高中数学三角形定形问题解法例谈 学法指导

用心 爱心 专心 高中数学三角形定形问题解法例谈高中数学三角形定形问题解法例谈 根据三角形的边角关系来判断三角形的形状是高考中经常出现的题型 解这类问题的 一般方法是 把条件中边和角的关系式转化为单纯的边或角的关系式 然后通过代数方法 或三角方法进行化简 依据得出的边或角之间的关系判断三角形的形状 结论通常为等腰 三角形 等边三角形 直角三角形等特殊三角形 正弦定理和余弦定理在边角转化过程中 起桥梁和纽带作用 而灵活运用三角函数公式和三角形的有关性质则有助于解题过程的顺 利进行 一 直接进行三角变换 例 1 在 ABC 中 若 判断 ABC 的形状 CcosBcos CsinBsin Asin 解 由 A B C 知 则 CB A CBsin Asin 2 CB cos 2 CB sin2 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos2 2 cos 2 sin2 coscos sinsin CB CB CBCB CBCB CB CB 由题意知 2 CB cos 2 CB sin 2 CB cos 2 CB sin2 整理得 2 1 2 CB cos2 故 42 CB 2 CB ABC 为直角三角形 评注 由于已知条件原本就是三角函数关系式 所以无需进行边角之间的转化 直接 进行三角函数式的恒等变形即可 二 将边转化为角 例 2 已知 ABC 的三条边长为 a b c 且 2b a c 求 B 的最大值 并指出此时 ABC 的形状 解 由条件 2b a c 结合正弦定理得 CsinAsinBsin4 化简得0 2 CA cos 2 B sin2 2 B cos 因为0 2 B cos 所以 2 1 2 CA cos 2 1 2 B sin 用心 爱心 专心 当且仅当时取等号CA 即 2 1 2 B sin 3 B 则 32 B CA 所以 B 的最大值为 此时 ABC 为等边三角形 3 评注 利用正弦定理将边转换成角 然后运用三角变换即可解决 三 将角转化为边 例 3 在 ABC 中 试判断 ABC 的形状 4 3 2Csin Bsin Asin 解 由正弦定理 得 设 a 2t b 3t c 4t t 0 4 3 2c b a 由余弦定理 得 0 4 1 t 3 t22 t16t9t4 Ccos 222 因为 C0 所以 C 2 故 ABC 为钝角三角形 评注 首先运用正弦定理把角转化为边 找出边与边之间的联系 然后借助余弦定理 判断角的范围 四 利用三角函数的有界性 例 4 已知 ABC 中 试判断 2BcosAcosBsinAcosBcosAsinBsinAsin ABC 的形状 解 依题设有2 BAcos BAsin 而1 BAcos 1 BAsin 所以必有1 BAcos 1 BAsin 即且 A B 2 BA 故 ABC 为等腰直角三角形 五 利用面积公式 例 5 已知在 ABC 中 试判断 ABC 的形状 3CcotBcotAcot 解 由CcotBcotAcot 3 cba S4 1 S4 cba S4 bac S4 acb Csinab2 cba Bsinca2 bac Asinbc2 acb Csin Ccos Bsin Bcos Asin Acos 222 222222222 222222222 用心 爱心 专心 得 34 cba S 222 由 bc32 cba bc S2 Asin 222 结合余弦定理 bc2 acb Acos 222 得1 bc2 acb bc32 cba AcosAsin 2 222 2 222 22 整理得0 ac cb ba 22