生活中的数学》校本教材

编者的话编者的话 同学们 生活是数学的发源地 是数学的根 因此 数学都能 在生活中找到其产生的踪迹 数学课程标准 指出 数学是人们 生活 劳动和学习必不可少的工具 既然数学来源于生活 那么我 们的数学教学就不应该只是单纯的知识传授 而应遵循源于生活 寓于生活的理念 让学生体会到数学就在他们身边 感受到数学的 趣味和作用 长期以来 为什么一些学生对数学不感兴趣 甚至对 数学学习产生恐惧心理 其主要原因是 数学离学生的生活太远 故使学生感到数学枯燥 抽象难学 现在的新教材克服了这一弊端 它将数学与生活联系起来 题材丰富多采 呈现形式多样 并引导 学生去探究一些数学问题 这一切正符合学生好奇 好思 喜新的 心理特点 根据新教材的要求 我在教学中竭力让数学贴近我们的 生活 注重满足学生身心发展的需要 祝同学们身心健康 学业有成 20132013 年年 7 7 月月 生活中的数学生活中的数学 校本课程校本课程 主编 魏雨燕 校本课程校本课程 序言序言 一 把握数学的生活性一 把握数学的生活性 使教学有生活味使教学有生活味 数学课程标准 中指出 数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律 并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择和判断 进而解决问题 直接为社会创造价值 这说明数学来源于社会 同时也反作用于社会 社会 生活与数学关系密切 它已经渗透到生活的每个方面 我们的衣食住行都离不 开它 现代数学论认为 数学源于生活 又运用于生活 生活中充满数学 数学教育寓于生活实际 有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学 问题的联系 借助学生熟悉的生活实际中的具体事例 激发学生学习数学的求 知欲 帮助学生更好的理解和掌握数学基础知识 并运用学到的数学知识去解 决实际生活中的数学问题 二 把握数学的美育性二 把握数学的美育性 使教学有韵味使教学有韵味 数学家克莱因认为 数学是人类最高超的智力成就 也是人类心灵最独特 的创作 音乐能激发或抚慰情怀 绘画使人赏心悦目 诗歌能动人心弦 哲学 使人获得智慧 科学可改善物质生活 但数学能给予以上的一切 美作为现 实的事物和现象 物质产品和精神产品 艺术作品等属性总和 具有 匀称性 比例性 和谐性 色彩变幻 鲜明性和新颖性 作为精神产品的数学就具有上 述美的特点 简练 精确是数学的美 数学的基本定理说法简约 却又涵盖真理 让人 阅读简便却又印象深刻 数学语言是如此慎重的 有意的而且经常是精心设计 的 凭借数学语言的严密性和简洁性 我们就可以表达和研究数学思想 这种 简洁性有助于思维的效率 数学很讲究它的逻辑美 数学的应用是被人们广泛认同的 可学习数学还 能训练人的逻辑思维能力 尤其是几何的证明讲究前因后果 每一步都要前后 呼应 抽象的数学也显示它模糊的美 抽象给我们想象的余地 让我们思维海 阔天空 给学生留有了思索和创新的空间 抽象的数学不正展示它的魅力吗 数学上有很多知识是和对称有关的 对称给人协调 平稳的感觉 象圆 正方体等 它们的形式是如此的匀称优美 正是由于几何图形中有这些点对称 线对称 面对称 才构成了美丽的图案 精美的建筑 巧夺天工的生活世界 也才给我们带来丰富的自然美 多彩的生活美 中学数学的美育性 除了上述一些方面 还有其它美妙的地方 只要我们 用心挖掘和捕捉 就会发现数学蕴涵着如此丰富的美的因素 教师要善于挖掘 美的素材 在学生感受美的同时既提高教学质量 又使教学韵味深厚 目录 第一讲 利用平移设计美丽的图案 第二讲 从数据谈节水 第三讲 镶嵌 第四讲 让数学帮你理财 第五讲 导航的双曲线 第六讲 电冰箱温控器的调节 如何使 电冰箱使用时间更长 第七讲 对称 自然美的基础 第八讲 蜂房中的数学 第九讲 龟背上的学问 第十讲 几何就在你的身边 第十一讲 压岁钱 与 赈灾小银行 第十二讲 建议班级购买一台饮水机 第十三讲 巧用数学看现实 第十四讲 数学故事 奇特的墓志铭 第一讲 利用平移设计美丽的图案研究性学习 生活中有许多美丽的图案 他们都有着共同的特点 请同学们欣赏下面的图 案 1 通过观察 操作 弄清图案形成的过程 用信息技术演示动画 或者找一 些生活中学生较熟悉的图案 让学生明白复杂图形形成的过程 然后再让学生 用语言描述 2 让学生自己搜索一些图案 小组相互交流 用语言描述图案行程的过程 3 给学生观看一些美丽的图案 感受美就在我们身边 