微分中值定理的推广及应用毕业论文

微分中值定理的推广及应用 1 本 科 毕 业 设 计 论文 微分中值定理的推广及应用 The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its Application 学 院 系 数理学院 专 业 数学与应用数学 学 生 姓 名 学 号 101108072 指 导 教 师 职称 评 阅 教 师 完 成 日 期 2012 04 南阳理工学院 Nanyang Institute of Technology 微分中值定理的推广及应用 2 微分中值定理的推广及应用 数理学院 摘 要 本文在阐述了微分中值定理的一般证法的基础上 给出了新的证明方法 讨 论了三大微分中值定理之间的递进关系等 并对中值定理进行了一定地推广 同时具体的 分析了微分中值定理在证明等式 不等式以及讨论方程根的存在性等几个方面的应用 关键词 微分中值定理 新证法 推广 费马定理 The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its Application Mathematical Institute Abstract In this paper the differential mean value theorem of the general license based on the method gives a new proof method discusses the three differential mean value theorems of transitive relations among and the mean value theorem for a promotion and specific analysis of the differential mean value theorem in the proof of identity inequality and discuss the equation existence of root and so on several aspects of the application Key words Differential mean value theorem New method Promotion Fermat s theorem 微分中值定理的推广及应用 3 目目 录录 0 绪论 1 1 微分中值定理及相关的概念 1 2 微分中值定理普遍的证明方法 2 2 1 费马定理 2 2 2 罗尔中值定理 2 2 3 拉格朗日中值定理 3 2 4 柯西中值定理 4 3 中值定理的推广 4 3 1 关于三个中值定理新的证明方法 4 3 2 微分中值定理的推广 6 3 3 微分中值定理的弱逆定理 10 4 微分中值定理的应用 11 4 1 利用微分中值定理证明等式 11 4 2 利用微分中值定理证明不等式 14 4 3 讨论方程根的存在性 15 结束语 18 参考文献 18 致谢 18 微分中值定理的推广及应用 4 0 绪论 微分中值定理是包括 Rolle 定理 Lagrange 定理 Cauchy 定理等一系列基本定理 的总称 它的出现是一个过程 聚集了众多数学家的研究成果 从费马到柯西不断发展 理论知识也不断完善 成为了人们引进微分学以后 数学研究中的重要工具之一 而 且应用也越来越广泛 微分中值定理在函数在某一点的局部性质 函数图象的走向 曲 线凹凸性的判断 积分中值定理 级数理论 等式及不等式证明等问题的研究中也发 挥着很重要的作用 因此 微分中值定理构成了整个微分学基础而重要的内容 1 微分中值定理及相关概念 所谓微分中值定理 其实是指一个 或多个 函数导数与其增量之间的等式关系 通 俗的讲 微分中值定理就是包括罗尔定理 拉格朗日中值定理 以及柯西中值定理等基 本定理在内的定理的总称 以下是证明微分中值定理时用到的几个概念 定义定义 1 1 最小值或最大值 设在上有定义 若存在使任意 xfIIx 0 Ix 则称为的最小值 最大值 为最小值点 最大 0 xf