2011届高三数学月考、联考、模拟试题汇编 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积

空间几何体的结构 三视图和直观图 表面积和体积空间几何体的结构 三视图和直观图 表面积和体积 题组一题组一 一 选择题一 选择题 1 宁宁夏夏银银川川一一中中2 20 01 11 1 届届高高三三第第五五次次月月考考试试题题全全解解全全析析理理 如右图所示是某一容器的三视图 现向容器中匀速注水 容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是 侧 侧 侧侧 侧 侧 侧 侧 侧 Ot hh tO h tOOt h A B C D 答案 B 分析 可以直接根据变化率的含义求解 也可以求出函数的解析式进行判断 解析 容器是一个倒置的圆锥 由于水是均匀注入的 故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少 表现在函 数图象的切线上就是其切线的斜率逐渐减少 正确选项 B 考点 空间几何体 导数及其应用 点评 本题在空间几何体三视图和函数的变化率交汇处命制 重点是对函数变化率的考查 这是一种回归基 本概念的考查方式 值得注意 2 浙江省温州市啸秋中学 浙江省温州市啸秋中学 20102010 学年第一学期高三会考模拟试卷 学年第一学期高三会考模拟试卷 如右图所示 一个 空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的 正方形 俯视图是一个直径为1的圆 那么这个几何体的表面积为 A 3 B 2 C 2 3 D 4 答案 C 3 3 宁宁夏夏银银川川一一中中2 20 01 11 1 届届高高三三第第五五次次月月考考试试题题全全解解全全析析理理 已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上 当正六棱柱的体积最大 柱体 体积 底面积 高 时 其高的值为 A 3 3 B 2 3 C 2 3 3 D 3 答案 B 分析 根据正六棱柱和球的对称性 球心O必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点 作出轴截面即可得到 正六棱柱的底面边长 高和球的半径的关系 在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量 解析 以正六棱柱的最大对角面作截面 如图 设球心为O 正六棱柱的上下底面中心分别为 12 O O 则 主视图 俯视图 左视图 O是 12 O O的中点 设正六棱柱的底面边长为a 高为2h 则 22 9ah 正六棱柱的体积为 2 3 62 4 Vah 即 2 3 3 9 2 Vh h 则 2 3 3 93 2 Vh 得极值点3h 不难知道这个极值点 是极大值点 也是最大值点 故当正六棱柱的体积最大 其高为2 3 考点 空间几何体 导数及其应用 点评 本题在空间几何体 导数的应用交汇处命制 解题的关键是建立正六棱柱体积的函数关系式 考生如 果对选修系列四的 不等式选讲 较为熟悉的话 求函数 2 3 3 9 2 Vh h 的条件可以使用三个正数的均值不 等式进行 即 3 222 2222 3 33 33 6 9 9 2 9 9 9 2 2432 2 hhh Vh hhhh 等号成立的条件 是 22 92hh 即3h 4 北京龙门育才学校 北京龙门育才学校 20112011 届高三上学期第三次月考 届高三上学期第三次月考 如下图 某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正 方形 且体积为 1 2 则该几何体的俯视图可以是 答案 C 5 广东省汕头英华外国语学校 广东省汕头英华外国语学校 20112011 届高三第三次月考理 届高三第三次月考理 四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点 在其中取 4 个点 则这四个点不共面的概 率为 A 7 5 B 10 7 C 35 24 D 70 47 答案 D 从 10 个不同的点中任取 4 个点的不同取法共有 4 10 C 210 种 它可分为两类 4 点共面与不共面 如图 10 4 点共面的情形有三种 取出的 4 点在四面体的一个面内 如图中的 AHGC 在面 ACD 内 这样的取法有 4 6 4C种 取出的 4 面所在的平面与四面体的一组对棱平行 如图 中的 EFGH 与 AC BD 平行 这种取法有 3 种 因为对棱共 3 组 即 AC 与 BD BC 与 AD AB 与 CD 取出的 4 点是一条棱上的三点及对棱中点 如图中的 AEBG 这样的取法共 6 种 综上所述 取出 4 个不共面的点的不同取法的种数为 4 10 C 4 6 4C 3 6 141 种 A B C D E F G H 图 10 故所求的概率为 70 47 210 141 答案选 D 6 浙江省嘉兴一中 