单元评估检测(四)

圆学子梦想 铸金字品牌 1 温馨提示 温馨提示 此套此套题为题为 Word 版 版 请请按住按住 Ctrl 滑滑动动鼠鼠标滚轴标滚轴 调节调节合适的合适的观观看看 比例 答案解析附后 关比例 答案解析附后 关闭闭 Word 文档返回原板文档返回原板块块 单元评估检测单元评估检测 四四 第四章第四章 120 120 分钟分钟 150150 分分 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分分 在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的项中 只有一项是符合题目要求的 1 2012 福建高考 已知向量 a x 1 2 b 2 1 则 a b 的充要条件是 A B x 1 C x 5 D x 0 1 x 2 2 2013 岳阳模拟 若 a 2i i b i 其中 a b R i 是虚数单位 则复数 a bi A 1 2i B 1 2i C 1 2i D 1 2i 3 已知 ABC 中 a b a b 0 a 3 b 5 则 a 与 b 的AB AC ABC 15 S 4 夹角为 A 30 B 150 C 150 D 30 或 150 4 如图 在平行四边形 ABCD 中 O 是对角线 AC BD 的交点 N 是线段 OD 的中点 AN 的延长线与 CD 交于 点 E 则下列说法错误的是 A B AC ABAD BD ADAB 圆学子梦想 铸金字品牌 2 C D 11 AOABAD 22 5 AEABAD 3 5 2013 张家界模拟 若等边 ABC 的边长为 2 平面内一点 D 满足 11 CDCBCADA DB 32 A 则 A B C D 8 9 13 9 13 9 8 9 6 定义运算则符合条件的复数 z 对应的点在 ab adbc cd z12i 0 1 2i1 i A 第四象限 B 第三象限 C 第二象限 D 第一象限 7 2013 邯郸模拟 如图所示 非零向量 且 BC OA C 为垂足 若 0 OA OB abOC a 则 A B 2 a b a a b a b C D 2 a b b a b a b 8 2012 浙江高考 设 a b 是两个非零向量 A 若 a b a b 则 a b B 若 a b 则 a b a b C 若 a b a b 则存在实数 使得 a b D 若存在实数 使得 a b 则 a b a b 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3535 分分 请把正确答案填在题中请把正确答案填在题中 横线上横线上 9 在 ABC 中 M 是 BC 的中点 AM 1 点 P 在 AM 上且满足则AP2PM 等于 PA PBPC 圆学子梦想 铸金字品牌 3 10 2012 天津高考改编 已知 ABC 为等边三角形 AB 2 设点 P Q 满足 AP 1 R 若 则 AB AQ AC 3 BQ CP 2 11 2013 株洲模拟 设向量 a a1 a2 b b1 b2 定义一种向量运算 a b a1b1 a2b2 已知 m 2 n 0 点 P x y 在 y sin x 的图象上运 1 23 动 Q 是函数 y f x 图象上的点 且满足 其中 O 为坐标原点 OQOP mn 则函数 y f x 的值域是 12 2012 新课标全国卷 已知向量 a b 夹角为 45 且 a 1 2a b 则10 b 13 2013 北京模拟 设 a R 且 a i 2i 为正实数 则 a 的值为 14 已知向量 a x 1 2 b 4 y 若 a b 则 9x 3y的最小值为 15 已知平面向量 且 1 2 2 则 2 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分分 解答时应写出必要的文字说明 证明解答时应写出必要的文字说明 证明 过程或演算步骤过程或演算步骤 16 12 分 2013 湖南十校联考 已知向量 a 2sin x cos x b 3 sin x 2sin x 函数 f x a b 1 求 f x 的单调递增区间 2 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 且 f C 1 c 1 ab 2 3 且 a b 求 a b 的值 17 12 分 