培养学生的鉴赏能力 4 用圆规直尺设计简单的图案 发展想象力和创造力 展示环节 小组内展出自己的作品 可以是图片 可以是手抄报 可以是电脑制图 5 图片欣赏 1 图案设计 设计精美 要求运用平移思想绘制图案 形式多样 有一定的主题思路来设 计 图文并茂 版面设计美观大方 2 运用数学知识解释 要求能够结合平移原理 解释自己的作品 分析自己的设计思路 语言表述 清楚明白 3 全班展示及表述 能够与小组内同伴讨论交流 积极参与展示和交流 踊跃发表自己的观点 敢于提出自己的疑问 能够形成积极深入交流的状态 作业 课下收集美丽的数学平移图案 第二讲第二讲 从数据谈节水从数据谈节水 目前全球正面临着缺水的严峻挑战 我国是一个严重缺水的国家 通过本目前全球正面临着缺水的严峻挑战 我国是一个严重缺水的国家 通过本 节学习 我们将对世界淡水资源 中国缺水的形势以及我国水资源的利用情况节学习 我们将对世界淡水资源 中国缺水的形势以及我国水资源的利用情况 有所了解 你会感到我们每个家庭和个人都应该有节约用水的意识节约用水 有所了解 你会感到我们每个家庭和个人都应该有节约用水的意识节约用水 从我做起 从我做起 通过阅读背景材料 收集数据绘制图形 回答问题等过程以及讨论节约用水的通过阅读背景材料 收集数据绘制图形 回答问题等过程以及讨论节约用水的 好办法等活动完成课题学习 好办法等活动完成课题学习 资料展示 投影 当前世界淡水资源及我国有关缺水的形势的资料图片 问题 1 看了这些图片 你有哪些感受 2 你了解世界及我国有关水资源的现状吗 活动一 阅读课本 80 页的 背景资料 从中收集数据 画出统计图 并回答下列问题 1 地球上的水资源和淡水资源分布情况怎么样 2 我国农业和工业耗水量情况怎么样 3 我国不同年份城市生活用水的变化趋势怎么样 4 根据国外的经验 一个国家的用水量超过其可利用水资源的 20 就有可 能发生 水危机 依据这个标准 我国 1990 年是否曾出现 水危机 活动二 收集全班同学各家人均月用水量 用频数分布直方图和频数折线图描述这 些数据 并回答下列问题 1 家庭人均月用水量在哪个范围的家庭最多 这个范围的家庭占全班家庭 的百分之几 2 家庭人均月用水量最多和最少的各有多少家庭 各占全班家庭的百分之 几 3 全班同学家庭人均日用水量的平均数是多少 按生活基本日均需水量 BWR 50 升的用水标准 这个平均数是否超过用水标准 4 如果每人每天节约用水 10 升 按 13 亿人口计算 一天可以节约多少吨 水 按 BWR 标准计算 这些水可提供给 1 个人多少年的生活用水 5 你还可以得到哪些信息 教师巡视 指导各小组开展调查实验活动 活动三 资料展示 投影 我国水资源利用情况的有关资料 讨论工农业生产及生 活中节约用水的好办法 学生交流讨论 1 当前水资源状况 2 节约水资源带来的价值 3 节约水资源的办法 作业 整理本节课内容 统计相关数据 查找有关 节约水资源 的课题 报告 并分析课题报告的写法 第三讲第三讲 课题学习课题学习 镶嵌镶嵌 问题 观察下图 你发现了什么 问题 1 上面的图形被称之为镶嵌 根据你所找到的共同点 用自己的语 言说明 什么叫镶嵌 归纳 用一种或几种平面图形进行拼接 彼此之间不留空隙 不重叠地铺 成一片 这就是平面图形的镶嵌 问题 2 尝试利用正三角形 正四边形 正五边形 正六边形进行单一图 形的平面镶嵌 你发现了什么 学生操作并交流 回答 正三角形 正四边形和正六边形可以进行镶嵌 但正五边形不能 问题 3 尝试利用正三角形 正四边形 正五边形 正六边形中的两种图 形进行平面镶嵌 你发现了什么 学生操作交流并回答 并不是任意两种正多边形都可以进行平面镶嵌 在 这四个正多边形中 正三角形与正四边形可以进行平面镶嵌 正三角形与正六 边形可以进行平面镶嵌 正四边形和正六边形也可以进行平面镶嵌 问题 4 任意的一个三角形或任意的一个四边形可以进行平面镶嵌吗 学生操作交流并回答 任意的三角形或任意的四边形都可以进行平面镶 嵌 问题 5 观察上述的实验结果 讨论平面镶嵌的条件 学生讨论回答 教师归纳 多边形平面镶嵌的条件 拼接在同一点的各个角的和恰好等于 360 相邻的多边形有公共边 问题 6 根据归纳的结论 解释一下为什么任意的三角形能够进行平面镶 嵌 而正五边形不能镶嵌成一个平面图案 学生回答 如图 1 2 3 180 把 6 个全等的三角形适当地拼接在同一个点 一定能使这点为顶点的 6 个角 的和恰好等 360 并且使边长相等的两边贴在一起 于是 用三角形能镶嵌 成一个平面图案 而由多边形内角和公式可以得到 