xf 0 xf xf 0 xf xf 0 x 值点 定义定义 2 2 极小值或极大值 设在任意上有定义 若存在任意 xfIx 0 0 Ix 都有 则称为的一个极小值 x 00 xx 0 xfxf 0 xfxf 0 xf xf 极大值 称为极小值点 极大值点 0 x 定义定义 3 3 极限的局部保号性 若 则存在任意 lim lim 00 xgxf xxxx 0 0 xx 使得 0 x xgxf 定义定义 4 4 函数单调性 函数在定义域内 当时 有 xf 21 xx 21 xfxf 1 xf 2 xf 则称单调递增 严格单调递增 当时 有 xf 21 xx 21 xfxf 1 xf 2 xf 则称单调递减 严格单调递减 xf 定义定义 5 5 凸性 若函数曲线位于其每一点处切线的上方 下方 则称函数曲线时下凸 上凸 的 或称函数向下凸 上凸 定义定义 6 6 凹性 若的一阶导数在上单调递增 或递减 则称 xfy x f ba xf 微分中值定理的推广及应用 5 在是向上凹 下凹 的 或称函数曲线向上凹 下凹 ba 2 微分中值定理普遍的证明方法 2 1 费马定理 定理定理 1 1 设在区间有定义 若是函数的极值点 且在处可 1 xfK 0 x xf xf 0 x 导 则 0 x f 费马定理的几何意义 若将函数的曲线置于平面直角坐标系 则费马定 xfXOY 理具有几何意义 对曲线上 若有一点存在切线 且为极值点 则 xfy 00 xfx 0 x xf 这一点处的切线平行于轴 x 证明证明 为的极值点 设为极小值点 则存在任意 0 x xf 0 x 0 0 xx 0 x 有 0 xfxf 若 则 0 xx 0 0 0 xx xfxf 若 则 0 xx 0 0 0 xx xfxf 取极限与分别为 由于在处可导 则 0 0 lim 0 xx xfxf xx 0 0 lim 0 xx xfxf xx TS xf 0 x TS 0 0 lim 0 xx xfxf xx 由极限的局部保号性有 故 所以有0 T0 STS0 0 lim 0 0 0 xx xfxf xx 微分中值定理的推广及应用 6 即 0 0 x f 2 2 罗尔中值定理 定理定理 2 2 设满足 1 在闭区间上连续 2 在开区间内可导 3 xf ba ba 则至少存在一点使得 bfaf ba 0 f 罗尔定理的几何意义 若满足罗尔定理的条件 则在曲线上至少存在 xf xfy 一点 使得点处的切线平行于轴 如图 其中 fPPx afaA bfbB 证明证明 由于在闭区间上连续 从而存在最大值 最小值 Mm 若则对任意有 即为常函数 所以 mM bax mMxf xf0 x f 若 由于 与不同时为区间的端点 不妨设mM bfaf Mm 所以必为的极大值 设 则有 且在 bfafM M xfMf ba xf 内可导 根据费马定理可知 ba 0 f 证毕 2 3 拉格朗日中值定理 定理定理 3 3 若函数满足 1 在闭区间上连续 2 在开区间内可导 则 xf ba ba 至少存在一点使得 ba ab afbf f 证法 利用罗尔中值定理 构造辅助函数 ax ab afbf afxfxF 证明证明 作辅助函数 微分中值定理的推广及应用 7 ax ab afbf afxfxF 显然 在上连续 在内可导 且 由罗尔定理可知 存在一 xF ba ba 0 bfaf 点 使得 即 ba 0 F ab afbf f 推论推论 设 都在区间上可导 且 则 xf xgK xgxf cxgxf 2 4 柯西中值定理 定理定理 4 4 设函数 满足 1 在闭区间上连续 2 在开区间内 xf xg ba ba 可导 且 则至少存在一点使得0 x g ba agbg afbf g f 证明证明 由定理条件可知 则任意都有 因此 只需证 agbg ba 0 g 0 afbfgagbgf 为此 构造函数 afbfxgagbgxfxF bax 显然 在上连续 在内可导 且 根据罗尔定理 存在 使 xF ba ba bFaF ba 得 0 F 即 0 afbfgagbgf 所以 agbg afbf g f 3 中值定理的推广 