零件强度和刚度Microsoft Word 文档.doc

第七章 第一节 材料力学基本概念第七章零件的强度和刚度【自学目的】： 1、了解机械零件的强度、刚度的基本概念及变形形式 2、 掌握拉压、剪切、扭转、弯曲、弯扭组合变形的强度计算【自学重点及处理方法】： 重点：扭转、弯曲的强度计算方法 难点：弯扭组合变形的强度计算方法第一节 材料力学的基本概念一、变形固体的基本假设 1、均匀连续假设：认为整个物体内部充满了物质，没有任何空隙存在，同时认为物体内任何部分的性质完全一样。2、各向同性假设：认为材料在各个不同的方向都具有相同的力学性质。3、小变形假设：构件在外力作用下将产生变形，构件的形状、几何尺寸和位置将会发生变化，材料力学研究的问题，限于变形的大小远小于构件的原始尺寸。二、外力及分类载荷：作用于构件上的外力。分类：1）按作用方式分：体积力和表面力。表面力又分为分布力和集中力。2）按载荷随时间变化的情况分为静载荷和动载荷。三、内力、截面法、应力1、内力的概念内力：因外力作用引起的内力改变量，也称为附加内力。2、截面法：用截面假想地把物体分成两部分，以显示并确定内力的方法。其步骤为：1）截开2）代替3）平衡。3、应力：内力的集度。单位：帕斯卡。四、杆件变形的基本形式杆件：横向尺寸远小于纵向尺寸的构件。 杆件变形的基本形式：1、轴向拉伸或轴向压缩2、剪切3、扭转4、弯曲。第七章 第二节 轴向拉伸与压缩鼠标双击自动滚屏一 轴向拉伸与压缩的概念工程实例力学模型受力特点：直杆，所受外力或其合力与杆轴线重合 。变形特点：沿轴线方向将发生伸长或缩短变形。杆件的这种变形形式称为杆件的轴向拉伸与压缩。发生轴向拉伸与压缩的杆件一般简称为拉(压)杆。二拉(压)杆的轴力和轴力图内力的概念外力杆件以外物体对杆件的作用力。 （前面研究的力，主动力和约束反力）内力外力引起的物体内部的作用力。（物体本来存在内部作用力，外力引起了内部作用力的改变）也称为附加内力。 拉(压)杆在外力作用下产生变形，内部材料微粒之间的相对位置发生了改变，其相互作用力也发生了改变。这种由外力引起的杆件内部相互作用力的改变量，称为内力。内力的特点：1）完全由外力引起，并随着外力改变而改变； 2）这个力若超过了材料所能承受的极限值，杆件就要断裂； 3）内力反映了材料对外力有抗力，并传递外力。 内力的大小和分布形式与杆件的承载能力密切相关。为了保证杆件在外力作用下安全可靠地工作，必须弄清楚杆件的内力。截面法用截面假想地把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。拉(压)杆的内力轴力以轴向拉伸杆为例，用截面法求得任一横截面m-m上的内力 FN与FN是一对作用力与反作用力。因此，无论研究截面左段求出的内力FN，还是研究截面右段求出的内力FN，都是mm截面的内力。 为了使取左段或取右段求得的同一截面上的轴力相一致，规定其正负号为：轴力FN的符号由变形决定拉伸时，为正；压缩时，为负。截面法:（1）截沿欲求内力的截面上假想地用一截面把杆件分为两段；（2）弃抛弃一段(左段或右段)，保留另一段为研究对象；（3）代将抛弃段对保留段截面的作用力，用内力FN代替；（4）平列平衡方程式求出该截面内力的大小。截面法是求内力最基本的方法。注意:1）外力不能沿作用线移动力的可传性不成立；变形体，不是刚体 2）截面不能切在外力作用点处要离开作用点。轴力图用平行于杆轴线的x坐标表示横截面位置，用垂直于x的坐标FN表示横截面轴力的大小，按选定的比例，把轴力表示在x-FN坐标系中，描出的轴力随截面位置变化的曲线。例4-1 图4-2-2a所示的等截面直杆，受轴向力F1=15KN，F2=10KN的作用，求出杆件1-1、2-2截面的轴力，并画出轴力图。解 (1)外力分析 先解除约束，画杆件的受力图。(2)内力分析 外力FR，F1，F2将杆件分为AB段和BC段，在AB段，用1-1截面将杆件截分为两段，取左段为研究对象，右段对截面的作用力用FN1来代替。假定内力FN1为正，列平衡方程(3)画轴力图三横截面的应力应力的概念 在相同的F力作用下，杆2首先破坏，而二杆各横截面上的内力是相同的，只是内力在二杆横截面上的聚集程度不一样，这说明杆件的破坏是由内力在截面上的聚集程度决定的。 内力在截面上分布的密集程度。把内力在截面上的集度称为应力，其中垂直于杆横截面的应力称为正应力，平行于横截面的应力称为切应力。应力：内力所在截面单位面积上的内力。在力学中，一般要将p分解：一个分量垂直于截面， 一个分量平行于截面。 正应力 切应力应力的单位：力的单位/面积的单位1N/m2=1Pa（帕）常用1N/mm2=1MPa（兆帕）=106N/m2=106Pa（帕） 常采用N、mm、MPa的计量单位 拉(压)杆横截面上的应力观察杆件变形：外力F使杆件拉伸。