定积分近似计算方法

第 1 页 共 17 页 定积分的近似计算方法定积分的近似计算方法 摘要摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法 例如插值型求积公式 龙贝格求积公式 高斯求 积公式等近似计算方法 在用这些方法计算定积分时 会产生一些误差 为了减少误差 可以利用复化求 积公式 复化高斯公式等 本文围绕这些方法 系统介绍它们的计算公式以及截断误差 并用例题分析它 们产生误差的大小 计算量等 关键词关键词 插值型积分 龙贝格积分 高斯积分 误差分析 近似计算 1 引言引言 在计算定积分的值时 常常根据微积分学基本定理求出的一个原函 b a If x dx xf 数 再用牛顿 莱布尼茨公式求的积分 但在实际应用中 xF b a If x dxF bF a 这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题 当函数没有具体表达式 只是一些实验测得 数据形成的表格或图形或者是无法用初等函数表示 例如 等等 这 F x 2b x a e dx 2 sin b a x dx 就需要我们用一些近似方法求的积分值 与数值积分一样 把积分区间细分 在每个小区间上 找到简单函数来近似代替 x 且的值容易求的 这样就把计算复杂的转化为求简单的积分值 f x b a x dx b a f x dx 因此 定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题 b a x dx 2 2 常见数值方法常见数值方法 2 12 1 牛顿牛顿 科茨数值方法科茨数值方法 牛顿 科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式 利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用 最基本的方法 具体做法是 给定区间上一组节点 以及节点处函数 a b 01 n axxxb 作的次拉格朗日多项式 0 1 2 i f xin f xn 0 n nii i xf x l x 其中 将插值公式 011 011 iin i iiiiiin xx L xxxxL xx l x xx L xxxxL xx 第 2 页 共 17 页 1 1 1 n nn f f xxx n 其中 依赖于变量 1012 nn xxxxxxx L xx a b x 上式积分得 1 1 1 n bbb nn aaa f f x dxx dxx dx n 1 1 0 1 n n bb iiin aa i f f x l x dxx dx n 1 1 0 1 n n bb iin aa i f f x bl x dxx dx n 若记 1 0 1 2 b ii a Al x dx i n 1 1 1 n b n a f R fx dx n 2 则有 3 0 n b ii a i f x dxA f xR f 称式 3 为插值求型公式 其中 与无关 叫求积系数 为求积节点 0 1 2 i A i n f x i x 为求积公式余项 其中求积系数由 1 决定 R f 2 1 12 1 1 梯形求积公式梯形求积公式 1 梯形公式 当插值节点分别选取区间端点时 由式 3 分别求出求积系数 01 x x a b 1 0 01 2 bb aa xxxbba Adxdx xxab 0 1 10 2 bb aa xxxaba Adxdx xxba 从而的求积公式 4 2 b a ba f x dxf af b 称求积公式 4 为梯形求积公式 简称梯形公式 第 3 页 共 17 页 2 梯形公式截断误差 5 3 12 ba R ff a b 3 梯形求积公式的代数精度 1 当时 式 5 中 1f x 1 1 2 b a ba dxbaxba 精确成立 2 1 22 1 2 辛普森求积公式辛普森求积公式 1 辛普森求积公式 当选取节点为时 由式 1 求下列求积系数 012 2 ab xa xxb 12 0 0102 2 6 2 bb aa ab xxb xxxxba Adxdx ab xxxx aab 02 1 1002 2 3 22 bb aa xxxxxa xbba Adxdx abab xxxx ab 01 2 2021 2 6 22 bb aa ab xa x xxxxba Adxdx abab xxxx a b 从而求积公式 4 62 b a baab f x dxf aff b 6 称式 6 为抛物线积分公式或辛普森积分公式 2 抛物线求积公式误差估计 定理 1 若在上有四阶连续导数 则抛物线公式 6 的余项为 f x a b 7 5 4 2880 ba R ffa b 3 抛物线公式的代数精度为 3 易验证 