高二上学期期末考试数学(理)试题

1 2018 20192018 2019 学年上学期期末考试学年上学期期末考试 高二数学试题 理 高二数学试题 理 本试卷分第本试卷分第 卷 选择题 和第卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共卷 非选择题 两部分 共 150 分 考试时间分 考试时间 120 分钟分钟 第第 卷 选择题 卷 选择题 1 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 60 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 已知集合 A x 2x2 5x 3 0 B x Z x 2 则 A B 中的元素个数为 A 2B 3C 4D 5 2 设复数 z 1 i i 是虚数单位 则 2 A 1 3iB 1 iC 1 iD 1 i 3 命题 x0 0 cosx0 sinx0 的否定是 A x0 0 cosx0 sinx0B x 0 cosx sinx C x 0 cosx sinx D x0 0 cosx0 sinx0 4 设各项均为正数的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 a4a8 32 则 S11的最小值为 A B C 22D 44222244 5 已知向量 满足 2 且 1 2 则 与 的夹角为 A B C D 6 如图为教育部门对辖区内某学校的 50 名儿童的体重 kg 作为样本进行分析而得到的 频率分布直方图 则这 50 名儿童的体重的平均数为 A 27 5 B 26 5 C 25 6 D 25 7 7 已知 sin 则 cos 2 A B C D 2 8 某高校的 8 名属 老乡 关系的同学准备拼车回家 其中大一 大二 大三 大四每个年 级各两名 分乘甲 乙两辆汽车 每车限坐 4 名同学 乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置 其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车 则乘坐甲车的 4 名同学恰有 2 名来自于同一年级的乘 坐方式共有 A 18 种B 24 种C 36 种D 48 种 9 如图 B D 是以 AC 为直径的圆上的两点 其中 则 A 1B 2C tD 2t 10 已知实数 x y 满足条件 x 1 y 1 2 则 2x y 的最大值为 A 3B 5C 7D 9 11 设函数在上可导 则与的大小关系是 f xR 2 23 f xx fx 1f 1f A B C D 不确定 1 1ff ff 11 1 1ff 12 抛物线 y2 2px p 0 的焦点为 F 已知点 A B 为抛物线上的两个动点 且满足 AFB 120 过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN 垂足为 N 则的最大值 为 A B 1C D 2 第第 卷 非选择题 卷 非选择题 二 填空题 共二 填空题 共 4 题每题题每题 5 分满分分满分 20 分 分 13 若 a x 1 x 4的展开式中 x 的奇数次幂的系数和为 32 则展开式中 x3的系数为 14 已知正四面体 ABCD 的棱长为 l E 是 AB 的中点 过 E 作其外接球的截面 则此截 面面积的最小值为 15 若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数 则实 2 2lnf xxx 1 1 kk 数的取值范围是 k 16 设函数 y 的图象上存在两点 P Q 使得 POQ 是以 O 为直角顶 点的直角三角形 其中 O 为坐标原点 且斜边的中点恰好在 y 轴上 则实数 a 的取值范 围是 3 解答题 解答题应写出必要的文字说明和演算步骤 解答题 解答题应写出必要的文字说明和演算步骤 17 题题 10 分 分 18 22 每题每题 12 分分 3 17 已知 a b c 分别为 ABC 的三个内角 A B C 的对边 a 2 且 2 b sinA sinB c b sinC 1 求角 A 的大小 2 求 ABC 的面积的最大值 18 设函数 数列 an 满足 n N 且 n 2 1 求数列 an 的通项公式 2 对 n N 设 若恒成立 求实数 t 的取值范围 19 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD AD BC AD CD BC 2 AD CD 1 M 是 PB 的中点 求证 