可以看到横向线平行向外移动并与轴线保持垂直。变形现象：各条横向线都作了相对的平移；任意两条横向线之间的纵向线伸长均相同。平面假设： 变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，仅仅沿轴线方向平移一个段距离。也就是杆件在变形过程中横截面始终为平面。实质：发生均匀的伸长变形 根据材料均匀性假设，设想杆件是由无数纵向纤维所组成，任一横截面处轴线方向均匀伸长，横截面上的分布内力（轴力）也应均匀，且方向垂直于横截面。横截面存在正应力正应力s的符号规定与FN一致。 拉应力为“正”；压应力为“负”。式中， FN表示横截面轴力（N）； A表示横截面面积（mm2）。四拉(压)杆的变形 1绝对变形 轴向变形拉(压)杆的纵向伸长(或缩短)量，用L表示；L=L1- L 拉伸时为“正”；压缩时为“负”。横向变形横向缩短(或伸长)量，用d 表示。d =d1- d 拉伸时为“负”；压缩时为“正”。绝对变形L、 d 。2相对变形 绝对变形与杆件的原长有关，不能准确反映杆件变形的程度，消除杆长的影响，得到单位长度的变形量。相对变形单位长度的变形量 e 和都是无量纲量，又称为线应变。e轴向线应变，横向线应变。 3横向变形系数m实验表明，当应力不超过某一限度时，其横向线应变与轴向线应变的比值为一常数，记作，称为横向变形系数或泊松比几种常用工程材料的值见表虎克定律对拉(压)杆，当应力不超过某一限度（在弹性范围内）时，杆的轴向变形L与轴力FN成正比，与杆长L成正比，与横截面面积A成反比。(反映了力与变形之间的物理关系)引入比例常数E ，其公式为 E材料的拉(压)弹性模量， 由于轴力、杆长、截面面积相同的等直杆，E值越大，L就越小，所以E值代表了材料抵抗拉(压)变形的能力，是衡量材料刚度的指标。量纲为力/长度2，其单位是GPa，1MPa106Pa，1GPa109Pa各种材料的弹性模量E是由实验测定的。几种常用材料的E值见表。 EA由于拉(压)杆的横截面积A和材料弹性模量E的乘积与杆件的变形成反比，EA值越大，L就越小，拉(压)杆抵抗变形的能力就越强，所以，EA值表征杆件抵抗轴向拉压变形的能力，称为杆件的抗拉(压)刚度。公式两边同除以L，（s=FNA） 上式表明，当应力不超过某一极限值时，应力与应变成正比。注意适用条件：应力不超过某一极限值，这一极限值是指材料的比例极限，各种材料的比例极限可由实验测定。在式中长度L内，FN、E、A均为常量，否则，应分段计算。 例题一构件如图所示，已知：F1=30kN, F2=10kN, AAB=ABC=500mm2, ACD=200mm2, E=200GPa。试求：(1) 各段杆横截面上的内力和应力；(2) 杆的总伸长。 虽然杆AD不满足虎克定律的适用条件，但AB段、BC段和CD却能分别满足虎克定律，因此，我们可按胡克定律分别求AB、BC、CD三段杆的伸长量，然后相加得到杆AD的总伸长量。 五材料拉伸和压缩时的力学性能材料的力学性能材料在外力作用下，其强度和变形方面所表现出来的性能（也称机械性能）。 通过试验揭示材料在受力过程中所表现出的与试件几何尺寸无关的材料本身特性。如变形特性，破坏特性等。 研究材料的力学性能的目的是确定在变形和破坏情况下的一些重要性能指标，以作为选用材料，计算构件强度、刚度的依据。塑性材料:低碳钢等脆性材料:铸铁等 本节主要介绍低碳钢和铸铁在常温(指室温)、静载(指加载速度缓慢平稳)下的力学性能。1.试件和设备标准试件:圆截面试件，标距L与直径d的比例分为，L=10d，L=5d；试验设备:拉力机 简图 实验2.低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢，如A3钢、16Mn钢。拉伸试验（The Tensile Test）：绘出F-L 曲线（载荷变形） 由于F-L 曲线与试样的尺寸有关，为了消除试件尺寸的影响，常采用应力应变曲线，即s-e曲线来代替F-L曲线。s-e曲线：低碳钢试件拉伸时的s-e曲线弹性阶段比例极限poa段：在拉伸的初始阶段应力s与应变e为直线关系直至a点，此时a点所对应的应力值称为比例极限，用sp表示。虎克定律 当ssp，有它表示应力与应变成正比，即有E为弹性模量aa段，已不再是直线，说明材料已不符合虎克定律。但在aa段内卸载，变形也随之消失，说明aa段也发生弹性变形，oa段称为弹性阶段。a点所对应的应力值记作s弹性极限弹性极限与比例极限非常接近，近似地用比例极限代替弹性极限。