当时 式 6 精确成立 而当时 式 6 不能精确成立 23 1 f xx xx 4 f xx 2 1 32 1 3 牛顿牛顿 科茨公式科茨公式 1 牛顿 科茨公式 第 4 页 共 17 页 在等距离节点下 其中 作为变量替换 i xaih 0 1 2 ba hi n nxath 那么由求积公式 1 得系数 1 0 1 1 1 1 1 n i n t ttititn Ahdt in 8 1 0 1 1 1 1 0 1 2 1 n n ba t ttititn dt in ni n 则 9 n ii Aba C 于是差值求积公式为 10 0 n b n ii a i f x dxbaCf xR f 称公式 10 为牛顿 科茨求积公式 其中称为科茨系数 显然 科茨系数与被积函数及 n i C f x 积分区间无关 它指依赖于 且为多项式积分 因此 只要给出 就能看出 并写出相 a bnn i A 应地牛顿 科茨公式 2 牛顿 科茨公式的截断误差与代数精度 当与情况分析牛顿 科茨公式的截断误差为1n 2n 1 1 n bbb n aaa f R ff x dxx dxx dx n 牛顿 科茨公式的截断误差还可以写成 2 1 2 n b n a f R fx dx n n 为偶数 为奇数 11 1 1 1 n b n a f R fx dx n n 其中 且不依赖于 对为任何并不超 a b x 101 nn xxxxxxx f x 过次多项式 均有 因而 即精确成立 也就n 1 0 n fx 0R f 0 n b ii a i f x dxA f x 是说 牛顿 科茨公式的代数精度至少为 牛顿 科茨公式在为偶数时 至少具有次代nn1n 数精度 在为奇数情况时 至少具有次代数精度 nn 2 1 42 1 4 复化梯形求积公式复化梯形求积公式 第 5 页 共 17 页 将区间等分 节点为 步长 在每个小区间 a b i xaih ba h n 0 1 2 in 上采用梯形公式 4 得 1 ii xx 1 1 1 11 2 i i nn bx ii ii ax ii xx f x dxf x dxf xf x 1 1 2 n ii i h f xf x 12 1 1 2 2 n in i h f af xf bT 称式 12 为复化梯形公式 复化梯形公式余项为 13 2 12 i n ba Rfh f 2 1 52 1 5 复化辛普森求积公式复化辛普森求积公式 在每个小区间上 辛普森公式 6 得 1 ii xx 1 11 0 2 4 6 n b ii a i i h f x dxf xf xf x 14 11 1 01 2 4 2 6 6 nn i i ii h f af xf xf 记 15 2 4 6 1 1 1 0 2 1 bfxfxfaf h S n i i n i i n 式中 为的中点 即 式 15 称为复化辛普森公式 其余项为 2 1 i x 1 ii xxhxx i i 2 1 2 1 1 0 4 4 2 180 n i inn f hh SfIfR 1 iii x x 故 16 2 180 R 4 4 baf hab f n 为复化辛普森的截断误差 2 1 62 1 6 复化科茨求积公式复化科茨求积公式 第 5 页 共 17 页 将区间等分 为正整数 在每个子区间上用科茨求积公 a bn4nm m 444 kk xx 第 6 页 共 17 页 式得到复化求积公式 4 1 2 7 7 32 45 m b k a k h f x dxf af bf x 17 1 42414 111 12 32 14 mmm kkkN kkk f xf xf xC 其中 4 baba h nm k xakh 其截断误差为 6 6 2 945 n ba R f Ch fab 2 1 72 1 7 变步长复化求积方法变步长复化求积方法 复化求积公式虽然计算简单 也达到了提高精度的目的 但为了满足精度要求必须顾及误 差 利用误差公式往往很困难 因为误差表达式中含有未知函数的导数 而估计各阶导数的最 大值不太容易 我们可以采取把积分的区间细分的办法 在计算积分时将步长逐步折半 a b 利用前后两次结果进行误差估计 如此继续 直到相邻两次结果相差不大 取最小的步长算出 的结果为积分值 这种方法称为变步长积分法 以复化梯形公式为例 把区间分成等分 设复化梯形公式的近似值为 原积分值 a bn n T 为 由复化梯形公式误差公式 14 知 I 2 11 n ba ba ITfab NN 再把区间分成等分 得近似值 则 a b2n 2n T 2 222 122 k ba ba ITfab n 假定在上变化不大 既有 fx a b 12 ff 由上式得 2 4 k k IT IT 于是 18 2222 11 34 1 nnnnnn ITTTTTT 式 18 