AM 平面 PCD 求证 平面 ACM 平面 PAB 若 PC 与平面 ACM 所成角为 30 求 PA 的长 20 已知函数 f x ex xlnx g x ex tx2 x t R 其中 e 是自然对数的底数 求函数 f x 在点 1 f 1 处切线方程 若 g x f x 对任意 x 0 恒成立 求 t 的取值范围 21 过离心率为的椭圆的右焦点 F 1 0 作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A B 设 FA FB T 2 0 4 求椭圆 C 的方程 若 1 2 求 ABT 中 AB 边上中线长的取值范围 22 已知函数 f x ex 3x 3a e 为自然对数的底数 a R 求 f x 的单调区间与极值 求证 当 且 x 0 时 5 理答案 1 12 BABBD CABAC BA 13 18 14 15 16 0 17 解答 解 1 ABC 中 a 2 且 2 b sinA sinB c b sinC 利用正弦定理可得 2 b a b c b c 即 b2 c2 bc 4 即 b2 c2 4 bc cosA A 2 再由 b2 c2 bc 4 利用基本不等式可得 4 2bc bc bc bc 4 当且仅当 b c 2 时 取等号 此时 ABC 为等边三角形 它的面积为bcsinA 2 2 故 ABC 的面积的最大值为 18 解答 解 1 依题意 an an 1 n 2 又 a1 1 数列 an 是首项为 1 公差为的等差数列 故其通项公式 an 1 n 1 2 由 1 可知 an 1 6 恒成立等价于 即 t 恒成立 令 g x x 0 则 g x 0 g x x 0 为增函数 当 n 1 时取最小值 故实数 t 的取值范围是 19 解答 证明 I 取 PC 的中点 N 连接 MN DN M N 是 PB PC 的中点 MNBC 又 ADBC MNAD 四边形 ADNM 是平行四边形 AM DN 又 AM 平面 PCD CD 平面 PCD AM 平面 PCD II PA 平面 ABCD AC 平面 ABCD PA AC AD CD 1 AD CD AD BC AC DCA BCA 45 又 BC 2 AB AC2 AB2 BC2 AC AB 又 PA 平面 PAB AB 平面 PAB PA AB A AC 平面 PAB 又 AC 平面 ACM 平面 ACM 平面 PAB III 取 BC 的中点 E 连接 AE 则 AE AD 以 A 为原点 以 AD AE AP 为坐标轴建立空间直角坐标系 A xyz 则 A 0 0 0 C 1 1 0 设 P 0 0 a 则 M a 0 1 1 0 1 1 a 设平面 ACM 的法向量为 x y z 则 7 令 x 1 得 1 1 cos PC 与平面 ACM 所成角为 30 解得 a PA 20 解答 解 由 f x ex xlnx 得 f x e lnx 1 则 f 1 e 1 而 f 1 e 所求切线方程为 y e e 1 x 1 即 y e 1 x 1 f x ex xlnx g x ex tx2 x t R g x f x 对任意 x 0 恒成立 ex tx2 x ex xlnx 0 对任意 x 0 恒成立 即 t 对任意 x 0 恒成立 令 F x 则 F x 设 G x 8 则 G x 对任意 x 0 恒 成立 G x 在 0 单调递增 且 G 1 0 x 0 1 时 G x 0 x 1 时 G x 0 即 x 0 1 时 F x 0 x 1 时 F x 0 F x 在 0 1 上单调递减 F x 在 1 上单调递增 F x F 1 1 t 1 即 t 的取值范围是 1 21 解答 解 c 1 a2 b2 c2 b 椭圆 C 的方程为 当直线 l 的斜率为 0 时 显然不成立 因此可设直线 l 的方程为 my x 1 设 A x1 y1 B x2 y2 直线 l 的方程与椭圆方程联立可得 m2 2 y2 2my 1 0 由 FA FB 可得 y1 y2 2 1 2 0 9 又 AB 边上的中线长为 0 t f t 2t2 7t 4 2 ABT 中 AB 边上中线长的取值范围是 22 解答 I 解 由 f x ex 3x 3a x R 知 f x ex 3 x R 令 f x 0 得 x ln 3 于是当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x ln 3 ln 3 ln 3 f x 0 f x 3 1 ln 3 a 故 f x 的单调递减区间是 ln 3 单调递增区间是 ln3 f x 在 x ln 3 处取得极小值 极小值为 f ln 3