已知复平面内平行四边形 ABCD A B C D 按逆时针排列 A 点对 应的复数为 2 i 向量对应的复数为 1 2i 向量对应的复数为 3 i BA BC 1 求点 C D 对应的复数 圆学子梦想 铸金字品牌 4 2 求平行四边形 ABCD 的面积 18 12 分 2013 衡阳模拟 已知函数 f x a b a 其中向量 a cos x 0 b sin x 1 且 为正实数 3 1 求 f x 的最大值 2 对任意 m R 函数 y f x x m m 的图象与直线 y 有且仅有一个 1 2 交点 求 的值并求满足 f x x 的 x 值 31 2 7 12 12 19 13 分 能力挑战题 1 如图 设点 P Q 是线段 AB 的三等分点 若 a b 试用 a b 表示OA OB 并判断与的关系 OP OQ OP OQ OA OB 2 受 1 的启示 如果点 A1 A2 A3 An 1是 AB 的 n n 3 等分点 你能得到什么结论 请证明你的结论 20 13 分 已知向量 m sin x 1 n cos x 3 1 当 m n 时 求的值 sin xcos x 3sin x2cos x 2 已知在锐角 ABC 中 a b c 分别为角 A B C 的对边 2asin A B 3c 函数 f x m n m 求 f B 的取值范围 8 21 13 分 能力挑战题 已知在平面直角坐标系 xOy 中 向量 j 0 1 OFP 的面积为 且 t j 2 3OF FP A 3 OMOP 3 1 若 4 t0 故复数 z 对应的点在第一象限 5 2 7 解析 选 A 即BCOA BCOC OCOB OC0 2 OC OB OC0 即 2 a 2 a b 0 又 0 解得 2 a b a 8 解析 选 C 利用排除法可得选项 C 是正确的 a b a b 则 a b 共线 且 a 与 b 反向 故 A B 不正确 选项 D 若存在实数 使得 a b a b 可为同向的共线 向量 此时显然 a b a b 不成立 9 解析 是 AM 的一个三等分点 延长 PM 到 H 使得 MH MP AP2PMP PA PBPC 22 PA PH AM AM 33 244 AM 99 答案 4 9 10 思路点拨 将向量用表示 把所给条件转化为关于 的方程求BQ CP AB AC 解 解析 选 A 如图 BQAQAB 1 ACAB CPAPACABAC 圆学子梦想 铸金字品牌 7 又 3 BQ CP 2 且 2 60 AB AC AB AC cos 60 2 AB AC AB AC 1 AC AB AB AC 3 2 2 2 1 1 2 AB AB AC AC 3 2 所以 4 2 2 1 4 1 3 2 解得 1 2 答案 1 2 11 解析 设 Q x0 y0 则 x0 y0 2x y 0 1 23 x0 2x y0 y x 2y0 3 1 2 0 x y 26 2y0 sin y0 sin 0 x 26 1 2 0 x 26 y0 1 2 1 2 答案 1 2 1 2 12 解析 2a b 2a b 210 10 4 b 2 4 b cos 45 10 b 3 2 答案 3 2 13 解析 a i 2i a2 1 2ai i 2a a2 1 i 由 a i 2i 为正实数得解得 a 1 2 2a0 a10 答案 1 14 解析 若 a b 则 a b 0 所以 2x y 2 由基本不等式得 9x 3y 6 当且仅当 9x 3y 即 x y 1 时等号成立 1 2 圆学子梦想 铸金字品牌 8 答案 6 15 解析 由 2 得 2 2 2 0 1 2 2 2 4 2 2 4 4 12 22 4 10 1 2 2 10 答案 10 方法技巧 平面向量的数量积的运算技巧 1 平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算 特别要注意乘法公式的应 用 2 熟记公式 a2 a 2 a a 在遇到向量模的问题时 可将所给等式 不等式 两边平 方 将向量问题转化为实数问题来解决 16 解析 1 f x 2sin2x 2sin xcos x 1 3 cos 2x 2sin xcos x3 sin 2x cos 2x 1 2sin 2x 1 3 6 由 2k 2x 2k k Z 2 6 2 得 k x k k Z 3 6 f x 的单调增区间是 k k k Z 3 6 2 