屈服阶段 屈服点ss(屈服极限)bc段：屈服应力超过弹性极限后继续加载，会出现一种现象，即应力增加很少或不增加，应变会很快增加，这种现象称之。屈服极限开始发生屈服的点所对应的应力，又称屈服强度 在屈服阶段应力不变而应变不断增加，材料似乎失去了抵抗变形的能力，因此产生了显著的塑性变形。此时若卸载，应变不会完全消失，而存在残余变形，也称塑性变形。所以ss是衡量材料强度的重要指标。强化阶段 抗拉强度cd段：越过屈服阶段后，如要让试件继续变形，必须继续加载，材料似乎强化了，cd 段即强化阶段。强度极限应变强化阶段的最高点（d 点）所对应的应力。它表示材料所能承受的最大应力。 颈缩阶段过d点后，即应力达到强度极限后，试件局部发生剧烈收缩的现象，称为颈缩，进而试件内部出现裂纹，名义应力下跌，至e点试件断裂变形过程：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、重要指标：比例极限、弹性极限、屈服极限、强度极限4塑性指标 试件拉断后，弹性变形消失，但塑性变形仍保留下来。工程上用试件拉断后遗留下来的变形表示材料的塑性指标。(1) 伸长率(2) 断面收缩率式中，L1为试件拉断后的标距，L是原标距；A1为试件断口处的最小横截面面积，A为原横截面面积。显然d、y 值越大，其塑性越好。d5的材料称为塑性材料，如钢材、铜、铝等； d5的材料称为脆性材料，如铸铁、混凝土、石料等。低碳钢压缩时的力学性能 认为低碳钢的抗拉性能与抗压性能是相同的。屈服阶段以后，试件会越压越扁，先是压成鼓形，最后变成饼状，故得不到压缩时的抗压强度。其他塑性材料拉伸时的力学性能 对于没有明显屈服阶段的塑性材料，常用其产生0.2%塑性应变所对应的应力值作为名义屈服点，称为屈服强度，用 s0.2表示。铸铁拉(压)时的力学性能铸铁拉伸抗拉强度 曲线没有明显的直线部分和屈服阶段，无缩颈现象而发生断裂破坏，塑性变形很小。把断裂时曲线最高点所对应的应力值记作sb ，称为抗拉强度。铸铁的抗拉强度较低。 由于铸铁总是在较小的应力下工作，且变形很小，故可近似地认为符合虎克定律。通常在s-e 曲线上用割线oa近似地代替曲线oa，并以割线oa的斜率作为弹性模量E。抗压强度sby 曲线没有明显的直线部分，在应力较小时，可以近似地认为符合虎克定律。曲线没有屈服阶段，变形很小时沿与轴线大约成45的斜截面发生破裂破坏。把曲线最高点的应力值称为抗压强度，用sby 表示。 与拉伸时的 曲线(虚线)比较可见，铸铁材料的抗压强度约是抗拉强度的45倍。其抗压性能远好于抗拉性能，反映了脆性材料共有的属性。因此，工程中铸铁等脆性材料常用作受压构件，而不用作受拉构件。常用工程材料的力学性能见表。六拉(压)杆的强度计算许用应力和安全系数任何工程材料能承受的应力都是有限度的。极限应力材料丧失正常工作能力时的应力。塑性材料：当应力达到屈服点后，将发生明显的塑性变形，从而影响构件安全正常地工作，所以塑性变形是塑性材料破坏的标志。极限应力:屈服强度ss (或屈服强度s0.2 )脆性材料:没有明显的塑性变形，断裂是脆性材料破坏的标志。极限应力:抗拉强度sb 和抗压强度sby构件的工作应力必须小于材料的极限应力。许用应力s构件安全工作时，材料允许承受的最大应力。许用应力等于极限应力除以大于l的系数n塑性材料的安全系数取 1.22.5，脆性材料的安全系数取2.03.5。强度计算强度条件最大工作应力不超过材料的许用应力。 强度计算应用强度条件式计算(1)校核强度 已知外力F、横截面积A和许用应力s，计算出最大工作应力，检验是否满足强度条件，从而判断构件是否能够安全可靠工作。 (2)设计截面 已知外力F、许用应力s，由AFNs计算出截面面积A，然后根据工程要求的截面形状，设计出构件的截面尺寸。(3)确定许可载荷已知构件的截面面积A、许用应力s，由FNmaxAs计算出构件所能承受的最大内力FNmax，再根据内力与外力的关系，确定出构件允许的许可载荷值F。 工程实际中，进行构件的强度计算时，根据有关设计规范，最大工作应力若大于许用应力，但只要不超过许用应力的5%也是允许的。例4-2 某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压p2MPa，油缸内径D75mm，活塞杆直径d18mm，已知活塞杆材料的许用应力s50MPa，试校核活塞杆的强度。解 （1）求活塞杆的轴力（2）按强度条件校核ss 上一节下一节四川机电职业技术学院机械工程系 四川省攀枝花市 （0812）6251577第七章 第三节 圆轴扭转鼠标双击自动滚屏一、圆轴扭转的概念工程背景力学模型扭转变形的特点：1)受力特点 在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。 