表明若用作为的近似值 其截断误差约为 2n TI 2 3 nn TT 19 2 22 2 龙贝格求积公式龙贝格求积公式 龙贝格积分法的基本思想是采用复化梯形求积方法不断折半步长过程中 在积分结果中 加入时候误差估计值进行补偿 使积分计算的收敛性加速 就可以加工出精度较 nnn S CR 第 7 页 共 17 页 高的积分结果 由式 19 的误差大致为 因此 可用这个误差值作为的一种补 2n T 2 3 nn TT 2n T 偿 加到上 则可得到积分准确值 比的更好近似值 2n TI 2n T T 222 141 333 nnnnn TTTTTT 2 2 2 1 2 21 nn TT 20 式 20 左端时 记1n 122121 141 333 STTTTT 1 12 332 ab Tba f 4 62 baab f aff b 恰好为上应用辛普生公式 16 的结果 在每个小区间应用辛普生公式 a b 1 1 2 2 n nk k h Tf af xf b 1 21 11 2 2 2 4 nn nk k kk h Tf af xf bf x 代入式 20 的左端得 1 11 11 2 2 32 nn kk kk h f af xf bf x 1 1 2 2 n k k h f af xf b 1 11 11 4 2 62 nn kk kk f af xf xf b n S 从而复化辛普森公式与复化梯形公式公式有以下关系式 2 4 4 1 nn n TT S 21 类似也可以推证 在辛普森序列基础上 利用以下关系式 2 2 2 42161 151541 nn nnn SS CSS 22 第 8 页 共 17 页 可以造出收敛速度更快的科茨序列 12 n C CC 将此推行下去 在科茨序列基础上 通过 23 2 43 43 1 nn n CC R 构造出收敛速度比科茨序列更快的龙贝格序列 以上这种通过逐步构造龙贝格 12 n R RR 序列的积分近似值法就称为龙贝格积分法 2 32 3 高斯求积公式高斯求积公式 由定理知 插值型求积公式的代数精度与求积节点的个数有关 b a f xF bF a 具有个节点的插值型求积公式至少具有次代数精度 不仅如此 代数精度与节点的选1n n 取有关 在构造牛顿 科茨求积公式时 为了简化处理过程 限定用等分节点作为求积节点 这样 做 虽然公式确实得到简化 但同时也限制了公式的代数精度 设积分本段讨论如下求积公式 1 1 ba 24 1 1 0 n ii i f xA f x 对任意积分区间 通过变 a b 22 ba t ab x 可以转换到区间上 这时 1 1 1 1 222 b a babaab f x dxftdt 此时 求积公式写为 0 222 n b ii a i baabba f x dxA ft 若一组节点使插值型求积公式 24 具有次代数精度 则称此组节 1 1 10 n xxx21n 点为高斯点 并称相应求积公式 24 为高斯求积公式 2 3 12 3 1 高斯求积公式的余项高斯求积公式的余项 2 2 0 22 n n bb kk aa k f R ff x dxA f xx dx n 其中 且不依赖于 01 n xxxxxxxa b x 2 3 22 3 2 复化高斯求积公式复化高斯求积公式 第 10 页 共 17 页 复化高斯求积公式的基本思想是 将积分区间分成个等长小区间 a bn 然后在低阶 高斯求积公式算出近似值 最后将他们相加的积分 1 1 ii ttim 2n 的近似值 即 b a f t dt m G 1 1 111 1 11 222 i i mm bt iiiiii at ii tttttt f t dtf t dtdt 1 1 1 1 222 m i hh aihx dx 10 1 222 mn jjm ij hh A f aihxG 25 其中 与可由书中表中查出 m ab h j A 0 1 2 j tjn 3 3 应用应用 3 13 1 插值型积分的应用插值型积分的应用 例 1 用牛顿 科茨公式 计算积分 1 2 4n 1 2 2 0 1 1 I x 解 时1n 2 2 1 0 11 2 0 45 1 210 1 2 I 2n 时 2 22 1 0 111 2 4 0 463725 11 610 1 1 42 I 4n 时 2 222 1 1111 2 7321232 0 463633 113 901 0 1 1 1 848 I 例 2 利用复化梯形求积公式计算积分 1 2 2 0 1 1 Idx x 第 10 页 共 17 页 解 设 分点个数为1 2 4 5 时 求出相应积分 2 1 1 x xf n n T 1 1 1 2 1 2 n ni i ii i Tf af bf h ba h nn f xf xaihih 列表如下 1 的计算结果见表 