微分中值定理在数学分析中甚至是整个数学领域都占有非常重要的地位 其证明方 法也有多种 3 1 关于三个中值定理新的证明方法 3 1 1 罗尔定理的新证法 微分中值定理的推广及应用 8 引理引理 1 1 非单调函数在上连续 在内可导 则存在一点 使得 xf ba ba ba 0 f 证明证明 因为在上连续 且非单调 故存在为函数的极值点 又 xf ba ba xf 在内可导 故在点可导 由费马定理可知 xf ba 0 f 罗尔定理的新证法 证明证明 因为 且 ba afbf 1 若为常数 则必有 所以 存在 使得 afbfxf 0 x f ba 0 f 2 若不是常数 则非单调 又有在上连续在内可导 xf xf xf ba ba 根据引理 1 存在 使得 ba 0 f 证毕 3 1 2 拉格朗日中值定理的新证法 2 证明证明 利用分析法证明拉格朗日中值定理 要证存在使得 ba ab afbf f 成立 即证 存在使得 ba 1 0 ab afbf f 成立 亦即 2 0 x x ab afbf xf 记 baxx ab afbf xfxF 则由满足罗尔定理的条件知 存在使得 2 成立 进而 1 成立 从而拉格 xF ba 朗日中值定理成立 3 1 3 柯西中值定理的新证法 3 证明证明 首先构造辅助函数 微分中值定理的推广及应用 9 xfY xgX 由于 故可知恒大于零或者恒小于零 否则 由费马定理可知 必存在 0 x g x g 使得 我们不妨设恒大于零 于是 对于任意 其中 ba 0 g x g ba XXX c X 又由复合函数连续性定理即含参变量函数定理可证得 cg bac 1 XgfxfY 在闭区间上连续 在开区间内可导 且 ba XX ba XX x x x XX xg xf dx xdg dx xdf xdX xdY dX dY 故即是要证明 ab ab XX XX XgfXgf dX dY 11 因此可构造辅助函数 X XX XgfXgf XgfX ab ab 11 1 可以验证满足罗尔定理的条件 故至少存在一个 使得 X ba XXX ab ab XX XX XgfXgf dX dY 11 成立 再由 x x x XX xg xf dx xdg dx xdf xdX xdY dX dY 知 至少存在使得 ba agbg afbf g f 成立 柯西中值定理得证 3 2 微分中值定理的推广 微分中值定理是微分学的核心内容 而随着其不断地发展和完善 衍生了许多微分 中值定理的推广 以下是几种微分中值定理的推广形式 微分中值定理的推广及应用 10 3 2 1 罗尔定理的推广 定理定理 5 5 设在内可导 且 其中 则存在 xf ba Axfxf bxax lim lim A 使得 ba 0 f 证明证明 由于在内可导 则必有在上连续 又有 xf ba xf ba Axfxf bxax lim lim 1 当时 对在两点进行连续延拓 使得 则有 A xfba Abfaf 在上连续 在内可导且有 所以 满足罗尔定理的条件 xf ba baAbfaf 存在使得 ba 0 f 2 当时 由于 故存在 使得 AAxfxf bxax lim lim 2121 xxbaxx 21 xfxf 所以在上连续 在内可导 满足罗尔定理 即存在使得 xf 21 x x 21 xx ba 0 f 综上所述 存在使得 ba 0 f 3 2 2 拉格朗日中值定理的推广 定理定理 6 6 推广一 设在上连续 在内可导 则存在 xhxgxf ba ba 使得 ba 0 hgf bhbgbf ahagaf 证明证明 作辅助函数 xhxgxf bhbgbf ahagaf xH 很明显在连续 在内可导 且 则根据罗尔定理有 存在 xH ba ba 0 bHaH 使得 命题得证 ba 0 H 定理定理 7 7 推广二 若在有限开区间内可导 且与存在 则 xf ba 0 af 0 bf 至少存在一点使得 ba ab afbf f 0 0 微分中值定理的推广及应用 11 证明证明 1 当时 由定理 5 可知 结论成立 0 0 bfaf 2 当时 作辅助函数 0 0 bfaf 0 0 0 ax ab afbf afxfxF 