qx E XpD Xpq 二项分布二项分布 B n p 0 1 xxn x in p xC p qxn E XnpD Xnpq 泊松分布泊松分布 p 0 1 x p xex x E XD X 均匀分布均匀分布 U a b 1 0 axb f xba 其他 0 1 xa axb ba F Xxa xb 2 212 abba E XD X 指数分布指数分布 e 0 00 x ex f x x 10 00 x ex F x x 2 11 E XD X 正态分布正态分布 2 XN 2 2 2 1 2 x f xe 2 2 2 1 2 x x F xedx 2 E XD X 特别地特别地 0 1 N 2 2 1 2 x xe 2 2 1 2 x x xedx 1 xx 0 1E XD X 若 则 2 XN 12 12 xxX P xXxP 21 xx 九九 正态随机变量线性函数的分布 正态随机变量线性函数的分布 十十 统计部分 统计部分 统计量 三大分布的定义 无偏性 有效性 矩估计 最大似然估计 区间估计 假设检验 矩估计的步骤 思路 用样本的矩估计的步骤 思路 用样本的 k 阶原点矩去估计总体的阶原点矩去估计总体的 k 阶原点矩 阶原点矩 若总体中只含一个未知参数 1 计算总体的一阶原点矩 XE 2 令 从中解得未知参数的矩估计量 n i i X n VXE 1 1 1 若总体中含有两个未知参数 3 计算总体的一阶原点矩 二阶原点矩 XE 2 XE 4 令 从中解得未知参数的矩估计量 n i i n i i X n VXE X n VXE 1 2 2 2 1 1 1 1 最大似然估计的步骤 最大似然估计的步骤 1 写似然函数 若总体是连续的随机变量 则 n i i xfL 1 若总体是离散的随机变量 则 n i i xpL 1 注 离散情形 似然函数就是样本出现的概率 2 对似然函数两边取对数 3 对参数求导数 并令导数等于 0 4 由此解得参数的最大似然估计值 区间估计的步骤 区间估计的步骤 若已知 则的置信水平为的置信区间为 1 2 0 2 0 u n xu n x 查表 将所有的数据代入上式 求出区间即可 若未知 则的置信水平为的置信区间为 1 1 1 22 nt n s xnt n s x 查表 将所有的数据代入上式 求出区间即可 假设检验的步骤 对参数假设检验的步骤 对参数 1 根据题意提出原假设与备择假设 2 根据题意选取统计量 已知 则应该选择统计量 u 1 0 0 0 N n X u 未知 则应选择统计量 1 nt nS X t 3 计算统计量的观察值 4 查临界值 判断统计量的观察值是否在拒绝域里 下结论 例 甲袋中有 5 只红球 10 只白球 乙袋中有 8 只红球 6 只白球 现先从甲袋中任取一球 放入乙袋 然后又从乙袋中任取一球放入甲袋 求这一个来回后甲袋中红球数不变的概率 解 设 从甲袋中取出放入乙袋的是红球 从乙袋中返还甲袋的是红球 这一ABC 个来回后甲袋中红球数不变 则 BAABC 从而 ABPAPABPAPBAPBAPCP 9 5 15 8 15 10 15 9 15 5 例 高射炮向敌机发射三发炮弹 每弹击中与否相互独立 设每发炮弹击中敌机的概率均 为 又若敌机中一弹 其坠落的概率为 若敌机中两弹 其坠落的概率为 3 02 06 0 若敌机中三弹 则必然坠落 求敌机被击落的概率 解 设事件表示敌机被击落 事件表示敌机中 弹 A i Bi3 2 1 i 则 441 0 3 01 3 0 211 31 CBP189 0 3 01 3 0 122 32 CBP 027 0 3 01 3 0 033 33 CBP 2 0 1 BAP6 0 2 BAP1 3 BAP 所以 332211 BAPBPBAPBPBAPBPAP 2286 0 027 0 1134 0 0882 0 1027 0 6 0189 0 2 0441 0 例 设的分布函数 求 X Rx Rx R x x xF 1 0 00 2 2 xf 解 当时 Rx 0 22 2 2 R x R x xFxf 当时 Rxx 00 xf 在处导数不存在 但规定为零 Rx 其其0 0 2 2 Rx R x xf 例 设连续随机变量的概率密度 2 0 2 cos x xxa xf 求 4 0 3 2 1 xPxFa 解 1 对称性质 axaxdxaxdxadxxf2sin2cos2cos 2 2 2 0 2 0 由 得 1 dxxf 2 1 12 aa 2 当时 2 x x dxxfxF0 当时 22 x xxx xdxxdxdxdxxfxF 22 cos 2 1 cos 2 1 0 2 其其其其其其 1 sin 2 1 sin 2 1 2 xx x 当 时 2 x 1sin 2 1 2 2 xdxdxxfxF x 2 1 2 sin1 2 1 2 0 x xx x xF 3 4 2 cos 2 1 4 0 4 0 4 0 xdxdxxfxP 或 4 2 0sin1 2 1 4 sin1 2 1 0 4 4 0 FFxP 例 求的 密度函数 1 XeYX 解 0 