高中数学：第一轮复习_抛物线及几何性质新人教版选修1VIP

1 抛物线及几何性质抛物线及几何性质 考纲要求 掌握椭圆的定义 几何图形 标准方程及简单性质 知识要点 1 抛物线的定义 2 抛物线的几何性质 标准方程 pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 图形 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 焦半径 焦点弦 教学过程 题组一 标准方程 1 求下列抛物线的焦点和准线方程 1 xy6 2 2 0 2 aaxy 2 求适合下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 2 3 2 焦点在直线042 yx上 题组二 定义的应用 1 在抛物线xy2 2 上求一点P 使P到焦点F与到点 2 3 A的距离之和最小 求P的 坐标 2 在抛物线xy2 2 上求一点P 使P到准线与到点 4 3 的距离之和最小 求最小距离 3 抛物线xy2 2 上一点 00 yxP到焦点的距离为4 则 0 x 2 题组三 抛物线的常见结论 1 过抛物线 0 2 2 ppxy的焦点F作直线l与抛物线交于 2211 yxByxA 求证 1 4 2 21 p xx 2 21 pyy 2 弦长pxxAB 21 2 过抛物线 0 2 2 ppxy的焦点F作直线l 若直线l的倾斜角为 1 FA FB 2 若直线l的倾斜角为 求证 sin2 2 p S OAB 题组四 综合 1 过点 0 2 pM的直线l与抛物线 0 2 2 ppxy相交于点BA 求证 OBOA 其中O为原点 2 顶点在原点 焦点在x轴上的抛物线截直线042 yx所得的弦长为53 求此抛 物线方程 巩固练习 1 过抛物线xy8 2 的焦点作直线l交抛物线于 2211 yxQyxP 若12 21 xx 则 PQ等于 28242016DCBA 3 2 若点P到定点 0 4 F的距离比它到直线05 x的距离小 1 则P的轨迹方程是 0 016163216 2222 xyxyDxyCxyBxyA或 3 抛物线 2 xy 上的点P到直线0834 yx距离的最小值是 3 5 8 5 7 3 4 DCBA 4 设O为坐标原点 F为抛物线xy4 2 的焦点 A为抛物线上一点 若4 AFOA 则点A的坐标为 22 2 2 1 2 1 22 2 DCBA 5 设F为抛物线xy4 2 的焦点 CBA 为抛物线上三点 若0 FCFBFA 则 FCFBFA 3469DCBA 6 若直线l过抛物线 0 2 aaxy的焦点 并且与y轴垂直 若l被抛物线截得的线段 长 为 4 则 a 7 设点A的坐标为 0 a 求曲线xy2 2 上的点到点A的距离的最小值 设点A的坐标为 0 a 求曲线xy2 2 上的点到点A的距离的最小值 8 已知抛物线yx4 2 的焦点为F BA 是抛物线上的两动点 且 0 FBAF 过BA 两点分别作抛物线的切线 设交点为M 证明 ABFM 为定值 4 走向高考 1 2009 全国卷 理 已知直线 20yk xk 与抛物线 2 8C yx 相交于 AB 两点 F为C的焦点 若 2 FAFB 则k A 1 3 B 2 3 C 2 3 D 2 2 3 2 2009 宁夏海南卷理 设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 焦点为 F 1 0 直线 l 与 抛物线 C 相交于 A B 两点 若 AB 的中点为 2 2 则直线 的方程为 3 2009 四川卷理 已知直线 1 4 360lxy 和直线 2 1lx 抛物线 2 4yx 上一 动点P到直线 1 l和直线 2 l的距离之和的最小值是 A 2 B 3 C 11 5 D 37 16 4 2009 福建卷理 过抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点 F 作倾斜角为45 的直线交抛物线 于 A B 两点 若线段 AB 的长为 8 则p 5 2009 全国卷 理 如图 已知抛物线 2 E yx 与圆 222 4 0 Mxyrr 相 交于A B C D四个点 I 求r得取值范围 II 当四边形ABCD的面积最大时 求对角线AC BD的交点P坐标 5 抛物线参考答案抛物线参考答案 题组一 解 1 焦点 0 2 3 准线方程 2 3 x 2 焦点 4 1 0 a 准线方程 a y 4 1 解 1 yx 2 9 2 或xy 3 4 2 2 焦点坐标为 0 4 或 2 0 抛物线的标准方程 xy16 