由在内可导知 在内也可导 又因为 xf ba xF ba 0 0 0 0 0 0 0 aa ab afbf afafaF 0 0 0 0 0 0 0 ab ab afbf afbfbF 根据定理 5 可知 至少存在一点使得 进而有 ba 0 F 0 0 0 ab afbf fF 即 ab afbf f 0 0 综上所述 存在一点使得 ba ab afbf f 0 0 3 2 3 柯西定理的推广 定理定理 8 8 推广一 在连续 在内可导 任意 有 4 xgxf ba ba bax 则存在使得0 x g ba gbg aff g f 证明证明 作一个辅助函数 xgbgafxfxF 则在连续 在内可导 且 xF ba ba 0 agbgafafaF 0 bgbgafbfbF 所以在上满足罗尔定理 即存在使得 xF ba ba 0 F 因为 所以 afxfxgxgbgxfxF 0 affggbgfF 即得 微分中值定理的推广及应用 12 gbg aff g f 定理定理 9 9 推广二 若在有限或无穷区间中的任意一点有有限导数 5 xgxf ba 和 任意 都存在 则 x f x g bax 0 x g 0 af 0 ag 0 bf 0 bg 至少存在一点使得 ba 0 0 0 0 agbg afbf g f 证明证明 首先证明 0 0 0 agbg 假设即 根据定理 5 可知 至少存在一点0 0 0 agbg 0 0 agbg 使得 与已知条件相互矛盾 ba 0 g 其次 作辅助函数 0 0 0 0 0 0 agxg agbg afbf afxfxF 由已知得在可导且 xf ba 0 0 0 0 0 0 0 0 aa abgbg afbf afafaF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ab agbg afbf afbfbF 所以 根据定理 5 可知 至少存在一点使得即 0 0 bFaF ba 0 F 0 0 0 0 agbg afbf g f 3 2 4 微分中值定理的推广 定理定理 1010 设函数在上连续 在内可导 且 3 21 xfxfxf n ba ba 则在内至少存在一点 使得 bfaf ii ni 2 1 ba 0 1 1 n ji j jj ii f afbf afbf 证明证明 根据题意 设 1 1 xf afbf afbf xF n ji j jj ii 显然在上连续 在内可导 并且 xF ba ba 微分中值定理的推广及应用 13 0 1 1 1 afbfafbf afbf afbf afbf aFbF jj n ji ii j n ji j jj ii 即 所以由罗尔中值定理可知在至少存在一点使得 bFaF ba 0 1 1 Ff afbf afbf n ji j jj ii 证毕 当上述式子中时 可得到柯西中值定理 当上述式子中时 可得2 nxxfn 2 2 到拉格朗日中值定理 3 3 微分中值定理的弱逆定理 在一定的附加条件下微分中值定理的弱逆定理成立 定理定理 1111 拉格朗日中值定理的弱逆定理 设在上连续 在内可导 xf ba ba 若在严格单调 则对任意的 存在使得 x f ba ba 21 xx 1212 xxfxfxf 成立 证明证明 因为在上严格单调 不妨设其严格单调递增 由定义 6 可知 函数 x f ba 在上是向下凸的 再由定义 5 任意的 有 xf ba ba baxxffxf 所以 切线在曲线下方 所以存在的邻域使得 1 xffxg xf 0 直线的平行线与有两个交点 假设交点为 1 xgxftxg 2 xfA 11 xfxB 即有 22 xfx 21 xx 222 112 xfxg xfxg 得到 12 12 xx xfxf f 结论得证 定理定理 1212 柯西中值定理的弱逆定理 设在上连续 在内可 6 xgxf ba ba 导 且严格单调 则对于任意的存在 使得 xg xf 0 x g ba 21 xx 微分中值定理的推广及应用 14 12 12 xgxg xfxf g f 成立 证明证明 对任意的 作辅助函数 ba xg g f xfxF 