五边形内角和等于 540 所以正五边形的每个内角都等于 108 因为 360 不是 108 的整数倍 也就 是说 用一些 108 的角不能拼出 360 的角 所以正五边形不能进行平面镶 嵌 三 巩固训练 熟练技能 练习 1 某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖 用来铺设无缝地 板 他购买的瓷砖形状不可以是 A 正方形 B 矩形 C 正八边形 D 正六边形 学生 选择 C 练习 2 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个 时 就拼成一个平面图形 学生 周角 或 360 角 练习 3 用一种正多边形铺满整个地面的正多边形只有 三种 学生 正三角形 正方形 正六边形 图 1 练习 4 在综合时间活动课上 小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个 正方形坐垫 坐垫的图案如图所示 应该选下图中的哪一块布料才能使其与图 1 拼接符合原来的图案模式 A B C D 学生 选择 C 练习 5 试着用两种不同的正多边形设计一个密铺的方案 并将你的方案 画出来 学生 正三角形和正方形 正三角形和正六边形等 如图 教学说明 练习要让学生独立完成 对于练习 5 应让学生进行讨论 在讨论的基础上尽可能多地找出两种不同的正多边形进行平面镶嵌 四 反思总结 情意发展 设计说明 围绕三个问题 师生以谈话交流的形式 共同总结本节课的 学习收获 问题 1 本节课你学习了什么 问题 2 本节课你有哪些收获 问题 3 通过今天的学习 你想进一步探究的问题是什么 2 注意的问题 平面镶嵌是用一种或几种平面图形进行拼接 要求图形与图形之间 不留空隙 不重叠地铺成一片 平面镶嵌的条件是 拼接在同一点的各个角的和恰好等于 360 相邻的多边形有公共边 六 布置作业 1 请你用正三角形 正方形 正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面 的美丽图案 第四讲 让数学帮你理财第四讲 让数学帮你理财 某银行为鼓励小朋友养成储蓄习惯 提供一个颇有心思的储蓄计划 参加 者除可有较高年息优惠外 见附表 更可以特价换取手表一只 先不论以低 价换表是否真的超值 但这种宣传方法颇具心思 手表与户口连在一起 正好 意味着利息随时间递增的关系 储蓄计划优惠年息一览表储蓄计划优惠年息一览表 每月存款 人民币 1 000 存期 月 每年复息利 率 到期存款 人 民币 利息 人民 币 到期本息金额 人民币 9 12 15 18 24 6 625 7 125 7 375 7 75 8 00 9 000 12 000 15 000 18 000 24 000 252 473 759 1 146 2 106 9 252 12 473 15 759 19 146 26 106 银行的宣传小册子更注明十一岁至十七岁小朋友已可开个人户口 这群 准客户 大致是接受中学教育的适龄儿童 无论有兴趣参加与否 总希望他 们或早或迟懂得储蓄计划背后的数学原理 这个储蓄计划是以每月存入定额存款来计算利息 而存款期限愈长 利率 则愈高 为了更有效理解表中 到期本息金额 如何计算出来 且让我们设 为每月存款的金额 而则为月息利率 月息利率是由 每年复息利率 除 以 12 而来的 譬如说 存款期限为 9 个月 从表中得知每年复息利率是 6 625 因此月息利率为 6 625 12 即约是 0 5521 存款 1 个月后 到期本息金额 存款 2 个月后 到期本息金额 存款 3 个月后 到期本息金额 余此类推 存款个月后 到期本息金额应为 为了简化这数式 设 因此 括号内的数式在数学上称为等比级数 geometric progression 首项 first term 是 公比 common ratio 亦是 利用公式 我 们便可把的数式写成 现在就让我们运用这公式找出表中第一行的 到期本息金额 代入数式 准确至最接近的整数 表中其余的 到期本息金额 不如留给你算算 看看表中列的数字是否有 错误吧 第五讲 导航的双曲线 导航的双曲线 我们小时侯都曾梦想 长大以后要当上船长就好了 在茫茫的大海上 惊涛骇浪 你能顺利地指挥着船队驶向前方吗 好 让我们的双曲线来帮助 你吧 它是大海的导航员 先来看一看原理 假如你站在广场上 广场的东西两侧各装有一只喇叭 并且放着欢快的音乐 北京的京山上光芒照四方 毛主席就是那金色的太阳 多么温暖 我站在广场上 听见第一只喇叭把 