2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.1.2 两角和与差的正弦、余弦公式学案 新人教A版必修第一册

1 第第 2 2 课时课时 两角和与差的正弦 余弦公式两角和与差的正弦 余弦公式 1 掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式 2 会用两角和与差的正弦 余弦公式进行简单的三角函数的求值 化简 计算等 3 熟悉两角和与差的正弦 余弦公式的灵活运用 了解公式的正用 逆用以及角的变 换的常用方法 1 两角和与差的余弦公式 cos cos cos sin sin 简记为 c cos cos cos sin sin 简记为 c 温馨提示 1 记忆口诀 余余正正 符号异 2 r r 2 两角和与差的正弦公式 sin sin cos cos sin 简记为 s sin sin cos cos sin 简记为 s 温馨提示 1 公式中 r r 记忆口诀 正余余正 符号同 2 r r 1 由公式 c 可以得到 sin 的公式吗 答案 可以 sin cos 2 cos sin cos cos sin 2 2 判断正误 正确的打 错误的打 1 两角和与差的正弦 余弦公式中的角 是任意的 2 存在 r r 使得 sin sin sin 成立 3 对于任意 r r sin sin sin 都不成立 4 把公式 cos cos cos sin sin 中的 用 代替 可以得到 cos 答案 1 2 3 4 2 题型一给角求值 典例 1 求值 1 cos75 2 sin47 sin17 cos30 cos17 思路导引 1 将 75 写成 30 45 再利用两角和的余弦公式求解 2 观察题 目中出现的角的关系 把 47 写成 17 30 然后运用公式求值 解 1 cos75 cos 30 45 cos30 cos45 sin30 sin45 3 2 2 2 1 2 2 2 6 2 4 2 原式 sin 17 30 sin17 cos30 cos17 sin17 cos30 cos17 sin30 sin17 cos30 cos17 sin 30 1 2 解决给角求值问题的方法 对非特殊角的三角函数式求值问题 一定要本着先整体后局部的基本原则 如果整体 符合三角公式的形式 则整体变形 否则进行各局部的变形 一般途径有将非特殊角化为 特殊角的和或差的形式 或化为正负相消的项并消项求值 将分子 分母形式进行约分求 值 要善于逆用或变用公式 针对训练 1 求值 1 sin14 cos16 sin76 cos74 2 tan10 3 cos10 sin50 解 1 原式 sin14 cos16 sin 90 14 cos 90 16 sin14 cos16 cos14 sin16 sin 14 16 sin30 1 2 2 解法一 原式 tan10 tan60 cos10 sin50 sin10 cos10 sin60 cos60 cos10 sin50 3 2 sin 50 cos10 cos60 cos10 sin50 解法二 原式 sin10 cos10 3 cos10 sin50 sin10 3cos10 cos10 cos10 sin50 2 1 2sin10 3 2 cos10 sin50 2 2sin 10 60 sin50 题型二给值求值 典例 2 已知 0 cos sin 求 4 3 4 4 4 3 5 3 4 5 13 sin 的值 思路导引 先确定 及 的范围 再求出 sin和 cos 4 3 4 4 的值 将 用 与 表示 最后代入公式求解 3 4 4 3 4 解 4 3 4 2 4 sin 4 1 cos2 4 4 5 0 4 3 4 3 4 cos 3 4 1 sin2 3 4 12 13 sin sin sin 4 3 4 sin 4 cos 3 4 cos 4 sin 3 4 4 5 12 13 3 5 5 13 63 65 变式 若本例条件不变 求 cos 的值 解 由典例的解法可知 sin cos 4 4 5 3 4 12 13 4 sin 4 3 4 sincos cossin 4 3 4 4 3 4 4 5 12 13 3 5 5 13 33 65 又 sin 4 3 4 sin cos 2 从而 cos 33 65 给值求值问题的解题策略 在解决此类题目时 一定要注意已知角与所求角之间的关系 恰当地运用拆角 拼角 技巧 同时分析角之间的关系 利用角的代换化异角为同角 具体做法是 1 当条件中有两角时 一般把 所求角 表示为已知两角的和或差 2 当已知角有一个时 