2)变形特点 横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。二、扭矩和扭矩图 首先计算作用于轴上的外力偶矩，再分析圆轴横截面的内力，然后计算轴的应力和变形，最后进行轴的强度及刚度计算。1、外力偶矩的计算式中，Me为外力偶矩（Nmm）； P为功率（kW）； n为转速（rmin）。主动轮的输入功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相同；从动轮的输出功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相反。2、圆轴扭转时的内力扭矩torque截面法求横截面的内力规定扭矩的正负（右手螺旋法则）：以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。注意：“正”“负”不是计算出来的。3、扭矩图例 输入一个不变转矩Me1，不计摩擦，轴输出的阻力矩为Me22Me13，Me3Me13，外力偶矩Me1、Me2、Me3将轴分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭矩。扭矩图用平行于杆轴线的x坐标表示横截面的位置，用垂直于x轴的坐标MT表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩随截面位置变化的曲线。例6-1 转动轴如图所示，转速n=300rpm，主动轮A输入功率PA=22.1kW，从动轮B、C输出功率分别为PB=14.8kW，PC=7.3kW。试求：1） 作用在轴上的外力偶矩；2） 横截面上的扭矩。解：1） 求作用在轴上的外力偶矩2） 计算横截面上的扭矩 作扭矩图二圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算1圆轴扭转时横截面上的应力应力与变形有关，观察变形：在小变形的情况下：（1)各圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离均无变化；各圆周线绕轴线转动了不同的角度。（2）所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同一角度g 。扭转变形的平面假设：圆轴扭转时，横截面保持平面，并且只在原地发生刚性转动。在平面假设的基础上，扭转变形可以看作是各横截面像刚性平面一样，绕轴线作相对转动，由此可以得出：（1）扭转变形时，由于圆轴相邻横截面间的距离不变，即圆轴没有纵向变形发生，所以横截面上没有正应力。（2）扭转变形时，各纵向线同时倾斜了相同的角度；各横截面绕轴线转动了不同的角度，相邻截面产生了相对转动并相互错动，发生了剪切变形，所以横截面上有切应力。根据静力平衡条件，推导出截面上任一点的切应力计算公式根据静力平衡条件，推导出截面上任一点的切应力计算公式 式中，tr为横截面上任一点的切应力（MPa ）；MT 为横截面上的扭矩（N mm ）； r为欲求应力的点到圆心的距离（mm ）；Ir 为截面对圆心的极惯性矩（mm4）。圆轴扭转时，横截面边缘上各点的切应力最大(r=R )，其值为 式中，Wp为抗扭截面系数（mm3） 极惯性矩与抗扭截面系数表示了截面的几何性质，其大小与截面的形状和尺寸有关。(1) 实心轴， 设直径为D， (2)空心轴，设外径为D，内径为d，a=d/D2圆轴扭转时的强度计算对于阶梯轴，因为抗扭截面系数Wp不是常量，最大工作应力tmax不一定发生在最大扭矩MTmax 所在的截面上。要综合考虑扭矩MT 和抗扭截面系数Wp，按这两个因素来确定最大切应力tmax。塑性材料： t=(0.50.6) sl脆性材料： t=(0.81.0) sl例6-1 某一传动轴所传递的功率P=80kW，其转速n=582r/min ，直径d=55mm ，材料的许用切应力t=50MPa，试校核该轴的强度。解 （1）计算外力偶矩（2）计算扭矩。该轴可认为是在其两端面上受一对平衡的外力偶矩作用，由截面法得 MT=Me=1312700N mm（3）校核强度所以，轴的强度满足要求。三 圆轴扭转时的变形和刚度计算1. 圆轴扭转时的变形扭角t圆轴扭转时，任意两横截面产生的相对角位移。等直圆轴的扭角f的大小与扭矩MT及轴的长度L成正比，与横截面的极惯性矩Ip成反比，引入比例常数G f为扭角（rad）； G 为材料的切变模量(GPa)。当扭矩MT 及杆长L一定时，GIp 越大，扭角f就越小，GIp 反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为轴的抗扭刚度。