2 或yx8 2 题组二 解 1 2 2 2 2 89 3 2 7 题组三 1 解 1 焦点F 0 2 p 设过焦点的直线方程为 2 p myx 代入抛物线得 02 22 ppmyy 由韦达定理得 pmyypyy2 21 2 21 4 2 2 2 2 2121 2 2121 p yy pm yym p my p myxx 4 2 2 2 22 p pm pm pm 4 2 p 2 由抛物线的定义得 FA 2 1 p x FB 2 2 p x 所以弦长pxxAB 21 2 1 cos1 cos1 pp 2 sin 2 1 sin 2 1 2 1 2 1 21 FBOFFAOFyOFyOFS OAB sin cos122 1 sin cos122 1 pppp cos1 cos1 cos1 sin cos1 sin 4 2 p 2 2 sin sin2 4 p sin2 2 p 题组四 1 解 设直线方程为pmyx2 2211 yxByxA 6 联立 pxy pmyx 2 2 2 得 042 22 ppmyy 由韦达定理得 pmyypyy2 4 21 2 21 2121 yyxxOBOA 21 2 2121 2 21 4 2 2 2 yypyypmyympmypmy 2222 44224pppmpmmp 0 所以OBOA 2 解 设抛物线方程为 0 2 mmxy 直线与抛物线的交点为 2211 yxByxA 联立 042 2 yx mxy 得 016 16 4 2 xmx 4 4 16 2121 xx m xx 2 21 22 21 2 21 21 xxyyxxAB 16 4 16 5 4 5 2 21 2 21 m xxxx53 解之得 4 m或36 抛物线方程 xy4 2 或xy36 2 巩固练习 巩固练习 ADABB 6 4 1 7 解 设最小值为d 则 222 yaxd 22 22 axax 12 1 2 aax 0 x 当1 a时 12 min ad 当1 a时 min d a 8 解 由条件得 F 1 0 设 2211 yxByxA 由FBAF 得 1 1 2211 yxyx 即 1 1 21 21 yy xx 7 又 1 2 1 4yx 2 2 2 4yx 消去 21 x x得 2 2 1 yy 进一步得 1 21 yy 且44 2 2 221 yxxx 抛物线方程 4 1 2 xy 则求导得xy 2 1 过抛物线上两点BA 的切线方程分别为 111 2 1 yxxxy 222 2 1 yxxxy 解出两条切线的交点的坐标为 1 2 2 212121 xxxxxx 所以ABFM 0 4 1 4 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 xxxx 走向高考 走向高考 1 D 2 xy 3 A 4 A 5 2 6 解 解 将抛物线 2 E yx 代入圆 222 4 0 Mxyrr 的方程 消去 2 y 整理得 22 7160 xxr 1 抛物线 2 E yx 与圆 222 4 0 Mxyrr 相交于A B C D四个点 的充要条件是 方程 1 有两个不相等的正根 016 07 0 16 449 2 21 21 2 rxx xx r 即 44 2 5 2 5 r rr或或 解这个方程组得4 2 5 r 15 4 2 r II 设四个交点的坐标分别为 11 A xx 11 B xx 22 C xx 22 D xx 则由 I 根据韦达定理有 2 1212 7 16xxx xr 15 4 2 r 则 21122112 1 2 2 Sxxxxxxxx 8 2222 12121212 4 2 72 16 415 Sxxx xxxx xrr 令 2 16rt 则 22 72 72 Stt 下面求 2 S的最大值 方法 1 由三次均值有 22 1 72 72 72 72 144 2 Sttttt 33 1 7272144128 2323 ttt 当且仅当72144tt 即 7 6 t 时取最大值 经检验此时 15 4 2 r 满足题意 法 2 设四个交点的坐标分别为 11 A xx 11 B xx 22 C xx 22 D xx 则直线 AC BD 的方程分别为 1 12 12 11 12 12 1 xx xx xx xyxx xx xx xy 解得点 P 的坐标为 0 21x x 设 21x xt 由 2 16rt 及 得 4 1 0 t 由于四边形 ABCD 为等腰梯形 因而其面积 22 2 1 2121 xxxxS 则 4 2 21 2 212211 2 xxxxxxxxS 将7 21 xx txx 21 代入上 式 并