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广西教育学院数学史论文 论文题目：黄金分割引出的数学问题 系 级： 数学与计算机科学系 专 业： 数学教育 年级班别： 10级F数（2）班 学 号： 学生姓名： 李 大 鹏 指导教师： 王 品（副教授） 黄金分割引出的数学问题【摘要】黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，即长段为全段的0。618。黄金分割作为自然界普遍存在的客观规律，是自然界现象之间必然的、实质性的、不断重复着的关系，体现了客观世界统一性与多样性的辩证关系，它在科学研究中被广泛运用。黄金分割广泛存在于我们的生活中。黄金分割的出现，引出了一系列的数学问题，本文通过对黄金分割引出的一些问题进行简析，去揭示那些神秘现象，体现人与自然的和谐美。【关键词】 黄金分割 黄金分割点 黄金矩阵 斐波那契数列一、黄金分割发展概况黄金分割的起源要追溯到公元前六世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯。相传毕达哥拉斯有一次从一家铁匠铺路过时，发现铺子中发出的叮叮当当的打铁声似乎隐匿着什么秘密，于是他走进铺子，测量了一下铁锤和铁砧的尺寸，惊奇地发现它们之间存在着一种很和谐的关系。回到家后，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分成两段，在铁锤和铁砧尺寸比例的启发下，他最后确定把一根线按1:0。618的比例截断最优美。而且，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起比例理论，根据欧德莫斯在几何学史中的记载，他在研究这一问题时应用了分析法。黄金分割的系统论述，最早见于欧几里得几何原本。中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。到19世纪，黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0。618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代由华罗庚提倡在中国推广。二、现实生活中的黄金分割1、人体美学中的黄金分割人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响，牵涉到形体与精神、局部与整体的辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才能称得上一种完整的美。人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美。于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！近年来，在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。 黄金点：(1)肚脐：头顶足底之分割点；(2)咽喉：头顶肚脐之分割点；(3)、(4)膝关节：肚脐足底之分割点；(5)、(6)肘关节：肩关节中指尖之分割点；(7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上之分割点；(9)眉间点：发际颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(10)鼻下点：发际颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(11)唇珠点：鼻底颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(12)颏唇沟正路点：鼻底颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(13)左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；(14) 右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。 面部黄金分割律 面部三庭五眼 黄金矩形：(1)躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；(2)面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；(3)鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；(4)唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；(5)、(6)手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。2、艺术与建筑上的黄金分割金字塔的几何形状有五个面,八个边,总数为十三个层面。由任何一边看入去,都可以看到三个层面。金字塔的长度为5813寸(5-8-13)。无论是古希腊帕特农神庙,还是中国古代的兵马俑,它们的垂直线与水平线之间竟然完全符合1比0.618的比例。法国巴黎圣母院的正面高度和宽度的比例是8：5,它的每一扇窗户长宽比例也是如此。 黄浦江东岸的 东方明珠广播电视塔,塔身高达468米。纽约联合国大楼在建筑设计中所运用的黄金分割率。五角星中线段的比率都符合黄金分割率,这使得它成为了黄金分割的首要代表。