浙江省嘉兴一中 20112011 届高三届高三 1212 月月考题文 月月考题文 若右图是一 A 圆锥 C 圆柱个几何体的三视图 则这个几何体是 A 圆锥 B 棱柱 C 圆柱 D 棱锥 答案答案 C C 二 填空题二 填空题 7 福建省惠安荷山中学 福建省惠安荷山中学 20112011 届高三第三次月考理科试卷 届高三第三次月考理科试卷 一个空间几何体的三 视图及部分数据如上图所示 则这个几何体 的体积是 答案 3 2 8 宁宁夏夏银银川川一一中中2 20 01 11 1 届届高高三三第第五五次次月月考考试试题题全全解解全全析析理理 在ABCRt 中 若aBCbACC 900 则ABC 外接圆半径 2 22 ba r 运用类比方法 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为cba 则其外接球的半径R 答案 222 2 abc 分析 三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球 与以这三条侧棱为棱的长方体的外接球是相同的 这个长方体 的体对角线的长度就是其外接球的直径 解析 作一个在同一个顶点处棱长分别为 a b c的长方体 则这个长方体的体对角线的长度是 222 abc 故这个长方体的外接球的半径是 222 2 abc 这也是所求的三棱锥的外接球的半径 考点 推理与证明 点评 本题考查推理与证明中的类比推理 一般来说类比推理得到的结论未必正确 但出现在高考试题或者 模拟试题中类比推理 不会设计成漫无目标的类比推理试题 而是设计成指向性很强的 能得到正确结论的类 比问题 考生在解答这类试题时 一定要在得出结论的过程中注重演绎推理的应用 不要被表面现象所迷惑 9 福建省三明一中 福建省三明一中 20112011 届高三上学期第三次月考理 届高三上学期第三次月考理 某几何体的三视图 其中正视图是腰长为2的等腰三角 形 侧视图是半径为 1 的半圆 则该几何体的表面积 是 答案 3 2 S 10 10 浙江省菱 浙江省菱湖中学湖中学 20112011 届高三上学期期中考试理 届高三上学期期中考试理 若某几何体的三视图 图 3 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 3 cm 11 浙江省杭州宏升高复学校 浙江省杭州宏升高复学校 20112011 届高三第一次模拟考试试题理 届高三第一次模拟考试试题理 一个几何体的三视图如图 3 所示 则该几何体的体积 单位 3 cm 为 3 cm 答案 答案 3 3 12 浙江省诸暨中学 浙江省诸暨中学 20112011 届高三届高三 1212 月月考试题文 月月考试题文 已知某个几何体的三 视图如图所示 根据图中标出的 尺寸 单位 cm 可得这个几何体的体积是 3 cm 答案 答案 3 4 13 浙江省嵊州二中 浙江省嵊州二中 20112011 届高三届高三 1212 月月考试题理 月月考试题理 已知右图的三视图 中正方形的边长为a 则该几何体的体积是 答案答案 3 7 24 a 14 浙江省金丽衢十二校 浙江省金丽衢十二校 20112011 届高三第一次联考理 届高三第一次联考理 若某几何体的三视图 单位 cm 如右图所示 则该几何体的表面积为 2 cm 答案 7 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 A B C D E G F A B C D E G F MN A C D G M N 三 简答题三 简答题 15 福建省三明一中 福建省三明一中 20112011 届高三上学期第三次月考理 届高三上学期第三次月考理 本题满分本题满分 1313 分分 如图 在六面体ABCDEFG中 平面ABC 平面DEFG AD 平面DEFG ACAB DGED EF DG 且2 DGDEADAB 1 EFAC 求证 BF 平面ACGD 求二面角FCGD 的余弦值 求五面体ABCDEFG的体积 答案 本题满分本题满分 1313 分分 解法一 向量法 由已知 AD DE DG 两两垂直 建立如图的坐标系 则 A 0 0 2 B 2 0 2 C 0 1 2 E 2 0 0 G 0 2 0 F 2 1 0 2 1 0 2 0 2 0 1 2 BF 0 2 0 0 1 2 0 1 2 CG BFCG 所以 BF CG 又 BF 平面 ACGD 故 BF 平面 ACGD 4 分 0 2 0 2 1 0 2 1 0 FG 设平面 BCGF 的法向量为 1 nx y z 则 1 1 20 20 n CGyz n FGxy 令2y 则 1 1 2 1 n 而平面 ADGC 的法向量 2 1 0 0 ni 12 12 12 cos n n n n nn 222222 1 16 6 121100 故二面角 D CG F 的余弦值为 6 6 9 分 设 DG 的中点为 M 连接 AM FM 则V ADM BEFABC MFG VV 三棱柱三棱柱 ADMMFG DESADS 11 22 