1 1 所列n nh 0 x 1 x 0 f 1 f 1 T 10 50 00 51 00 80 45 2 的表格如下n nh 0 x 1 x 2 x 0 f 1 f 2 f 2 T 20 250 000 250 501 000 0 800 4 时计算结果如下表n nh 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 40 1250 000 1250 250 3750 50 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 4 T 1 000 0 0 0 800 5 时计算结果如下n nh 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 50 10 00 10 20 30 40 5 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 5 T 1 00 0 0 917430 0 80 第 11 页 共 17 页 例 3 利用复化求积公式 问积分区间为多少等分才能得证有 5 位有效数字 1 2 0 x e dx 解 由式 14 知 3 2 2 1212 n baba Rfhfnfn n 有 当时 在 所以 1 2 xx f xefxe ba 2 1 0 x 1 2 fxe 1 2 2 96 n e Rf n 由于的准确值具有一位整数 所以要使近似值具有 5 位有效数字 必须满足 1 2 0 x e dx n 424 2 2 1 1048 10 2 1 96 en n e 或 取对数有 19 n 即将区间19 等分可满足给定的精度要求 2 1 0 例 4 利用复化抛物线求积公式计算 1 2 0 2 1 1 Idx x 解 设 取 1 2 3 时 公式 1 1 2 x xfm 12 2 2 42 3 12 2 121222 1 1 1 01 1222 hiax ihax xffxff bffaff m ab n ffff h S i i iiii ba m i m iibam 当 1 2 3 时结果如下表所示m 当 1 时m mh 0 0 f 25 0 f 5 0 f 2 S 10 251 00 0 800 第 12 页 共 17 页 当 2 时m mh 0 0 f 0 125 f 0 025 f 0 35 f 5 0 f 4 S 20 1251 00 0 0 0 800 当 3 时m m h 0 0 f 0 08333 f 0 16667 f 0 35 f 0 33333 f 0 14166667 f 5 0 f 4 S 30 833 3 1 00 0 0 0 90 852070 80 46 36 例 5 用复化梯形公式 辛普森公式和科茨公式计算积分的近似值 1 0 sin xdx x 解按精度要求确定分多少等分 即确定步长 要使 1 0 只需 6 4 4 10 2 1 1 2880 1 M m SfR n 4 6 4 2880 102 Mm 令 1 0 sin cos x f xtxdt x 则 1 0 sin cos kk k kk dxd fxtx dt dxxdx 1 0 cos 2 k ttxkdt dtktxtxf kk 2 cos max max 1 0 1 0 1 1 k t dt t 10 x 4 1 max 5 fx 所以只要取 4 即可 当时 在每个子区间上用式 25 9 138 3 1 2880 102 6 4 mm4n 或 14 或 17 结果 9460829 0 9460833 0 9456911 0 888 CST 第 14 页 共 18 页 3 23 2 龙贝格积分公式应用龙贝格积分公式应用 例 6 用龙贝格算法计算积分的近似值 要求误差小于 1 2 0 4 1 Idx x 5 10 解 3 0 1 4 2 ba x xf 步骤如下 得2 1 4 0 1 ff 3 1 0 2 1 1 ffT 计算由此得 2 1 3 2 1 2 1 5 16 2 1 12 fTTf 3013333 3 4 12 1 TT S 3 算出从而 4 3 4 1 ff 3013118 4 3 4 1 4 1 2 1 24 ffTT 14157 3 3 4 24 2 TT S 3014212 15 16 12 1 SS C 4 计算从而得到 8 7 8 5 8 3 8 1 ffff 13899 3 8 7 8 5 8 3 8 1 8 1 2 1 48 ffffTT 14159 3 3 4 48 2 TT S 14059 3 15 16 24 2 SS C 1458 3 63 64 12 1 CC R 5 再计算 16 15 16 13 16 11 16 9 16 7 16 5 16 3 16 