如果两截面之间的扭矩值 有变化，或轴径不同，则应分段计算出相应各段的扭角，然后叠加。2扭转时的刚度计算等直圆轴的刚度条件：qmax为单位长度的最大扭角，单位为rad/m ，而工程上许用单位长度扭角q的单位为0/m 注意：对于阶梯轴，因为极惯性矩Ip 不是常量，所以最大单位长度扭角不一定发生在最大扭矩MTmax 所在的轴段上。要综合考虑扭矩MT和极惯性矩Ip来确定最大单位长度扭角qmax 。应用扭转强度条件：校核强度、设计截面和确定许可载荷。例6-2 图示阶梯轴，直径分别为d1=40mm ，d2=55mm ，已知C轮输入转矩Mec=1432.5Nm ，A轮输出转矩MeA=620.8Nm ，轴的转速n=200r/min ，轴材料的许用切应力t=60MPa，许用单位长度扭角q=20/m ，切变模量G=80GPa ，试校核该轴的强度和刚度。解 （1）作扭矩图MTmax在BC段，但AB段较细。危险截面可能发生在的d1截面处，也可能发生在BC段。（2）校核强度 AB段BC段轴的强度满足要求。（3）校核刚度 AB段BC段轴的刚度也满足要求第七章 第四节 直梁的弯曲鼠标双击自动滚屏、一直梁平面弯曲的概念弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。梁以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。梁的计算简图载荷：（1）集中力（2）集中力偶（3）分布载荷 梁的类型(1)简支梁(2)外伸梁(3)悬臂梁二梁弯曲时的内力1梁弯曲时横截面上的内力剪力和弯矩问题：任截面处有何内力？ 该内力正负如何规定？ 例71图示的悬臂梁AB，长为l ，受均布载荷q 的作用，求梁各横截面上的内力。求内力的方法截面法 截面法的核心截开、代替、平衡 内力与外力平衡解：为了显示任一横截面上的内力，假想在距梁的左端为x处沿m-m截面将梁切开。由剪力方程和弯矩方程，代入相应数据可以求得梁各横截面上的内力剪力和弯矩。 梁发生弯曲变形时，横截面上同时存在着两种内力。剪力作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内。弯矩位于纵向对称面内。剪切弯曲横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲。纯弯曲梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。 工程上一般梁（跨度L与横截面高度h 之比L/h5），其剪力对强度和刚度的影响很小，可忽略不计，故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。规定：使梁弯曲成上凹下凸的形状时，则弯矩为正；反之使梁弯曲成下凹上凸形状时，弯矩为负，2弯矩图弯矩图：以与梁轴线平行的坐标x表示横截面位置，纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小。例72试作出例71中悬臂梁的弯矩图。解 （1）建立弯矩方程 由例71知弯矩方程为（2）画弯矩图 弯矩方程为一元二次方程，其图象为抛物线。求出其极值点相连便可近似作出其弯矩图。例73图示的简支梁AB，在C点处受到集中力F作用，尺寸a 、b 和l 均为已知，试作出梁的弯矩图。解 （1）求约束反力（2）建立弯矩方程 上例中梁受连续均布载荷作用，各横截面上的弯矩为x的一个连续函数，故弯矩可用一个方程来表达，而本例在梁的C点处有集中力F作用，所以梁应分成AC和BC两段分别建立弯矩方程。例74图示的简支梁AB，在C点处受到集中力偶M0作用，尺寸a 、b 和l 均为已知，试作出梁的弯矩图。总结上面例题，可以得到作弯矩图的几点规律：（1）梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。（2）梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。（3）梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。三 剪力图与弯矩图弯矩图：（1）梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小 。（2）梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。（3）梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。