122 1 22 4 13 分 解法二设 DG 的中点为 M 连接 AM FM 则由已知条件易证四边形 DEFM 是平行四边形 所以 MF DE 且 MF DE 又 AB DE 且 AB DE MF AB 且 MF AB 四边形 ABMF 是平行四边形 即 BF AM 又 BF 平面 ACGD故 BF 平面 ACGD 4 分 利用面面平行的性质定理证明 可参照给分 由已知 AD 面 DEFG DE AD DE DG 即 DE 面 ADGC MF DE 且 MF DE MF 面 ADGC 在平面 ADGC 中 过 M 作 MN GC 垂足为 N 连接 NF 则 显然 MNF 是所求二面角的平面角 在四边形 ADGC 中 AD AC AD DG AC DM MG 1 5CDCG MN 2 5 5 在直角三角形 MNF 中 MF 2 MN 2 5 5 tanMNF MF MN 2 2 5 5 5 cosMNF 6 6 故二面角 D CG F 的余弦值为 6 6 9 分 ABC DEFG V多面体 ADM BEFABC MFG VV 三棱柱三棱柱 ADMMFG DESADS 11 22 122 1 22 4 13 分 16 福建省四地六校 福建省四地六校 20112011 届高三上学期第三次联考试题理 届高三上学期第三次联考试题理 本题满分 13 分 一个多面体的直观图和三视图如下 其中NM 分别是BCAF 中点 1 求证 MN平面CDEF 2 求多面体CDEFA 的体积 答案答案 解 1 由三视图知 该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱 且2 BFBCAB 22 CFDE 90CBF 2 分 取BF中点G 连NGMG 由NM 分别是BCAF 中点 可设 EFMGCFNG 面 MNG面CDEF MN面CDEF 8 分 2 作DEAH 于H 由于三棱柱BCFADE 为直三棱柱 AH面DCEF 且2 AH 3 8 2222 3 1 3 1 AHSV CDEFCDEFA 13 分 题组二题组二 一 一 选择题选择题 1 吉林省实验中学吉林省实验中学 20112011 届高三文 届高三文 如图是一个几何体的三视图 则此三视图所描述几何体的 表面积为 A 3412 B 20 C 3420 D 28 答案答案 B B 22 2 2 2 2 2 2 A B D C E N M F 侧 2 侧 侧 侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 3 4 2 浙江省温州十校联合体浙江省温州十校联合体 20112011 届高三文 届高三文 如图 2 为一个几何体的三视图 正视图和侧视图均为矩形 俯视图为正三角形 尺寸如图 则该几何体的全面积为 A 6 2 3 B 24 2 3 C 143 D 32 2 3 答案答案 B B 3 浙江省温州十校联合体浙江省温州十校联合体 20112011 届高三文 届高三文 已知某个几何体的三视图如下 根据图中标出的尺寸 单位 cm 那么可得这个几何体的体积是 A 3 1 cm3 B 3 2 cm3 C 3 4 cm3 D 3 8 cm3 答案答案 C C 4 浙江省桐乡一中浙江省桐乡一中 20112011 届高三学理届高三学理 已知 M 是 ABC 内的一点 且 32 ACAB 30BAC 若 MBC MCA 和 MAB 的面积分别为 yx 2 1 则 yx 41 的最小值是 A 9 B 18 C 16 D 20 答案答案 B B 5 山西省四校山西省四校 20112011 届高三文 届高三文 如右图 某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形 且体积 为 1 2 则该几何体的俯视图可以是 2 22 2 1 1 1 正视图左视图 俯视图 第 3 题图 C1 B1 A1 C B A 答案答案 C C 6 福建省福州八中福建省福州八中 20112011 届高三文届高三文 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示 则这个几何体的表面积是 A 30B 40 C 60D 80 答案 C 7 广东省河源市龙川一中 广东省河源市龙川一中 20112011 届高三理 届高三理 如图 三棱柱的侧棱长为 2 底面是边长为 1 的正三角形 1111 AAABC 面 正视图是长为 2 宽为 1 的矩形 则该三棱柱的侧视图 或左视图 的面积为 A 3 B 32 C 1 D 3 2 答案答案 A A 8 广东省河源市龙川一中 广东省河源市龙川一中 20112011 届高三文 届高三文 如图 已知三棱锥的底面是直角三角形 直角边长分别为 3 和 4 过直角顶点的侧 棱长为 4 且垂直于底面 该三棱锥的主视图是 答案答案 B B 二 填空题二 填空题 9 浙江省桐乡一中 浙江省桐乡一中 20112011 届高三理 届高三理 如图 一个空间几何体的正视图 侧视图都是面积为 2 3 且一个内角为 60 的菱形 