金色的太阳 传到耳朵后的半秒钟 又听到了第二声 金色的太阳 由于两个喇叭离耳朵的远近不同 所以产 生了听觉上的时间差 再换一个地方 是否还有这样歌声相差半秒的情形呢 实际上 只要人站的位置与两只喇叭的距离差与第一次一样就可以了 因此 可以找到很多这样的点 这些点就构成了双曲线的一支 轮船航行在海上时 它就处于人的位置 岸上有两个无线电发射台 用电 波代替了喇叭里传出的音乐 轮船行驶在某一位置时 就可以从接收的电波的 相位差 测出轮船与电台的距离差 由此确定了一条以两个电台为焦点的双曲 线 若再和另一对电台联系 可以确定出另一条双曲线 两条双曲线有一个交 点 船就处于这一点上 这一切都是在一瞬间完成的 因为有很多现代化的工 具来帮助我们 你明白了吗 船长们就是这样来导航的 作业 上网收集航海中的数学问题 写一篇报告 第六讲 电冰箱温控器的调节第六讲 电冰箱温控器的调节 如何使电冰箱使用时间更长如何使电冰箱使用时间更长 中国自从 1978 年改革开放之后 人民生活水平日益提高 许多家庭都购买 了电冰箱等家用电器 但是有许多家庭并不了解电冰箱的工作原理 更不了解 电冰箱温控器的工作原理及其调节方法 人民生活水平固然提高了许多 但是 现在也并不是都十分富裕 不正确的使用电冰箱势必会缩短其使用寿命 带来 了不必要的麻烦 同时也浪费了自然资源和财力 有一次 我们家中的一台电冰箱工作了很长时间 却一直不停机 我们吓 了一跳 以为电冰箱坏了 我们给维修单位打电话咨询 但是上上下下仔细查 看了整个电冰箱后 才发现只是温控器调节的不正确 这使我们认识到了冰箱 温控器对于电冰箱的重要性 因此 我们来研究一下电冰箱温控器的正确使用 方法 即如何使电冰箱的使用寿命更长 问题 如何正确调节电冰箱温控器 使电冰箱使用寿命更长 电冰箱制冷是靠中温低压的液态制冷剂进入蒸发器吸收热量汽化为低温低 压的气态制冷剂 达到蒸发器周围降温使冰箱内部冷却的目的 压缩机 冷凝 器 干燥过滤器 毛细管则是帮助并保证在蒸发器中已使用过的制冷剂回复到 中温低压的液体 能再一次送回蒸发器吸热汽化 实现单向连续循环制冷 蒸 发器是电冰箱中唯一制冷的器件 压缩机把蒸发器出来的低温低压的汽态制冷 剂经回气管由压缩机吸入气缸 被压缩为高温高压的气态进入冷凝器 把蒸发 器中吸收的热量和压缩机在压缩做功时转换的热量 利用制冷剂与周围介质之 间有较大的温差 通过冷凝器全部散发到空气中 制冷剂在冷凝器中因放热而 被液化 这高压中温液态制冷剂经干燥过滤器吸收其中的水分 滤除其中的杂 质 进入毛细管节流降压 使高压液态制冷剂降为低压而能回到蒸发器重复使 用 电冰箱就是这样由各种制冷剂作工质 在封闭系统中作单向连续循环 把 冰箱内热量不断的转移到箱外而达到制冷目的 电冰箱压缩机是开开停停间歇工作的 电冰箱达到箱内的设定温度是通过 温度控制器控制压缩机的开 停机来完成的 压缩机运转时间长 即制冷时间 长 则箱内温低 反之箱温就高 温度控制器二个触点串联在压缩机电路中 当箱内温度低到某一设定温度时则温控器触点跳开 压缩机停转 暂停制冷 随后箱内温度逐渐提高 在箱内温度高到另一设定温度时则温控器触点闭合 压缩机又运转制冷 如此循环 使箱内温度保持在一定范围内 电冰箱温控器中的感温包感受蒸发器的温度 当温度升高或降低时 感温 元件中感温剂膨胀或收缩 使非刚性元件感温腔 波纹管或膜盒 推进或退缩 从而改变感温元件与弹簧片之间的作用力通过温控器中机械传力放大 使感温 腔微小形变产生的微小位移放大 控制电触点 使其闭合或断开电路 温控器 指向的数字 并不表示确切的温度 而是表示控制温度高低的程度趋向 数字 小表示控制在较高温度 数字大则表示控制在较低温度 我们认为 压缩机的使用寿命在很大程度上决定了电冰箱的使用寿命 而 影响压缩机工作时间的因素主要有 外界温度 温控器档位 冷冻室食品量 开关冰箱门习惯 当电冰箱工作稳定后 冷冻室食品量对其影响十分微小 但 不可以忽略不计 无论是在寒冷的冬季 还是在炎热的夏季 冰箱中的食品都 是在不断的吸热和放热 当冰箱内冷汽散失时 食品吸热 当电冰箱制冷吸热 时 食品放热 这在夏季时最为明显 当电冰箱停机时 冰箱内食品越多其停 机时间越长 因为如果假设食品的平均比热容不变 那么根据物理学关于热能 的公式 Q M C T 可知食品量与停机时间成反比 其中 Q 为食品热量变化 C 为食品平均比热 T 食品温度变化量 因此 冰箱内食品量的多少也是十 分重要的 实际上 外界温度随季节变化而变化 温控器档位靠人工调节 冰 箱内的食品量和如何开关门对于一个家庭来讲变化不会很大 