《信号与系统》-ss2_1_2nd

第2章 连续时间系统的时域分析,系统的时域分析方法 微分方程的求解 零输入响应和零状态响应 单位冲激响应与阶跃响应 卷积 卷积的性质,2.1 引言,系统分析的目的,(1)已知激励、系统特性，求响应响应的予估； (2)已知激励、响应，求系统特性系统辩识；(3)已知系统特性、响应，求激励激励的识别。,系统,激励,响应,系统的时域分析方法,直接求解系统的微分方程，涉及函数变量都是t,经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与 (t)有关的问题有待进一步解决；,卷积法:任意激励下的零状态响应 可通过冲激响应来求解。,2.2 LTI系统微分方程的求解,微分方程的求解,an=1，ak、bk均为实常数。,已知激励e(t)，初始条件r(n)(0)，求响应r(t),对于连续LTI系统，可以用常系数线性微分方程描述,全响应 = 自由响应 + 强迫响应,求解系统微分方程的经典法,待定系数,由初始条件确定,n阶微分方程对应的齐次方程,由其特征方程,求出特征根 1、 2、 n，,重根,互异根,则齐次方程的解答形式为(其中ci为待定系数),系统的完全解,齐次解与系统有关，与激励无关。特解的形式与激励有关。,自由分量,强迫分量,几种典型激励函数相应的特解,激励函数e(t),响应函数r(t)的特解,由r(0)=1, r (0)=0,求出 c1= -1；c2=1,求待定系数 c1、c2，,所以,查表求特解,代入方程，比较系数,齐次解,特征根,例2-1,2.3 起始点的跳变 从0-到0+状态的转换,微分方程 + 初始条件 方程的唯一解。,系统分析中，要根据激励接入瞬时的系统状态决定初始条件,它包含了激励作用前系统的全部过去信息。,以0-、 0+来表示激励接入前后的瞬时；,分析系统时，常给出 r(k)(0-)，(称为起始状态)；,方程求解时，需要知道 r(k)(0+)，(称为初始状态),当r(k)(0-) r(k)(0+)时，系统的起始值发生了跳变。,一、微分方程的初始条件,初始条件,二、用物理概念确定系统从0-到0+状态变化,电容上施加冲激电流或阶跃电压, uC发生跳变,电感上施加冲激电压或阶跃电流，iL发生跳变,1电容电压的突变,如果iC(t)为有限值，,此时vC(0+)= vC(0-),如果iC(t)为(t),当有冲激电流作用于电容时， vC(0+) vC(0-),当阶跃电压作用于电容时， vC(0-)=0，vC(0+)=E,显然vC(0+) vC(0-)，此时,2电感电流的突变,如果为有限值，,冲激电压或阶跃电流作用于电感时：,三、冲激函数匹配法确定初始条件,当系统用微分方程表示时，系统状态0-到0+有无跳变，取决于方程右端是否包含(t)及各阶函数。,当t=0时，微分方程左右两端的(t)及其各阶导数的系数应该平衡相等.,引入0-到0+的单位跳变函数 u(t),在0点附近,应用拉氏变换法可以自动地把0-到0+初始状态的跳变包含进去。,u(t) 表示0- 到0+ 的相对跳变函数,分析：,右端含3(t)dr(t)/dt 中必含 3 (t) r(t)中包含 3(t）右端不含3(t)dr(t)/dt中必含-6(t)以平衡 3r(t)中的6(t）dr(t)/dt 中的-6(t） 在r(t)中t=0时刻有-6u(t),设,则,代入方程,得出,所以得,即,即,数学描述,或,例2-3,(1) 将e(t)代入微分方程，t0 得,用冲激函数匹配法求,输入e(t) 如图，已知,描述 LTI 系统的微分方程为,解,方程右端的冲激函数项最高阶次是 (t)，因而有,(2),代入方程,求得,因而有,欲求解的0+状态为,2.4 零输入响应和零状态响应,r (t) =rzi(t) + rzs(t) =零输入响应+ 零状态响应,rzs(t) 是系统无初始储能，仅由 e(t) 作用的结果。,1.按响应形式的不同,2.按响应过程的不同,r(t)=rt(t)+rs(t)=暂态响应+稳态响应,(transient),(steady state),3.按响应产生原因的不同,rzi(t) 是e(t)=0，仅由系统初始储能引起的响应。,一、全响应的几种分解形式,自由响应,强迫响应,二、rzi(t) 与rzs(t)的经典法求解,Czi,i 仅与r(i)(0)有关，与e(t)无关。所以， Czi,i 与Ci (自由响应的系数)不同。,零输入响应只是齐次解的一部分，即rzi(t)只是自由响应中初始条件产生的部分。,令e(t)=0，得到齐次方程，求出齐次通解,根据初始条件确定待定常数Czi,i,1. rzi(t) 的经典法求解,令e(t)=0，得到齐次方程，求出齐次通解;根据e(t)的形式求出任一特解；根据零初始条件 确定待定常数Czs, i,2. rzs(t) 的经典法求解,(1) 求rzi(t),(2)求rzs(t),前例(例2-1),解,由初始条件求待定系数,求,举例说明,三、对系统线性的进一步认识,1. 零状态响应，uC(0)=0,2. 零输入响应，e(t)=0,3. 全响应,响应的可分解性,零输入响应与初始状态呈线性,零状态响应与激励呈线性,由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的:,有时只关心零状态响应，可用卷积法求解。,例2-4,已知一LTI系统,在相同初始条件下,当激励为e(t)时，其全响应为 r1(t)=2e-3t+sin2tu(t)；,当激励为2e(t)时，其全响应为r2(t)=e-3t+2sin2tu(t)；,t0