显然 在上连续 在内可微 并且由严格单调 可知也严格单 xF ba ba xg xf x F 调 由定理 11 知 对任意的 存在使得 ba 21 xx 1212 xxFxFxF 成立 而 0 g g f fF 所以有 整理得0 12 xFxF 12 12 xgxg xfxf g f 证毕 4 微分中值定理的应用 微分学是整个数学分析的重要组成部分 而微分中值定理是微分学的核心内容 其 建立了函数值与导数之间的关系 是用于证明等式 证明不等式 讨论方程根的存在性等 问题的重要工具 4 1 利用微分中值定理证明等式 例例 1 1 设函数在上连续 在内可导 证明存在使得 xf ba ba ba a b fafbfln ba 0 证明证明 利用柯西中值定理 令 显然 在上连续 在xxgln 0 x xg ba 内可导 且 所以 存在使得 ba 0 1 x xg ba a b afbf agbg afbf g f ln 微分中值定理的推广及应用 15 所以 a b fafbfln 证毕 例例 2 2 设函数在上连续 在内可导 且 证明对 xf aa aa 0 afaf 任 意常数 存在 有 k aa 0 kff 证明证明 利用罗尔定理 构造函数 kx exfxF 由于在上连续 在内可导 且 所以 xf aa aa afaf 且在上连续 在内可导 所以 存在使0 aFaF xF aa aa aa 得 0 F 即 0 kff 例例 3 3 设满足 1 在上连续 2 在内可导 证明存在 使得 xf ba ba ba ff 证明证明 证法同例 2 令即可证得 1 k 小结小结 如例 3 例 7 中用罗尔定理证明 需要构造出原函数 此类函数有固定的原型 利用微分中值定理容易得到想要证明的结论 xg exfxF 例 4 设 在上连续 在内可导 3 cfbfaf1 3 f xf 3 0 3 0 a 则有使得 b 3 0 c 3 0 0 f 证明证明 由于 且在上连续在内可导 所以 必3 cfbfaf xf 3 0 3 0 存在使得 根据罗尔定理 存在使得 3 0 k1 3 fkf 3 03 k 0 f 例例 5 5 证明恒等式 21 2 arcsin 2 1 arctan 2 x x x 证明证明 令 2 1 2 arcsin 2 1 arctan x x xxf 则 微分中值定理的推广及应用 16 1 0 1 412 1 4 12 1 1 1 2 2 22 2 2 2 2 x x xx x x x xf 所以 在为常函数 又有 所以 xf 1 1 lim 1 fxf x 2 1 fxf 即 21 2 arcsin 2 1 arctan 2 x x x 成立 例例 6 6 设且在上连续 在内可导 则存在使得 10 0 xxf 1 0 1 0 1 0 1 1 f f f f 证明证明 变换待证等式为 1 1 1 0 Fff dx d ffff 其中 显然 利用罗尔定理即可得 1 xfxfxF 1 1 0 0 FffF 1 1 f f f f 例例 7 7 设 在内可导 则存在 使得 2 1 0 2 1 dxxxff xf 1 0 1 0 f f 证明证明 变换待证等式为 0 Fff 其中 由于 xxfxF 2 1 0 2 1 dxxxff 所以 2 1 1 2 1 0 cFdxxxffF 其中 于是 在上满足罗尔定理 从而有结论 1 0 c 1 c xF f f 微分中值定理的推广及应用 17 若待证等式明显可表示为0 ba agbg afbf 的形式 则很可能就是 因而 可以利用柯西定理证明 g f 例例 8 8 设 在连续可导 则存在使得ba 0 xf ba ba a b fafbfln 证明证明 令则 且 在上连续在内可导 根据xxgln 0 x g xf xg ba ba 柯西定理 存在使得 ba ab afbf g f lnln 即 a b fafbfln 4 2 利用微分中值定理证明不等式 利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式时 常将待证不等式变形为 N agbg afbf MN ab afbf M 