00 x ex f x x Y FyP YyPxy 当 时 0y 0 Y Fy 当 时 0y 22 2 0 yy x Y FyPxyP xyf x dxe dx 2 0 00 0 y Y x y Fy e dxy 2 00 20 YY y y fyFy yey 例 例 设随机变量的概率密度为X 0 1 0 1 6 其它 xxx xf 求 1 2 XDXE 2 1 XP 解 1 2 1 4 1 3 1 6 4 1 3 1 6 6 1 6 1 0 43 1 0 32 1 0 xxdxxxdxxxxdxxxfXE 10 3 5 1 4 1 6 5 1 4 1 6 6 1 6 1 0 54 1 0 43 1 0 222 xxdxxxdxxxxdxxfxXE 20 1 4 1 10 3 22 XEXEXD 2 24 1 8 1 3 1 2 1 6 3 1 2 1 6 1 6 2 1 1 2 1 32 1 2 1 2 1 xxdxxxdxxfXP 2 1 24 2 6 1 6 设随机变量的概率密度为X 0 21 10 1 3 其其 xxk xxx xf 求常数的值 3 1 k 2 XE XD 解 1 dxxkdxxxdxxf 2 1 1 0 1 3 2 1 2 22 1 x k 2 3 2 1k 由知 解得 1 dxxf1 2 3 2 1 k 3 1 k 2 dxxdxxxdxxxfXE 2 1 2 1 0 2 3 1 1 3 36 37 9 7 4 1 9 1 4 1 3 1 3 2 1 31 0 43 xxx 3 dxxdxxxdxxfxXE 2 1 3 1 0 322 3 1 1 3 5 7 4 5 20 3 12 1 5 1 4 1 3 2 1 41 0 54 xxx 222 36 37 5 7 XEXEXD 例 设随机变量的概率密度为 YX 0 0 其其 xyxe yxf y 计算 1 边缘概率密度 2 与是否相互独立 yfxf YX XY 为什么 解 1 当时 0 x0 xfX 当时 0 x x x y x y X eedyedyyxfxf 所以 0 0 0 xe x xf x X 当时 0 y0 yfY 当时 0 y y y y Y yedxedxyxfyf 0 所以 0 0 0 yye y yf y Y 2 因为 yxfyfxf YX 所以 与不相互独立 XY 例 设随机变量的联合概率密度为 YX 0 2 0 2 0 coscos 其它 yxyx yxf 求 1 的边缘概率密度 2 X xfX 2 YXP 解 1 dyyxfxfX 当或时 0 x 2 x0 xfX 当时 2 0 xxyxdyyxxfXcos sincoscoscos 2 0 2 0 所以 0 2 0 cos 其它 xx xfX 2 dyyxdxdxdyyxfYXP x yx 2 0 2 0 2 coscos 2 4 2sin 4 1 22 2cos1 cos 2 sin cossincos 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 x x dx x dxxdxxxdxyx x 例 总体的概率密度为 是未知参数 求的X 1 01 0 xx f x 其他 矩估计量 解 11 1 00 1 1 1 2 E Xx f x dxxx dxxdx 令 1 2 X 由此解得 的矩估计量为 A 21 1 X X 例 设总体的概率密度为 其中为未知X 2 0 2 2 x xe xf x 0 参数 如果从该总体中取得简单随机样本观测值 求参数的最 21n xxx 大似然估计值 解 似然函数为 2 2 11 1 nx nx n i n i i n i i i eexfL 取对数得 2 ln ln 1 nxnL n i i 对 求导得 2 ln 1 nx n d Ld n i i 令 即 0 ln d Ld nx n n i i 2 1 从而得到的最大似然估计值为 2 1 2 1 x nx n n i i 例 设总体 为未知参数 2 1 2 NX 1 已知从该总体中随机抽取个观测值的平均值为 求的置信水平为的2520 8 99 0 置信区间 结果保留四位小数 2 要使的置信水平为的置信区间长度不超过 问样本容量最少应为多少 99 0 1 解 1 已知 则的置信水平为的置信区间为 1 2 0 2 0 u n xu n x 于是25 n99 01 01 0 2 1 0 58 2 005 0 005 0 2 tuu 6192 0 58 2 25 2 1 2 0 u n 又 于是置信区间为20 8 x 2 0 2 0 u n xu n x 6192 0 20 8 6192 0 20 8 即 8192 8 5808 7 2 要使置信区间长度 1 192 6 58 2 2 12 22 2 0 nn u n l 样本容量最少为 192 6 n34 38 n39 例 从一批火箭推力装置中抽取 个进行试验 测试其燃烧时间 s 经计算8 得样本均值 s 样本标准差 s 设燃烧时间服从正态分88 51 x66 0 S 布 求燃烧时间均值的置信水平