（江西版）2013年高考数学总复习 第十一章算法初步、推理与证明、复数单元检测 理 北师大版（含详解）

1 20132013 年高考第一轮复习数学北师年高考第一轮复习数学北师 江西版江西版 理第十一章算法初步 推理理第十一章算法初步 推理 与证明 复数单元检测与证明 复数单元检测 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 2011 安徽高考 文 1 设 i 是虚数单位 复数为纯虚数 则实数a为 1 ai 2 i A 2 B 2 C D 1 2 1 2 2 如图是一个算法的程序框图 该算法输出的结果是 A B C D 1 2 2 3 3 4 4 5 3 观察下图中图形的规律 在其右下角的空格内画上合适的图形为 4 下面程序运行的结果是 A 5 050 B 5 049 C 3 D 2 5 下列推理是归纳推理的是 A A B为定点 动点P满足 PA PB 2a AB 得动点P的轨迹为椭圆 B 由a1 1 an 3n 1 求出S1 S2 S3 猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C 由圆x2 y2 r2的面积为 r2 猜出椭圆 1 a b 0 的面积S ab x2 a2 y2 b2 D 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 2 6 定义运算 ad bc 则符合条件 0 的复数z的共轭复数所对应 a b c d z 1 2i 1 i 1 i 的点在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 7 如图 程序框图的输出结果为 170 那么在判断框中 表示的 条件 应该是 A i 5 B i 7 C i 9 D i 9 8 在数列 an 中 a1 0 an 1 2an 2 则猜想an A 2n 2 B 2n 2 1 2 C 2n 1 1 D 2n 1 4 9 若三角形内切圆半径为r 三边长分别为a b c 则三角形的面积为 S r a b c 根据类比思想 若四面体内切球半径为R 四个面的面积分别为 1 2 S1 S2 S3 S4 则这个四面体的体积为 A V R S1 S2 S3 S4 1 6 B V R S1 S2 S3 S4 1 4 C V R S1 S2 S3 S4 1 3 D V R S1 S2 S3 S4 1 2 10 2011 山东高考 理 12 设A1 A2 A3 A4是平面直角坐标系中两两不同的四点 若 R R R R 且 2 则称A3 A4调和分割 13 A A 12 A A 14 A A 12 A A 1 1 A1 A2 已知平面上的点C D调和分割点A B 则下面说法正确的是 A C可能是线段AB的中点 B D可能是线段AB的中点 C C D可能同时在线段AB上 D C D不可能同时在线段AB的延长线上 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 i 是虚数单位 4 1 i 1 i 12 定义某种运算 S a b的运算原理如图所示 则 0 1 设 f x 0 x x 2 x 则f 1 3 13 将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有 1 12 2 6 3 4 三种 其中 3 4 是这三 种分解中 两数差的绝对值最小的 我们称 3 4 为 12 的最佳分解 当p q p q且 p q N N 是正整数n的最佳分解时 我们规定函数f n 例如f 12 关于函数f n p q 3 4 有下列叙述 f 7 f 24 1 7 3 8 f 28 f 144 4 7 9 16 其中正确的序号为 填入所有正确的序号 14 对于命题 若O是线段AB上一点 则有 0 0 OB OA OA OB 将它类比到平面的情形是 若O是 ABC内一点 则有S OBC S OCA S OBA 0 0 OA OB OC 将它类比到空间的情形应该是 若O是四面体ABCD内一点 则有 15 在计算 n N N 时 某同学学到了如下一种方法 1 1 2 1 2 3 1 n n 1 先改写第k项 1 k k 1 1 k 1 k 1 由此得 1 1 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 1 3 1 n n 1 1 n 1 n 1 将上述各式相加 得 1 1 1 2 1 2 3 1 n n 1 1 n 1 类比上述方法 请计算 n N N 其 1 1 2 3 1 2 3 4 1 n n 1 n 2 结果为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 16 12 分 已知集合A 1 2 a2 3a 1 a2 5a 6 i 其中 i 是虚数单位 集 合B 1 3 A B 3 求实数a的值 17 12 分 已知函数f x Error 写出求该函数的函数值的算法 并画出程序框图 18 12 分 已知 k k Z Z 且 2 sin cos 2sin sin cos sin2 求证 1 tan2 1 tan2 1 tan2 2 1 tan2 19 12 分 已知函数f x kx b的图象与x y轴分别相交于点 4 A B 2i i 2j j i i j j分别是与x y轴正半轴同方向的单位向量 函数g x AB x2 x 6 1 求k b的值 2 当x满足f x g x 时 求函数的最小值 g x 1 f x 20 13 分 已知a b c是互不相等的实数 且都不为零 求证 