或 的形式 且满足拉格朗日或柯西定理的条件 再证明对一切的 xgxfxf或 有 bax N xg xf MNxfM 或 最后利用中值定理证明 例例 9 9 证明对任何正数 有a bab a ab b a b ab ln 证明证明 令 则在上连续 在内可导 根据拉格朗xxfln bax xf ba ba 日中值定理 存在使得 ba abab 1 lnln 由于 所以 即有 ba ab 111 微分中值定理的推广及应用 18 a ab b a b ab ln 例例 1010 设为非线性函数 且在上连续 在内可导 则存在使得 xf ba ba ba afbffab 证明证明 变换待证不等式为 0afbffab afbffab d d F 其中 若结论不成立 则 因而 afbfxxfabxF 0 bxaxF 单调递减 但是 xF bFafbfaafabaF 故 必有 从而与已知矛盾 所以结论成立 即 aFxF afbffab 成立 例例 1111 设函数在上连续 在内可导 则存在 xf ba ba 0 afbfaf 使得 ba 0 f 证明证明 若不存在 则 从而单调递增 又由于满足罗尔定理 0 f x f x f 则存在使得 又有 所以 非单调递增 上下矛盾 因而 存 bax 0 0 0 x f0 a f x f 在使得 ba 0 f 例例 1212 设 对任意 证明 0 x 1 0 1xx 证明证明 当时 结论显然成立 1 x 当时 取或 在该区间上 设 根据柯西定理 有1 x 1 x x 1 xxf xxg 或 1 1 g f gxg fxf 1 x x 1 即 1 1 x x 当时 即1 x 1 x 1 1 1 1 x x 微分中值定理的推广及应用 19 又有 所以 0 1 xx 1xx 当时 1 x x 1 1 1 0 1 xx 所以 由此 不等式得证 1xx 4 3 讨论方程根的存在性 注意到在中值定理中有 令 这样就可以利用中值定理讨论0 f xgxf 方程的根的存在性 0 xg 例例 1313 设为任意个实数 证明函数 n aaa 21 n nxaxaxaxf ncos 2coscos 21 在必有零点 0 证明证明 作辅助函数 0 sin 1 2sin 2 1 sin 21 xnxa n xaxaxF n 则 容易验证在上连续 在 cos2coscos 21 xfnxaxaxaxF n xF 0 可导 且 所以存在使得 即 所以 0 0 0 FF 0 0 F0 f 在必存在零点 xf 0 例例 1 14 4 设函数在区间上可导 则的两个零点间一定存在的 xfK xf xfxf 零点 证明证明 采用罗尔定理 任取的两个零点 不妨设 作辅助函数 xf 21 x x 21 xx x exfxF 则在上连续 在内可导 且 由罗尔定理 存在 xF 21 x x 21 xx 0 21 xFxF 使得 即 21 xx 0 F 0 efef 而 故有 即的两个零点间一定存在的零点 0 e0 ff xf xfxf 例例 1515 证明 若 0 12 1 0 n aa a n 则多项式 12 10 n nx axaxaxf 在内至少有一个实根 1 0 微分中值定理的推广及应用 20 证明证明 令 12 1 0 12 n n x n a x a xaxg 则 xfxg 又有在连续可导 且 满足罗尔定理的条件 故存在使 xg 1 00 1 0 gg 1 0 得 0 g 即 结论得证 0 f 例例 1616 若函数在上非负 且三阶可导 方程在内有两个不同 xf ba 0 xf ba 的实根 证明存在使得 ba 0 f 证明证明 因为方程在内有两个不同的实根 设其分别为所以0 xf ba 2121 xxxx 又由于非负 根据极值定义可以知道为的两个极值点 所0 21 xfxf xf 21 x x xf 以有又因为满足罗尔定理 所以存在使得 0 21 xfxf xf bak 1 又三阶可导 所以满足罗尔定理 即存在 使0 1 k f xf x f 112 kxk 213 xkk 得 0 32 kfkf 同样满足罗尔定理 则存在使得 x f bakk 32 0 f 证毕 例例 1717