因为已经形成了 习惯 但是 使用时如果压缩机长时间连续工作 压缩机温度就会升高 就会 造成热冲击 过多的热冲击会缩短压缩机的使用寿命 因此 我们只要调节温 控器档位 使电冰箱冷冻室温度不低于某一温度 而且压缩机在非长时间连续 工作的条件下 不超过一个小时 工作时间与工作 停机的时间和的比值最 小 如工作 10 分钟 停机 10 分钟 则比值为 0 5 即压缩机的使用寿命更长 就可以使电冰箱的使用寿命更长 同时 电冰箱的耗电量也降低了 这样 一 台电冰箱在使用过程中既省电 又可以延长使用寿命 当然十分经济 通过电 冰箱生产厂家的电话咨询 专业技术人员肯定了我们的上述看法 于是我们就 此进行了一些实验 并通过电话咨询得到了一些准确的数据 在北京等中国北方城市 冬季的供暖由市区县的各供暖单位负责保证 政府 规定 冬季居民室内的温度不得低于 16 摄氏度 北京市的供暖单位现在一般能 够保证这个温度在 18 摄氏度左右 最高温可达 20 摄氏度 最低温绝不低于 16 摄氏度 因此 可以认为我国北方冬季家庭室内温度在 18 摄氏度左右 又因为 我国北方春秋季节家庭室内温度也在 18 摄氏度左右 偏冷的地区依然有暖汽等 供暖 甚至常年不断 所以 可以认为 我国北方春秋冬三季的家庭室内温度 均在 18 摄氏度左右 就一般家庭而言 熟食一般现吃现买 生食一般只放几个 星期 电冰箱冷冻室的食品量一般占冷冻室容积的五分之三左右 且一般变化 不是很大 就是说 一般家庭的食品量对冰箱的影响基本相同 综上所述 我们理想化的实验条件是我国北方春秋冬三季一般家庭的电冰 箱 在研究这个问题时可以把食品量和室内温度作为常数来考虑 由于每次开 冰箱门时都会使冰箱内食品吸热升温 所以不同人的开门习惯和速度会影响到 冰箱的制冷效果 比如说 老人可能手脚不是很利落 而且拿一件东西要想一 下 年轻人可能一只手开门 另一只手就把东西拿出来了 为了简便计算 我 们可以认为 在一个家庭中不考虑老人与青年人的分别 只考虑平均到每个家 庭成员的使用效果 那么各个家庭的情况基本相同 结果是 我们在计算过程 中可以忽略这一因素的影响 我们想利用家用电冰箱来进行一次实验 于是我 们选用了长岭阿里斯顿 BCD 208 型电冰箱 在保持室温为 18 摄氏度且食 品量始终占冷冻室有效容积五分之三不变的情况下 测定了一些数据 这种电 冰箱属于中等档次的家用电器 制冷效果属于一般水平 目前许多家庭使用的 电冰箱的制冷效果和保温能力都与其相差无几 这些满足了本论文前面交代的 实验条件 可以作为该条件下的一个例子 来解决这个问题 于是我们开始了 实验 实验进行了一个多星期 每组数据 既一个档位 间间隔二个小时 让 电冰箱进行调节 以保证数据的准确性 这台冰箱的温控器旋钮有六个档位 分别是从零到五 第零档为停机档 既电冰箱压缩机停止工作 不会启动 第五档为速冻档 即压缩机一直启动 不会停机 因此 我们不能选第零档 因为冰箱不会制冷 不能选第五档 因 为冰箱持续工作 即浪费电能 又会造成热冲击 还有可能冻坏食品 我们设 工作时间与工作 停机的时间和的比值为 y 设电冰箱温控器档位为 x 则自 变量 x 的取值范围为 0 5 在平面直角坐标系中描点作图 为了便于计算 且不影响结果的正确 我们在计算时把原 值扩大了 100 倍 这样可以方便计 算 也能方便作图 观察散点的分布 我们认为这些点极有可能是在一条抛物 线上 因此设 y 关于 x 的函数为 我们在后面附有实验 数据列表和用绘图工具 几何画板 作出的函数图象 其中 表格包含五组数 据 在测定时每组数据之间至少间隔两个小时 因为电冰箱需要约一个小时来 调整 函数图象有一个大致的轮廓 图中的空心圆点表示描点 实心圆点表示 当 x 为 4 5 时函数图象上的点 我们分别以三组数据为一组 把五组数据分成了十组 设五组数据对应函 数图象上的点从左至右依次为 A B C D E 则将五组数据分组为 ABC ABD ABE ACD BDE CDE 每组可分别解出一个函数 但都有一定误 差 其中 凡是包含数据组 E 的组误差都十分大 且不太正常 我们认为是由 于压缩机升温且冷凝器温度升高散热变慢 导致电冰箱工作异常 这种可能性 十分大 属于正常现象 通过电话咨询 冰箱厂家的技术人员肯定了我们的想 法 并告诉我们 目前一些高级的冷凝管可以大大提高散热效率 但造价颇高 且调节温控器就可解决问题 没必要多花钱去生产 于是把数据组 E 舍去 只 计算前四组 又可以分为四组 ABC ABD ACD BCD 以这四组数据分别解出 一个函数 这四组函数中也存在误差 