1 ffffffff 从而得到 14094 3 16 T 3014159 8 S 14159 3 14159 3 24 RC 5 12 10 RR 所以 1 2 0 4 3 14159 1 dx x 第 14 页 共 17 页 3 33 3 高斯求积公式的应用高斯求积公式的应用 例 7 用两点复化高斯求积公式计算要求允许误差 1 0 x Ie dx 10 6 解 在本算法中取时 其中 21 n 1 10 AA m ab hexf x 22 2 2 0 1 j jj ba x ab fA ab G 87189637800 1 2 1 32 1 2 1 32 1 2 1 ee 2 时 mh 2 1 4 1 2 1 2 1 4 1 2 0 2 0 2j ij j xifAG 5 7182571650 1 4 1 34 133 34 13 34 133 34 13 eeee 3 时 mh 3 1 37182769352 1 6 3 1 2 1 6 1 3 0 2 0 3 j i j j xifAG 101027 7 1 56 3 23 G GG 3 43 4 几种方法的比较分析几种方法的比较分析 例 8 计算积分 精确到 0 001 2 1 1 ln2dx x 1 利用矩形公式计算 因为对于 有 如果 1 2 所以按 x xf 1 3 2 0 2fx x x 照公式 0 0 2 S dx ba x b an R 2 1 12n 如果取 10 则我们公式的余项的余数得 我们还必须加进由n 3 10 1 0 84 10 1200 R 于在计算函数值实行四舍五入所产生的误差的界限相差于 0 16 为了这个目的只要计 3 10 算的值到四位小数精确到 0 00005 就够了 我们有 1 x 第 15 页 共 17 页 1 2 3 2 5 2 7 2 9 2 13 2 15 2 17 2 19 2 1 05 1 15 1 25 1 35 1 55 1 65 1 75 1 85 1 95 x x x x x x x x x 5128 0 5405 0 5714 0 6061 0 6897 0 7407 0 8 0 8696 0 9524 0 219 217 215 213 29 27 25 23 21 y y y y y y y y y 和 6 9284 69284 0 10 9284 6 2 按照梯形公式作同样的计算 在这种情况下 作公式 2 1 0 6 nn RR n 在这儿也试一试取 10 虽然此时仅可以证 纵坐标是n 3 107 1 600 1 n R 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x x x x x x x x x 5263 0 5556 0 5882 0 6250 0 6667 0 7143 0 7692 0 8333 0 9091 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y y y y y y y y y 和1877 6 69377 0 1877 6 2 1500 10 1 3 用辛普森公式做同样的计算 作公式 0 2 180 4 4 5 n n R baf n ab R 并且 5 时有 实行计算到五位数字 精确到 0 n 5 5 104 1 R 第 17 页 共 18 页 8 1 6 1 4 1 2 1 4 3 2 1 x x x x 45636 5 55556 0 62500 0 71429 0 83333 0 4 3 2 1 和 y y y y 9 1 7 1 5 1 3 1 1 1 29 27 25 23 21 x x x x x 83820 13 52632 0 58824 0 66667 0 76923 0 90909 0 29 27 25 23 21 和 y y y y y 0 2 0 1 5 0 x x 50000 1 50000 0 60000 1 5 0 和 y y 6931525 083820 3 45636 5 50000 1 30 1 由此可见 用辛普森公式计算得到的值误差最小 计算量相对一般 而用矩形公式计 算得到的值误差较大 计算量也比较大 用梯形公式计算的值误差比用矩形公式得到的值 要误差小 计算量也是如此 所以我们计算定积分时用辛普森公式往往得到的值误差小 而 对没有要求误差大小的 则可以选择辛普森或者是梯形公式 因为这两种方法计算量相对 较小 结结 束束 语语 本文只讨论了一些一维数值积分方法及其它们的应用 误差分析等有关内容 其中最常用 的方法是插值型积分以及复化方法 龙贝格积分方法和高斯积分方法 并讨论了相关求积方 法的代数精度和误差分析 并给出了一些例题 分析各种方法的近似值 得出误差分析最小的 近似方法 由于篇幅有限 对于高维数值积分方法本文便不