f C 2sin 2C 1 1 sin 2C 1 6 6 C 是三角形内角 2C 即 C 6 2 6 cos C 即 a2 b2 7 222 bac3 2ab2 结合 ab 2可得 解之得 a2 3 或 4 3 2 2 12 a7 a a b 2 或 a 2 b 33 圆学子梦想 铸金字品牌 9 a b a 2 b 3 17 思路点拨 由点的坐标得到向量的坐标 运用向量 复数间的对应关系解题 解析 1 设点 O 为原点 向量对应的复数为 1 2i 向量对应的复数为 3 i BA BC 向量对应的复数为 3 i 1 2i 2 3i AC 又OCOAAC 点 C 对应的复数为 2 i 2 3i 4 2i 又 1 2i 3 i 4 i BDBABC 2 i 1 2i 1 i OBOABA 1 i 4 i 5 ODOBBD 点 D 对应的复数为 5 2 由 1 知BA 1 2 BC 3 1 BA BC BA BC cos B BA BC321 cos B BA BC 5105 2 7 sin B 5 2 又BA5 BC10 面积 7 S BA BC sin B5107 5 2 平行四边形 ABCD 的面积为 7 18 解析 1 a b cos xsin x 0 13 sin 2 x 3 2 f x a b a a b a 2 sin 2 x cos2 x 3 2 圆学子梦想 铸金字品牌 10 sin 2 x 3 2 1 cos 2 x 2 sin 2 x cos 2 x 3 2 1 2 1 2 sin 2 x 6 1 2 1 sin 2 x 1 6 f x 的最大值为 1 2 2 函数 f x 的最大值为且 y f x x m m 的图象与直线 y 有且仅有一 1 2 1 2 个交点 f x 的周期为 1 2 2 f x sin 2x 6 1 2 sin 2x 6 131 22 sin 2x 6 3 2 x 2x 7 12 12 6 7 6 2x 0 2x 或 6 6 3 2 3 x 5 412 或 19 思路点拨 1 把向量都用表示 再求和即可 2 思路同 1 OP OQ OA OB 解析 1 1 OP OA AP OAAB 3 11221 OA OB OA OBOA 33333 ab 同理 12 OQ 33 ab OP OQOA OB ab 2 1n 12n 2OAOAOAOAOA OB 圆学子梦想 铸金字品牌 11 证明如下 由 1 可推出1 1OAOA AA 11n11 OAABOA OBOA OAOB nnnn 1 n11 OA nn ab 同理 n1 1n1 OA nn ab 2n 2 n222n2 OA OA nnnn abab 因此有 n 1n 2 12 OAOAOAOAOA OB 20 解析 1 由 m n 可得 3sin x cos x 于是 tan x 1 3 1 1 sin xcos xtan x1 3 1 3sin x2cos x3tan x2 3 2 3 2 9 2 在 ABC 中 A B C 于是 sin A B sin C 由正弦定理知 sin C 2sin A sin C 3 sin A 可解得 A 或 A 3 23 2 3 又 ABC 为锐角三角形 于是 A 3 B 62 f x m n m sin x cos x 2 sin x 1 sin2x sin xcos x 2 1 cos 2x1 sin 2x2 22 23 sin 2x 242 圆学子梦想 铸金字品牌 12 23 f B sin2 B 82842 23 sin 2B 22 由得 2B B 62 3 0 sin 2B 1 得 32323 sin 2B 22222 即 f B 8 323 222 21 解析 1 由 得 1 2 3OF FP sin 2 4 3 OF FP sin 又 cos 得 tan OF FPtsin 4 3OF FP 4 3 t 因为 4 t 4 所以 1 tan 33 因为 0 所以夹角 的取值范围是 4 3 2 设 P x0 y0 则 x0 c y0 c 0 FP OF 所以 x0 c c t 1 c2 OF FP 3 所以 x0 c S OFP y0 2 3 1 2 OF 3 所以 y0 4 3 c 所以 2222 00 4 3 OPxy 3c c 当 4 3 2 3c2 6 c 4 3 3c c 即 c 2 时 取最小值 OP 2 6 此时 OP 2 32 3 圆学子梦想 铸金字品牌 1