俯视图为正方形 那么这个几何体的表面积为 ABCD 1 1 1 1 答案 4 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 75 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 10 20112011 湖南嘉禾一中 湖南嘉禾一中 本小题满分 13 分 如图 1 是一正方体的表面展开图 MN 和 PB 是两条面对角线 请在图 2 的正方体中将 MN 和 PB 画 出来 并就这个正方体解决下面问题 1 求证 MN 平面 PBD 2 求证 AQ 平面 PBD 3 求二面角 P DB M 的大小 答案 10 解 M N Q B 的位置如右图示 正确标出给 1 分 1 ND MB 且 ND MB 四边形 NDBM 为平行四边形 MN DB 3 分 BD 平面 PBD MNPBD平面 MN 平面 PBD 4 分 2 QC 平面 ABCD BD 平面 ABCD BD QC 5 分 又 BD AC BD 平面 AQC 6 分 AQ 面 AQC AQ BD 同理可得 AQ PB BD PD B AQ 面 PDB 8 分 3 解法 1 分别取 DB MN 中点 E F 连结 PE EF PF 9 分 在正方体中 PB PB PE DB 10 分 四边形 NDBM 为矩形 EF DB PEF 为二面角 P DB M 为平面角 11 分 EF 平面 PMN EF PF 设正方体的棱长为 a 则在直角三角形 EFP 中 aPFaEF 2 2 2 2 tan EF PF PEF 2 2 arctan PEF 13 分 解法 2 设正方体的棱长为 a 以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图 则点 A a 0 0 P a 0 a Q 0 a a 9 分 0 aaaAQaaPQ 10 分 PQ 面 DBM 由 2 知 AQ 面 PDB PQAQ 分别为平面 PDB 平面 DBM 的法向量 12 分 cos PQAQ PQAQ PQAQ 3 6 32 2 2 aa a 2 2 arctan 2 2 tan PQAQPQAQ 13 分 11 四川成都市玉林中学 四川成都市玉林中学 20102010 20112011 学年度学年度 本题满分 12 分 如图 在四棱锥ABCDP 中 底面ABCD 是正方形 侧棱 PD底面ABCD DCPD E是PC的中点 1 证明 PA平面EDB 2 求EB与底面ABCD所成的角的正切值 答案 11 本小题满分 12 分 I 证明 连结AC AC交BD于O 连结EO 底面ABCD是正方形 点O是AC的中点 在PAC 中 EO是中位线 PAEO 3 分 而EO 平面EDB且PA 平面EDB 所以PA 平面EDB 5 分 II 解 作EFDC 交DC于F 连结BF 设正方形 ABCD的边长为a PD 底面 ABCD PDDC EFPD F 为DC的中点 EF 底面ABCD BF为BE在底面ABCD 内的射影 故EBF 为直线EB与底面ABCD所成的角 8 分 在Rt BCF 中 2222 5 22 a BFBCCFaa 1 22 a EFPD 在Rt EFB 中 F O E C A B D P 5 2 tan 55 2 a EF EBF BF a 所以 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值为 5 5 12 分 12 江苏泰兴市重点中学 江苏泰兴市重点中学 20112011 届理 届理 已知 E F 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 BC 和 CD 的中点 求 1 A1D 与 EF 所成角的大小 2 A1F 与平面 B1EB 所成角 3 二面角 C D1B1 B 的大小 1 因为 1 11 1 0 1 0 22 ADEF 所以 22 1 22 1 1 0 1 2 112 0 222 11 00 22 AD EF AD EF A 可知向量 1 AD 与EF 的夹角为60 因此 1 AD与 EF 所成角的大小为60 2 在正方体 1111 ABCDABC D 中 因为AB 平面 11 BC CB 所以AB 是平面 1 B EB的法向量 因为 1 1 0 1 0 0 0 1 0 AB 1 11 0 0 1 0 1 1 1 22 AF 所以 1 3 1 2 ABAF 1 1 2 AF AB A 由 1 1 cos 3 AF AB 所以可得向量之间的夹角约为19 47 E C A B D P 3 因为 1 AC 平面 11 B DC 所以 1 AC 是平面 11 B DC的法向量 因为 111 1 1 1 1 1 0 3 2 2ACACACACAC AC A 所以 1 6 cos 3 AC AC 所以可得两向量的夹角为35 26 根据二面角夹角相等或互补可知 二面角约为35 26 13 浙江省桐乡一中 浙江省桐乡一中 201120