但是应该保留数据组 A 存在误差的那一 分组 因为 温控器调得过低后也会造成冰箱本身的问题 由于档位越低 要 求达到的温度越高 不一定始终在设定温度以下 所以要工作的时间就比较 短 但停机时间缩短得更多 就是说 冰箱内的食品在较长时间内放出了热量 在较短的时间内又吸入了大致相同的热量 冰箱在这时需要适度调低要求达到 的温度 这就是为什么要注意温控器的调节 就是说 由 BCD 解得的函数对于 点 A D 的误差属于合理误差 最后 只有 BCD 这一组的不合理误差最小 此时 A 点误差为 0 36 最后解得的函数即为所求的函数 y f x 由数据组 BCD 解函数 当 x 2 574 时 函数有最小值 y 35 846 所以 温控器旋钮应指在 2 574 的位置 可是由于实验中不可能消除误差 所以应指在 2 3 之间的一个位置 室温 稍低时就调低一点儿 反之就高一点儿 一般家庭不用经常调 温度差 2 到 3 度不会有大影响 但是不同的电冰箱性能不同 具体的食品量在变化 外界温 度也会上下浮动 每个人每一次开门造成的影响都不相同 不同品牌电冰箱温 控器控制面板也不相同 所以忽略绝大多数家庭相同的因素 只须再考虑不同 的电冰箱性能不同 电冰箱温控器控制面板也不相同 尽管不同的电冰箱性能 不同 但是它们的工作原理相同 都是在不断的吸热 放热 就是说 它们在 那个档位基本上都是最佳的 虽然电冰箱温控器控制面板不相同 但是内部旋 转多少角度能调节多少温度 却是同样基本相同的 目前市场上比较多的样式 主要有 0 到 5 1 到 7 和 弱 中 强 由于我们 实验用的电冰箱配备的是第一种样式的温控器 所以对应到其它两种样式分别 是 3 4 档之间和 中 略偏 弱 问题解决了 是在中国北方春秋冬三季 一般家庭家用电冰箱温控器的调 节 目的是如何更经济的使用好电冰箱 答案就是上一段最后的几句话 问题 虽然很小 而且用的就是解方程的方法 但却能培养我们从生活中寻找数学问 题 运用数学知识的好习惯 这对于推行素质教育是一个极佳的方法 它使学 生因为自己的兴趣而学习 知识也就更加牢固 另外 这个问题可以扩展到其 它方面 如下水道的清理问题 你必须知道什么时候清理最合理 时间早了浪 费物资 晚了又极难工作 当然牵扯的量也是相当多的 我们相信 通过我们 不断的学习 我们将解决更多的生活中的问题 第七讲 第七讲 对称对称 自然美的基础自然美的基础 在丰富多彩的物质世界中 对于各式各样的物体的外形 我们经常可以碰 到完美匀称的例子 它们引起人们的注意 令人赏心悦目 每一朵花 每一只 蝴蝶 每一枚贝壳都使人着迷 蜂房的建筑艺术 向日葵上种子的排列 以及 植物茎上叶子的螺旋状颁都令我们惊讶 仔细的观察表明 对称性蕴含在上述 各种事例之中 它从最简单到最复杂的表现形式 是大自然形式的基础 花朵具有旋转对称的性征 花朵绕花心旋转适当位置 每一花瓣会占据它 相邻花瓣原来的位置 花朵就自相重合 旋转时达到自相重合的最小角称为元 角 不同的花这个角不一样 例如梅花为 72 水仙花为 60 对称 在生 物学上指生物体在对应的部位上有相同的构造 分两侧对称 如蝴蝶 辐射对 称 放射虫 太阳虫等 我国最早记载了雪花是六角星形 其实 雪花形状千 奇百怪 但又万变不离其宗 六角星 既是中心对称 又是轴对称 很多植物是螺旋对称的 即旋转某一个角度后 沿轴平移可以和自己的初 始位置重合 例如树叶沿茎杆呈螺旋状排列 向四面八方伸展 不致彼此遮挡 为生存所必需的阳光 这种有趣的现象叫叶序 向日葵的花序或者松球鳞片的 螺线形排列是叶序的另一种表现形式 晶体闪烁对称的光辉 这是俄国学者费多洛夫的名言 无怪乎在古典 童话故事中 奇妙的宝石交织着温馨的幻境 精美绝伦 雍容华贵 在王冠上 以其熠熠光彩向世人炫耀 保持永久不衰的魅力 作业 收集生活中的轴对称图片和中心对称图片 第八讲 蜂房中的数学 蜜蜂是勤劳的 它们酿造出了最甜的蜜 蜜蜂是聪明的 它们会分工合作 还 会用舞蹈的形式告诉同伴 哪里有花源 数量怎么样 实际上 不仅如此 蜜蜂还 是出色的建筑师 它们建筑的蜂房就是自然界诸多奇迹中的一个 蜂房是正六棱柱的形状 它的底是由三个全等的菱形组成的 达尔文称赞蜜 蜂的建筑艺术 说它是 天才的工程师 法国的学者马拉尔狄曾经观察过蜂房的 结构 在 1712 年 他写出了一篇关于蜂房结构的论文 他测量后发现 每个蜂房 的体积几乎都是 0 25 立方厘米 底部菱形的锐角是 70 度 32 分 钝角是 109 度 28 分 蜜蜂的工作竟然是这样的精细 物理学家列奥缪拉也曾研究了这个问 题 它想推导出 