例75图示简支梁，受集中力FP 和集中力偶M0=FPl 作用，试作此梁的弯矩图。例总结上面例题，可以得到作弯矩图的几点规律：（1）梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。（2）梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。（3）梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。四 梁纯弯曲时的强度条件1梁纯弯曲的概念纯弯曲梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。Q = 0，M = 常数。2梁纯弯曲时横截面上的正应力梁纯弯曲时的变形特点平面假设：1）变形前为平面变形后仍为平面2）始终垂直与轴线中性层：既不缩短也不伸长（不受压不受拉）。中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。中性轴：中性层与横截面的交线变形时横截面是绕中性轴旋转的。梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。 由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。 以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。梁纯弯曲时正应力计算公式在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为 式中， M为作用在该截面上的弯矩（Nmm）； y为计算点到中性轴的距离（mm）；为横截面对中性轴z的惯性矩（mm4）。在中性轴上 y=0，所以s=0 ；当y=ymax 时，s=smax 。最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处， 或 _横截面对中性轴z的抗弯截面模量(mm3) 计算时， M和y均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。 弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的，但对于剪切弯曲的梁，只要其跨度L与横截面高度h之比L/h 5，仍可运用这些公式计算弯曲正应力。3惯性矩和抗弯截面模量简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式4梁纯弯曲时的强度条件对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面，其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力，具有最大工作应力的点一般称为危险点。梁的弯曲强度条件是：梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应力。 运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。例76在例73中的简支梁，若选用D=100mm，d=60mm的空心圆形截面钢制造，已知梁的跨度l=3m，a=1m，b=2m，集中载荷F=25kN，许用正应力s=200MPa。 不计梁的自重，试校核该梁的强度。五 纯弯曲时梁的正应力在平面弯曲时，工程上近似地认为梁横截面上的弯矩是由截面上的正应力形成的，而剪力则由截面上的切应力所形成。本章将在梁弯曲时的内力分析的基础上，导出梁弯曲时的应力与变形的计算，建立梁的强度和刚度条件。为了研究梁横截面上的正应力分布规律，取一矩形截面等直梁，在表面画些平行于梁轴线的纵线和垂直干梁轴线的横线。在梁的两端施加一对位于梁纵向对称面内的力偶，梁则发生弯曲。梁任意横截面上的内力只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲，这种梁称为纯弯曲梁。通常从变形的几何关系、物理关系和静力平衡条件三个方面来推导出纯弯曲梁横截面上的正应力公式。1、实验观察梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象：1、横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度2、纵向线（包括轴线）都变成了弧线。