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用心 爱心 专心 1 浅谈求函数值域的几种方法浅谈求函数值域的几种方法 求函数值域是高考的热点 也是重点和难点 解这类题目的方法具有多样性和灵活性 下面具体谈谈求函数值域的几种方法 一 配方法 通过配方结合函数图像求函数的值域 一般地 对于二次函数求 2 0 yaxbxc a 值域问题可运用配方法 例 1 求的值域 2 1yxx 解 22 133 1 244 yxxx 于是的值域为 2 1yxx 3 4 二 反函数法 一般地 形如 可利用原函数与反函数的定义域和值域之间的互逆关系 0 axb yc cxd 例 2 求函数的值域 21 3 x y x 解 由得 因为 所以 21 3 x y x 31 2 y x y 20y 2y 于是此函数的值域为 2y yRy 且 三 分离常数法 一般地 对于分式函数来说 可以分离一个常数去求函数的值域 例 3 求的值域 2 2 1 xx y xx 解 22 222 1 11 1 111 xxxx y xxxxxx 而 22 133 1 244 xxx 即 所以 2 14 0 13xx 1 1 3 y 即函数的值域为 2 2 1 xx y xx 1 1 3 注意 例 2 也可以利用分离常数法去求值域 有兴趣的读者可以试一试 四 判别式法 一般地 形如 转化为关于 y 的一元二次方程 利用方程有 2 2 0 axbxc ya m mxnxk 不都为 用心 爱心 专心 2 实数解 来求 y 0 例 4 求的值域 2 2 223 1 xx y xx 解 由去分母得 2 2 223 1 xx y xx 22 223yxyxyxx 即 2 2 2 30yxyxy 当 y 2 时 此方程无实根 当 此方程为一元二次方程 2y xR 即 2 2 4 2 3 0yyy 2 310 0yy 所以 又因为 于是 10 2 3 y 2y 10 2 3 y 故函数的值域为 2 2 223 1 xx y xx 10 2 3 注意 下面 2 点不能直接用判别式法 1 定义域去掉无限个点 2 分子分母中含有公因式 五 换元法 一般地 形如 通过换元 注意此时 t 的范围 yaxbcxd cxdt 例 5 求的值域612 31yxx 解 令则31tx 0 t 2 31xt 所以 2 612 31223yxxtt 2 15 2 22 t 当 t 0 时 y 有最小值 3 于是的值域为 612 31yxx 3 六 分类讨论法 通过分类讨论函数定义域 x 的符号去求值域 例 6 求的值域 2 22 x y xx 解 2 2 2 00 11 0 22111 22 12 22 xy x xy xx xxx 当时 当时 用心 爱心 专心 3 因为 所以 即 1 0 x 2 111 2 1 22x 10y 当 0 x 当时 2 2 2 11 22111 22 12 22 x y xx xxx 而 即 2 111 2 22x 1 2 02y 综上 的值域为 2 22 x
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