底部的菱形的两个互补的角是多大时 才能使得蜂房的容量达到 最大 他没有把这项工作进行下去 苏格兰的数学家马克劳林通过计算得出了与 前面观察完全吻合的数据 公元 4 世纪 数学家巴普士就告诉我们 正六棱柱的蜂房是一种最经济的形 状 在其他条件相同的情况下 这种结构的容积最大 所用的材料最少 他给出了 严格的证明 看来 我们不得不为蜜蜂的高超的建筑艺术所折服了 马克思也高 度地评价它 蜜蜂建筑蜂房的本领使人间的许多建筑师感到惭愧 现在 许多建 筑师开始模仿蜂房的结构 并把它们应用到建筑的实践中去 作业 查找生活中的正多边形实物 第九讲 龟背上的学问 传说大禹治水时 在一次疏通河道中 挖出了一只大龟 人们很是惊讶 争相观看 只见龟背上清晰刻着图 1 所示的一个数字方阵 这个方阵 按 孙子算经 中筹算记数的纵横相间制 凡算之法 先识 其位 一纵十横 百立千僵 千十相望 万百相当 六不积算 五不单张 可译成现代的数字 如图 2 所示 方阵包括了九个数字 每一行一与列的数字和均为 15 两条对角线上的数 也有相同的性质 当时 人们以为是天神相助 治水有望了 后来 人们称刻 在龟背上的方阵为 幻方 国外称为 拉丁方 属于组合数学范畴 使用 整数 1 9 构成的 3 3 阶 拉丁方 唯一可能的和数是 15 这一点只要把这 拉丁方 中所有数加起来便可证明 1 十 2 十 3 十 4 十 5 十 6 十 7 十 8 十 9 45 要把这几个数分配到三行 或列 使得每行 或列 有同样的和 那么 每 行 或列 的和应为 45 3 150 组合数学是数学中的一个分支 在实际生活中应用很广泛 请看下面的例 子 5 名待业青年 有 7 项可供他们挑选的工作 他们是否能找到自己合适的工 作呢 由于每个人的文化水平 兴趣爱好及性别等原因 每个人只能从七项工作 中挑选某些工种 也就是说每个人都有一张志愿表 最后根据需求和志愿找到 一个合适的工作 组合数学把每一种分配方案叫一种安排 当然第一个问题是考虑安排的存 在性 这就是存在问题 第二个问题是有多少种安排方法 这就是计数问题 接下去要考虑在众多的安排中选择一种最好的方案 这就是所谓的 最优化问 题 存在问题 构造问题 计数问题和最优化问题就构成了全部组合数学的内 容 如果你想了解更多的组合数学问题 那就要博览有关书籍 你会得到许多 非常有趣的知识 会给你许多的启发和教益 作业 上网查找趣味数学资料 第十讲 几何就在你的身边第十讲 几何就在你的身边 初学几何时 你往往会感到这门学科枯燥乏味 有的知识似曾相识 似懂 非懂 有的知识则似乎很 玄 离我们很远 其实 日常生活中有几何 几何 就在你的身边 当你骑自行车时 想过自行车的轮子为什么是圆形的 而不能是 鸡蛋形 的呢 因为 圆 形的特性可以使自行车平稳地前进 自行车的轮于有大有小 可供人们选择 两个 轮子装的位置必须装得恰当 骑时会感到方便 这说明 物体的形状 大小 位置关系与日常生活有着紧密的联系 这也正是几何这门 学科所要研究的 当你把一张长方形的纸裁成一个正方形时 你想过这里面有几何知识吗 图 1 图 2图 3 何中叫 比较线段的大小 把阴影部分裁去 可以看成在 长 上截 取一段 使它等于 宽 这就是几何中的 线段作图 长方形的长与宽相 等时 就是正方形 这更是几何中的一个重要结论 如果把正方形折成相等的两部分 除了图 2 中所示的四种折法外 你还能 想到其他的折法吗 不妨试试 过四条折痕相交的那个点 任意地折一 条线 看看这样把正方形分成的两部分也一样吗 当你走进用砖块铺地的房间时 你注意到这些砖块的形状吗 有的是等边 三角形的 有的是长方形或正方形的 其实 任意形状的四边形砖块也能把地面拼得没有缝隙 请看图 3 这又将告诉我们几何中的一个重要结论 四边形的四个角的大小之和恰好等 于 360 度 这个结论 与小学数学里学过的 三角形的三个角之和等于 180 度 又有着紧密的联系 如果有兴趣的话 请你剪两块同样的直角三角形纸片 然后把两块纸片拼 合成一个图形 你能拼出 6 种不同的图形吗 这里又包含了许许多多的几何知 识 比如 当你拼成一个等腰三角形时 就不难知道 等腰三角形可以分成两 个同样的直角三角形 中间的那条线位置很特殊 今后研究等腰三角形时常常 要用到它 作业 自己动手用小棒拼图 折纸盒作业 自己动手用小棒拼图 折纸盒 第十一讲 第十一讲 压岁钱压岁钱 与与 赈灾小银行赈灾小银行 在正月里 长辈们每年都会给我们压岁钱 而大多数同学都把压岁钱存入 了银行 为了能帮助失学獐 我建议我们景山中学办一个 赈灾小银行 要 求同学们有多少钱存多少钱 