3、梁横截面的宽度发生了微小变形，根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设： 平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴转过了一个微小的角度。 单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于单向受拉或单向受压状态。可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短，其间必有一层纤维既不伸长也木缩短，这层纤维称为中性层。中性层和横截面的交线称为中性轴，即图中的Z轴。梁的横截面绕Z轴转动一个微小角度。2、变形的几何关系图中梁的两个横截面之间距离为dx，变形后中性层纤维长度仍为dx且dx=d。距中性层为y的某一纵向纤维的线应变为：即梁内任一纵向纤维的线应变与它到中性层的距离y成正比。 3、变形的物理关系由单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将虎克定律代入上式，得：可见矩形截面梁在纯弯曲时的正应力的分布有如下特点： 中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。 到中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据虎克定律，它们的正应力也相等。 在图示的受力情况下，中性轴上部各点正应力为负值，中性轴下部各点正应力为正值。 正应力沿y轴线性分布。最大正应力（绝对值）在离中性轴最4、梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律5、纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。 由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。 以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。6、梁纯弯曲时正应力计算公式在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为 式中， M为作用在该截面上的弯矩（Nmm）； y为计算点到中性轴的距离（mm）； I为横截面对中性轴z的惯性矩（mm4）。 在中性轴上 y=0，所以s=0 ；当y=ymax 时，s=smax 。最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处， 或 _横截面对中性轴z的抗弯截面模量mm3) 计算时， M和y均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。 弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的，但对于剪切弯曲的梁，只要其跨度L与横截面高度h之比L/h 5，仍可运用这些公式计算弯曲正应力。惯性矩和抗弯截面模量简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式梁纯弯曲时的强度条件对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面，其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力，具有最大工作应力的点一般称为危险点。梁的弯曲强度条件是：梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应力。 运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。例76在例73中的简支梁，若选用D=100mm，d=60mm的空心圆形截面钢制造，已知梁的跨度l=3m，a=1m，b=2m，集中载荷F=25kN，许用正应力s=200MPa。 不计梁的自重，试校核该梁的强度。六梁纯弯曲时的强度条件梁纯弯曲的概念纯弯曲梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。Q = 0，M = 常数。梁纯弯曲时横截面上的正应力1梁纯弯曲时的变形特点平面假设：1）变形前为平面变形后仍为平面2）始终垂直与轴线中性层：既不缩短也不伸长（不受压不受拉）。中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。