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a和y cx2 2ax b确定的三条抛物线至少 有一条与x轴有两个不同的交点 21 14 分 如图 梯形ABCD和正 PAB所在平面互相垂直 其中 AB DC AD CD AB 且O为AB中点 1 2 1 求证 BC 平面POD 2 求证 AC PD 5 参考答案参考答案 一 选择题 1 A 解析 解析 i 为纯虚数 1 ai 2 i 1 ai 2 i 2 i 2 i 2 a 2a 1 i 5 2 a 5 2a 1 5 0 a 2 2 a 5 2 C 解析 解析 n 1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 3 4 3 A 解析 解析 表格中的图形都是矩形 圆 正三角形的不同排列 规律是每一行中只有 一个图形是空心的 其他两个都是填充颜色的 第三行中已经有正三角形是空心的了 因此 另外一个应该是阴影矩形 4 A 解析 解析 读程序知 该程序的功能是求S 1 2 3 100 的值 由等差数列的 求和公式S 5 050 100 1 100 2 5 B 解析 解析 从S1 S2 S3猜想出数列的前n项和Sn的表达式 是从特殊到一般的推理 所以 B 是归纳推理 6 A 解析 解析 由已知得z 1 i 1 2i 1 i 0 z 1 2i i 2 i 1 2i 1 i 1 i 2 i 即 对应的点 2 1 在第一象限 zz 7 C 解析 解析 依次运行程序可得当S 2 时 i 3 S 10 时 i 5 S 170 时 i 9 故判断框内可填入i 9 8 B 解析 解析 a1 0 21 2 a2 2a1 2 2 22 2 a3 2a2 2 4 2 6 23 2 a4 2a3 2 12 2 14 24 2 猜想an 2n 2 9 C 解析 解析 平面几何中结论的推导是面积分割 类比到空间几何中 应用体积分割的 方法即可得到答案 10 D 解析 解析 C D调和分割点A B 且 2 AC AB AD AB 1 1 不妨设A 0 0 B 1 0 则C 0 D 0 对 A 若C为AB的中点 则 即 将其代入 式 得 0 这是无AC 1 2AB 1 2 1 意义的 故 A 错误 对 B 若D为AB的中点 则 同理得 0 故 B 错误 1 2 1 对 C 要使C D同时在线段AB上 则 0 1 且 0 1 1 1 1 1 2 这与 2 矛盾 故 C 错误 显然 D 正确 1 1 1 1 二 填空题 11 1 解析 解析 i4 1 4 1 i 1 i 4 2 1 i 1 i 1 i 12 1 1 解析 解析 根据框图可知 0 1 1 1 f x 0 x x 2x f 1 01 21 0 1 1 6 13 解析 解析 因为 7 1 7 所以f 7 正确 24 3 8 4 6 2 12 最 1 7 佳分解应该是 4 6 所以f 24 所以 错误 同理 正确 对于 4 6 2 3 144 12 12 所以f 144 1 12 12 14 VO BCD VO ACD VO ABD VO ABC 0 解析 解析 由线段到平面 线段的OA OB OC OD 长类比为面积 由平面到空间 面积可以类比为体积 由此可以类比得一命题为O是四面体 ABCD内一点 则有VO BCD VO ACD VO ABD VO ABC 0 OA OB OC OD 15 n2 3n 4 n 1 n 2 解析 解析 1 n n 1 n 2 1 2 1 n n 1 1 n 1 n 2 1 1 2 3 1 2 3 4 1 n n 1 n 2 Error 1 2 Error 1 2 1 1 2 1 n 1 n 2 n2 3n 4 n 1 n 2 三 解答题 16 解 解 A B 3 3 A a2 3a 1 a2 5a 6 i 3 根据复数相等 得Error 解得a 1 17 解 解 算法如下 第一步 输入x 第二步 如果x 0 那么f x 3x 1 否则f x 2 5x 第三步 输出函数值f x 程序框图如下 18 证明 因为 sin cos 2 2sin cos 1 所以将 代入 可得 4sin2 2sin2 1 另一方面 要证 1 tan2 1 tan2 1 tan2 2 1 tan2 7 即证 1 sin2 cos2 1 sin2 cos2 1 sin2 cos2 2 1 sin2 cos2 即证 cos2 sin2 cos2 sin2 1 2 即证 1 2sin2 1 2sin2 1 2 即证 4sin2 2sin2 1 由于上式与 相同 于是问题得证 19 解 解 1 由已知得k 0 A B 0 b b k 0 则 b 于是Error AB b k Error 2 由f x g x 得x 2 x2 x 6 即 x 2 x 4 0 得 2 x 4 x 2 5 g x 1 f x x2 x 5 x 2 1 x 2 由于x 2 0 则 3 其中等号当且仅当x 2 1 g x 1 f x 即x 1 时成立 的最小值是 3 g x 1 f x 20 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点 即任何 一条抛物线与x轴没有两个不同的交点 由 y ax2 2bx c y bx2 2cx a y cx2 2ax b 得 1 2b 2 4ac 0 2 2c 2 4ab 0 3 2a 2 4bc 0 上述三个同向不等式相加得 4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b c 这与题设a b c互不相等矛盾 因此假设不成立 从而命题得证 21 证明 1 因为O为AB中点 所以BO AB 1 2 又AB CD CD AB 1 2 所以有CD BO CD B