存入学校里 赈灾小银行 学校统一将同学们 的压岁钱存入银行 毕业时本金还给同学们 利息捐给经济有困难的同学或灾 区 从小到现在 我们收了十来年的压岁钱大概有 2000 元 假如平均每年按照 200 元存入银行 初中三年每个学生总共存入 600 元计算 我们景山中学高中 不算 初中 24 个班级 初一 初二 初三各 8 个班 每班按 60 人计算 初三 的存一年 初二的存两年 初一的存三年 年利率分别按 2 25 2 40 2 60 人民银行利率 计算 则 初一段学生存三年的利息和 200 2 60 3 60 8 7488 元 初二段学生存二年的利息和 200 2 40 2 60 8 4688 元 初二段学生存二年的利息和 200 2 25 1 60 8 2700 元 一年全校利息合计 7488 4608 2700 14796 元 假设学校第年招生班级以及人数都不变 则学校每年都有 14796 元利息 温州市有那么多所中学 假如每所中学都建立小银行 或许他们利息和还会超 过我校 假如小学也建立小银行 那么 每个学生五六年下来 每年全校利息 和将比中学利息和要高上好几倍 所以在小学成立 赈灾小银行 更有意义与 必要 为了灾区儿童有良好的读书环境 为了国家更繁荣 昌盛 同学们行动 起来吧 拿出你们的压岁钱 奉献我们的一片爱心 作业 算算你今年的压岁钱存入银行本息和是多少作业 算算你今年的压岁钱存入银行本息和是多少 第十二讲 建议班级购买一台饮水机第十二讲 建议班级购买一台饮水机 在炎炎夏日里 同学们遇到的难事就是饮水问题 为了使同学们过一个卫 生清洁的夏季 班级决定出钱买一台饮水机 而每人又应出多少钱呢 即使买 了饮水机 是否比过去每个学生每天买矿泉水更节省 更实惠 下面就来解答 这个问题 一 学生矿泉水费用支出一 学生矿泉水费用支出 温州市景山中学共有 37 个班级 假设每班学生平均为 60 人 那么全校就 有 60 37 2220 人 一年中 学生在校的时间 除去寒暑假双休日 大约 为 240 天 设春季 夏季 秋季 冬季 各为 60 天 在班级没有购买饮水机时 学生解渴一般买矿泉水 设矿泉水每瓶为一元 学生春秋季每人二天 1 瓶矿泉 水 则总共为 60 瓶 夏季每人每天 1 瓶 则总共也为 60 瓶 冬季每人每 4 天 1 瓶 总共为 15 瓶 则全年平均每名学生矿泉水费支出 60 60 60 4 1 135 元 全班学生矿泉水费用 135 60 8100 元 全校学生矿泉水费用 8100 37 299700 元 二 使用饮水机费用二 使用饮水机费用 一台冷热饮水机的价格约为 750 元 1 字牌大桶矿泉水为每桶 10 元 现每 班都配备饮水机 设每班春 季两季 每 2 天 1 桶 则需 60 桶 夏季每天 2 桶 则需 120 桶 冬季每 6 天 1 桶 则每班需 20 桶 则一学年每班需要 60 120 20 200 桶 一学生每班水费为 200 10 2000 元 电费折合为每学年每班为 300 元 则一学年配置饮水机每班水电费 2300 元 所以 一学年每班饮水机等合计 约为 2300 750 3 2550 元 每个学生平均一学年的水电费为 2500 60 42 5 元 景山中学全校全年饮水机等费用约为 37 2550 94350 元 显然 通过计算 比较两项开支费用 各班购买一台饮水机要经济实惠得 多 一学年每个学生可以节省 135 42 5 92 5 元 每个班一学年可节省 92 5 60 5550 元 全校一学年可节省 5550 37 205350 元 205350 元 一个了不起的数据 而我们每天又可以喝上卫生清洁 冷暖皆 宜的饮水机的矿泉水 等我们毕业时还可以把饮水机赠给下届同学 何乐而不 为呢 我向温州小学提出倡议 在每个教室里配一台饮水机 作业 计算你们班今年的用水费用是多少作业 计算你们班今年的用水费用是多少 第十三讲 巧用数学看现实第十三讲 巧用数学看现实 在现实生活中 人们的生活越来越趋向于经济化 合理化 但怎样才能达 到这样的目的呢 在数学活动组里 我就遇到了这样一道实际生活中的问题 某报纸上报道了两则广告 甲商厦实行有奖销售 特等奖 10000 元 1 名 一等奖 1000 元 2 名 二等奖 100 元 10 名 三等奖 5 元 200 名 乙商厦则实行 九五折优惠销售 请你想一想 哪一种销售方式更吸引人 哪一家商厦提供给 销费者的实惠大 面对问题我们并不能一目了然 于是我们首先作了一个随机调查 把全组 的 16 名学员作为调查对象 其中 8 人愿意去甲家 6 人喜欢去乙家 还