中性轴：中性层与横截面的交线。变形时横截面是绕中性轴旋转的。2梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。 由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。 以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。3梁纯弯曲时正应力计算公式在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为式中， M为作用在该截面上的弯矩（Nmm）； y为计算点到中性轴的距离（mm）； I为横截面对中性轴z的惯性矩（mm4）。 在中性轴上 y=0，所以s=0 ；当y=ymax 时，s=smax 。最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处， 或 _横截面对中性轴z的抗弯截面模量(mm3) 计算时， M和y均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。 弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的，但对于剪切弯曲的梁，只要其跨度L与横截面高度h之比L/h 5，仍可运用这些公式计算弯曲正应力。惯性矩和抗弯截面模量简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式梁纯弯曲时的强度条件对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面，其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力，具有最大工作应力的点一般称为危险点。梁的弯曲强度条件是：梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应力。 运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。例76在例73中的简支梁，若选用D=100mm，d=60mm的空心圆形截面钢制造，已知梁的跨度l=3m，a=1m，b=2m，集中载荷F=25kN，许用正应力s=200MPa。 不计梁的自重，试校核该梁的强度。七 提高梁强度的主要措施 提高梁强度的主要措施是：1）降低弯矩M的数值 2)增大抗弯截面模量Wz的数值降低最大弯矩Mmax数值的措施1）合理安排梁的支承最大弯矩，只为前者的五分之一。2）合理布置载荷2、合理选择梁的截面 合理的截面应该是:用最小的截面面积（即用材料少），得到大的抗弯截面模量Wz1）形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式，则Wz值可能不相同 竖放时（左）抗弯截面模量大，承载能力强，不易弯曲； 平放时（右），抗弯截面模量小，承载能力差，易弯曲。 工字钢、槽钢等梁放置方式不同其抗弯截面模量也不同，承载能力不同。2）面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模量Wz值不相同 材料远离中性轴的截面（如圆环形、工字形等）比较经济合理。 对于矩形截面，则可把中性轴附近的材料移置到上、下边缘处而形成工字形截面。 工程中的吊车梁、桥梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的楼板采用空心圆孔板。3）截面形状应与材料特性相适应 对抗拉和抗压强度相等的塑性材料，宜采用中性轴对称的截面，如圆形、矩形、工字形等。 对抗拉强度小于抗压强度的脆性材料，宜采用中性轴偏向受拉一侧的截面形状。3、采用等强度梁 对于等截面梁，除Mmax所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外，其余截面的应力均小于，甚至远小于许用应力。 为了节省材料，减轻结构的重量，可在弯矩较小处采用较小的截面，这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。等强度梁使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力，则这种梁称之。例：八 梁弯曲时的变形和刚度条件1、梁弯曲时的变形挠曲线：AB1挠度：yC(CC1) yB(BB1) 形心 正、负号规定：与坐标轴y的正方向一