可利用诱导公式把所求角转化为已知角 针对训练 2 已知 cos sin 求 cos2 与 cos2 2 3 4 12 13 3 5 的值 解 0 2 3 4 4 3 2 sin 1 cos2 1 12 13 2 5 13 cos 1 sin2 1 3 5 2 4 5 cos2 cos cos cos sin sin 4 5 12 13 3 5 5 13 33 65 5 cos2 cos cos cos sin sin 4 5 12 13 3 5 5 13 63 65 题型三给值求角 典例 3 设 为钝角 且 sin cos 则 的值为 5 5 3 10 10 a b c d 或 3 4 5 4 7 4 5 4 7 4 思路导引 由角 的范围及角 的正弦 可求角 的余弦 由角 的余弦 可求得角 的正弦 再利用两角和的余弦公式求角 注意 角的范围 解析 为钝角 sin 5 5 cos 1 sin2 1 5 5 2 2 5 5 由 cos 得 3 10 10 sin 1 cos2 1 3 10 10 2 10 10 cos cos cos sin sin 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 又 2 故选 c 7 4 答案 c 1 解答此类题目的步骤为 第一步 求角的某一个三角函数值 第二步 确定角所在的范围 第三步 根据角的取值范围写出所求的角 至于选取角的哪一个三角函数值 应根据 所求角的取值范围确定 最好是角的取值范围在该函数的单调区间内 2 选择求角的三角函数值的方法 若角的取值范围是 则选正弦函数 余弦函数均可 若角的取值范围是 0 2 6 则选正弦函数 若角的取值范围是 0 则选余弦函数 2 2 针对训练 3 已知 且 cos sin 求角 0 2 2 0 3 5 2 10 的大小 解 因为 所以 0 0 2 2 0 由 cos 知 sin 3 5 4 5 由 sin 知 cos 2 10 7 2 10 所以 sin sin sin cos cos sin 4 5 7 2 10 3 5 2 10 2 2 又 所以 0 2 4 题型四辅助角公式 典例 4 化简 1 cosx sinx 2 2 3sinx 3cosx 155 思路引导 将asinx bcosx化成sin x 形式 a2 b2 解 1 cosx sinx 222 2 2 cosx 2 2 sinx 2 2cos cos 4 cosx sin 4 sinx 4 x 2 3sinx 3cosx 155 6 5 3 2 sinx 1 2cosx 6 5 sin 3 sinx cos 3 cosx 6cos 5 x 3 7 辅助角公式及其运用 1 公式形式 公式asin bcos sin 或asin bcos a2 b2 cos 将形如asin bcos a b不同时为零 的三角函数式收缩为同一 a2 b2 个角的一种三角函数式 2 形式选择 化为正弦还是余弦 要看具体条件而定 一般要求变形后角 的系数 为正 这样更有利于研究函数的性质 针对训练 4 函数f x sinx cos的值域为 x 6 a 2 2 b 33 c 1 1 d 3 2 3 2 解析 f x sinx cos sinx cosx sinx sinx cosx sin x 6 3 2 1 2 3 2 3 23 x 6 所以函数f x 的值域为 故选 b 33 答案 b 课堂归纳小结 1 两角和与差公式的理解 记忆 1 公式间的逻辑关系 s c c s 2 公式的结构特征和符号规律 对于公式 c c 可记为 同名相乘 符号异 对于公式 s s 可记为 异名相乘 符号同 2 应用公式需注意的三点 1 要注意公式的正用 逆用 尤其是公式的逆用 要求能正确地找出所给式子与公式 右边的异同 并积极创造条件逆用公式 2 注意拆角 拼角的技巧 将未知角用已知角表示出来 使之能直接运用公式 3 注意常值代换 用某些三角函数值代替某些常数 使之代换后能运用相关公式 其 中特别要注意的是 1 的代换 如 1 sin2 cos2 1 sin90 cos60 1 2 8 sin60 等 再如 0 等均可视为某个特殊角的三角函数值 从而将常数换 3 2 1 2 2 2 3 2 为三角函数 1 sin105 的值为 a b 3 2 2 2 1 2 c d 6 2 4 2 6 4 解析 sin105 sin 90 15 cos15 cos 45 30 cos45 cos30 sin45 sin30 6 2 4 所以 d 选项是正确的 答案 d 2 sin45 cos15 cos225 sin15 的值为 a b c d 3 2 1 2 1 2 3 2 解析 原式 