正是因为这个原因,五角星总是被作为美丽与完美的象征,并与女神和神圣的女性联系在一起。生活中建筑物、门窗、画框、十字架、扑克牌和书籍等,他们长和宽的比例都十分接近于“黄金分割率”。报幕员在舞台上的最佳位置是舞台宽度的0.618之处。高清晰度电视的屏幕设计成16：9。西方画家非常注意把和谐的比例关系融入自己的绘画中,达芬奇曾挖掘出人的尸体来测量人体骨骼结构的确切比例,他是宣称人体的结构比例完全符合黄金分割率的第一人。艺术家在设计创作其作品时都有意识地、严格地遵循了黄金分割比率。3、自然现象中黄金分割太阳系本身就是一条斐波那契螺线,形成以太阳为中心的涡旋。事实上,列昂纳多曾有论述：“与车轮不同的是,涡旋越趋中心速度越快。”比如说,水星年(水星绕行太阳一周)等于地球年的88天,而冥王星的1年是地球年的248倍。翠茜特威曼和鲍伊德赖斯在上帝之舟中列举的事实更进一步：太阳与水星的距离,加上水星与金星距离,正等于金星和地球的距离。太阳系中月球是距地球最近的星球,月球的平均密度(3.4g/cm)与地球的平均密度(5.5g/cm)之比恰为0.618：1。北纬23.5度是一个奇特的地带,在这条太阳回归线上有不少自然奇观与人文奇迹。用传统的观点来讲,回归线地带是一条好风水带。现在我们来看看此地带的若干“风水现象”：在北回归线周围,有世界最高的青藏高原,有最大的撒哈拉沙漠,有美国的东部大平原,有世界上最深的海沟马里亚纳海沟,有号称世界屋脊的山峰珠穆朗马峰,有中国有最长的大江长江。此外还有不少著名的自然风景区,如张家界、西双版纳、桂林、云南石林等。著名的能量异常区百慕大三角区就经过北回归线。有世界上最大的金字塔群。翻翻世界名人录,会发现有不少伟人出生在这个地带上。且此地带是最繁茂的生物圈。地球地轴的倾斜,当然有其深刻的宇宙意义。倾斜的地轴造成的太阳回归线,如用黄金分割律来分析,我们就会发现,它恰好位于地球地轴的黄金分割点上。有人把中东地区看成地球的“肚脐”,因为它不仅正好位于大约东经30 北纬30度的地方,而且有最大的石油库,并且是世界两大宗教的圣地,又是历史上非常多事的地方。三、黄金分割引出的数学问题1、无限不循环小数a:b=(a+b):a ，通常用希腊字母表示这个值。 黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。例如：1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618是一样的， 确切值为（5-1）/2(x2+x-1=0的一个根。2、黄金分割三角形正五边形内的黄金分割三角形正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。 黄金分割三角形有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2sin18（即2*sin(/10)）。将一个正五边形的所有对角线连接起来，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。3、黄金矩阵若矩阵的宽与长的比等于（5-1）/20.618，那么这个矩形称为黄金矩形（又称根号矩形）。 4、黄金分割点黄金分割点是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。线段上有两个这样的点。 利用线段上的两个黄金分割点，可以作出正五角星，正五边形等。 5、黄金分割线由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并类似地给出“黄金分割线”的定义：直线 L将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1:S=S2:S1，那么称直线L为该图形的黄金分割线。 6、无穷连分数与无穷套根式有限段的黄金比1/X=X/（1-X），有X2=1-X，X（1+X)=1，得X=1/（1+X）。 对等式右边分母中的X又以1/（1+X）代替，可得X=1/（1+1/（1+X）；以此类推，可得无穷连分数：X=1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+.。 对等式进行类似的代替，可得：X=（1+（1+（1+（1+.。这样一个简洁的无穷连分式穷套根式给人以有序而无穷的印象，使人具有言而不喻的美感，黄金数与无穷连分数、无穷套根式之间竟有如此迷人的联系，怎不叫人惊叹?7、黄金分割与斐波那契数列让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144.这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n)/f(n+1）-0.618。由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。比如：1/1=1，2/3=0.66，3/5=0.6，5/8=0.625，8/13=0.615 13/21=0.619，21/34=0.617，34/35=0.618， 8、尺规作图实现黄金分割（1）设已知线段为AB，过点B作BCAB，且BC=AB/2； （2）连结AC； （3） 以C为圆心，CB为半径作弧，交AC于D； （4）以A为圆心，AD为半径作弧，交AB于P，则点P就是AB的黄金分割点。 事实上，在一个黄金矩形中，以一个顶点为圆心，矩形的较短边为半径作一个四分之一圆，交较长边于一点，过这个点，作一条直线垂直于较长边，这时，生成的新矩形仍然是一个黄金矩形，这个操作可以无限重复，产生无数个黄金矩阵。四、结束语数学是中一门蕴含丰富美学价值的学科，其中黄金分割尤其