sin45 cos15 cos 180 45 sin15 sin45 cos15 cos45 sin15 sin 45 15 sin30 1 2 答案 c 3 已知 cos sin 其中 0 则 sin 1 3 2 2 3 的值为 a b 4 2 5 9 4 2 5 9 c d 4 2 5 9 4 2 5 9 解析 由 cos sin 1 3 2 2 3 得 cos cos 1 3 2 3 因为 0 所以 sin sin 2 2 3 5 3 9 所以 sin sin cos cos sin 故选 a 2 2 3 2 3 1 3 5 3 4 2 5 9 答案 a 4 sin cos 123 12 解析 原式 2 1 2sin 12 3 2 cos 12 解法一 原式 2 cos 3 sin 12 sin 3 cos 12 2 sin 12cos 3 cos 12sin 3 2sin 2sin 12 3 4 2 解法二 原式 2 sin 6 sin 12 cos 6 cos 12 2 cos 6 cos 12 sin 6 sin 12 2cos 2cos 6 12 42 答案 2 5 当函数y sinx cosx 0 x 2 取得最大值时 x 3 解析 函数y sinx cosx 2sin 3 x 3 当 0 x 2 时 x 3 3 5 3 所以当y取得最大值时 x 所以x 3 2 5 6 答案 5 6 课后作业 四十九 复习巩固 一 选择题 1 在 abc中 a cosb 则 sinc等于 4 10 10 10 a b c d 2 5 5 2 5 5 5 5 5 5 解析 cosb b为锐角 10 10 sinb 1 cos2b 3 10 10 又 sinc sin a b sin a b sincosb cossinb 4 4 2 2 10 10 2 2 3 10 10 8 5 20 2 5 5 答案 a 2 计算 cos 80 2 cos 65 2 sin 80 2 sin 65 2 的值为 a b 2 6 4 3 2 c d 6 2 4 1 2 解析 原式 cos 80 2 65 2 cos15 cos 45 30 2 6 4 答案 c 3 sin15 cos15 的值为 1 2 3 2 a b c d 2 2 2 2 1 2 1 2 解析 原式 sin30 sin15 cos30 cos15 cos30 cos15 sin30 sin15 cos 30 15 cos45 2 2 答案 b 4 已知 sin cos 且 则 sin 等于 2 2 3 1 3 0 2 a b c d 1 2 1 2 1 3 4 2 9 解析 因为 sin cos 且 所以 2 2 3 1 3 0 2 cos sin 1 3 2 2 3 11 sin sin sin cos cos sin 故选 d 4 2 9 答案 d 5 已知 cos sin 则 sin的值是 6 4 5 3 7 6 a b c d 2 3 5 2 3 5 4 5 4 5 解析 因为 cos sin 6 4 3 5 所以cos sin 3 2 3 2 4 5 3 3 1 2cos 3 2 sin 4 5 3 所以 sin 6 4 5 所以 sin sin 故选 c 7 6 6 4 5 答案 c 二 填空题 6 形如的式子叫做行列式 其运算法则为 ad bc 则行列 a b c d a b c d 式的值是 cos 3 sin 6 sin 3 cos 6 解析 coscos sinsin cos cos 0 cos 3 sin 6 sin 3 cos 6 3 6 3 6 3 6 2 答案 0 7 若 cos cos 则 tan tan 1 5 3 5 解析 由error 得error 解得error 所以 tan tan sin sin cos cos 1 2 答案 1 2 8 a b均为锐角 cos a b sin 则 sin 24 25 b 3 3 5 a 3 12 解析 因为a b均为锐角 cos a b sin 24 25 b 3 3 5 所以 0 a b 可得 sin a b 1 cos2 a b 7 25 cos b 3 1 sin2 b 3 可得 4 5 sin sin a 3 a b b 3 7 25 4 5 24 25 3 5 44 125 答案 44 125 三 解答题 9 已知 sin cos cos sin 是第三象限角 求 sin 4 5 的值 4 解 sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin 4 5 sin 又 是第三象限角 4 5 cos 1 sin2 3 5 sin s