高中数学知识要点重温（17）抛物线及其性质知识点分析

用心 爱心 专心 x y F1F2M P O Q 高中数学知识要点重温 高中数学知识要点重温 17 抛物线及其性质 抛物线及其性质 1 不要把抛物线的标准方程和二次函数的一般形式混为一谈 抛物线的焦点位置取决于哪 个变量是一次的及其系数的正负 抛物线标准方程中的 p 表示焦准距 举例 1 抛物线 2 axy 的准线方程为 2 y 则a的值为 A 8 1 B 8 1 C 8 D 8 解析 抛物线的标准方程为 y a x 1 2 其准线方程为 y a4 1 a 8 1 故选 B 举例 2 若椭圆 1 2 2 2 2 b y a x a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 线段 F1F2 被抛物线 y2 2bx 的焦点分成 5 3 的两段 则此椭圆的离心率为 A 16 17 B 4 17 17 C 4 5 D 2 5 5 解析 抛物线 y2 2bx 的焦点为 F 2 b 0 F 将线段 F1F2 分成 5 3 的两段 2 b c c 2 b 5 3 c 2b e 2 5 5 选 D 巩固 1 点 M 5 3 到抛物线 y ax2 的准线的距离等于 6 那么抛物线的方程是 A y 12x2 B y 12 1 x2 或 y 36 1 x2 C y 36x2 D y 12x2 或 y 36x2 巩固 2 若抛物线 2 2ypx 的焦点与椭圆 22 1 62 xy 的右焦点重合 则 p 的值为 A 2 B 2 C 4 D 4 2 涉及到抛物线上的点到焦点 准线 的距离问题常用定义 有时 抛物线上的点到与准线 平行的直线的距离需转化为到准线的距离 举例 1 已知 A 3 1 抛物线 4 2 x y 上一点 P x y 则 PA y 的最小值为 解析 抛物线 4 2 x y 的准线为 y 1 焦点 F 0 1 记 P 在直线 y 1 上的射影为 Q 则 y PQ 1 PF 1 PA y PA PF 1 问题转化为 求 PA PF 的最小值 易见 PA PF AF 3 当且既当 F P A 共线时等号成立 故 PA y 的最小值为 2 举例 2 已知椭圆 E 的离心率为 e 两焦点为 F1 F2 用心 爱心 专心 抛物线 C 以 F1 为顶点 F2 为焦点 P 为两曲线的一个 公共点 若 2 1 PF PF e 则 e 的值为 A 3 3 B 2 3 C 2 2 D 3 6 解析 记抛物线的准线l交 x 轴于 M P 在l上的射影 为 Q 则 F1M F1F2 2c 即l的方程为 x 3c PF2 PQ 又 2 1 PF PF e 即 1 PQ PF e F1 是椭圆的左焦点 PQ 为 P 到椭圆左准线的距离 即 l为椭圆的左准线 于是有 3c c a 2 e 3 3 选 A 巩固 1 一动圆圆心在抛物线 yx4 2 上 过点 0 1 且与定直线l相切 则l的方程为 A 1 x B 16 1 x C 1 y D 16 1 y 巩固 2 椭圆 C1 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左准线为l 左 右焦点分别为 F1 F2 抛物 线 C2 的准线也为l 焦点为 F2 记 C1 与 C2 的一个交点为 P 则 2 1 1 21 PF PF PF FF A 2 1 B 1 C 2 D 与 a b 的取值有关 3 过抛物线 y2 2px 的焦点直线l与抛物线 y2 2px 交于 A x1 y1 B x2 y2 两点 记住并会证 明 2 21 pyy 4 2 21 p xx AB 2 21 sin 2p pxx 其中 为弦 AB 的倾角 900 时的弦 AB 即为抛物线的通经 证明该结论时为避免讨论斜率不存在情形 可设直线 方程为 x my 2 p 其中 m 为 AB 的斜率的倒数 抛物线焦点弦问题常用定义 如 以焦点 弦为直径的圆与准线相切 举例 1 抛物线 y2 2px 上弦长为 a a 2p 的弦的中点到 y 轴的距离的最小值为 用心 爱心 专心 解析 抛物线的准线l的方程为 x 2 p 焦点 F 2 p 0 记弦的两端点为 A B AB 的中点 为 M 它们在l上的射影分别是 A1 B1 M1 于是有 AF AA1 BF BB1 M 到 y 轴的距离 d MM1 2 p 2 1 AA1 BB1 2 p 2 1 AF BF 2 p 2 1 AB 2 p 2 pa 当且仅当 A B F 共线时等号成立 注 过焦点的弦最短是通经 长为 2p 当 a 2p 时 A B F 不可能共线 举例 2 给定抛物线 C y2 4x F 是 C 的焦点 过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A B 两点 设 l 的斜率为 1 则OA与OB夹角为 解析 抛物线的焦点为 F 1 0 直线l的方程为 x y 1 将其代入抛物线方程得 y2 4y 4 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则有 y1 y2 4 y1y2 4 又 x1 4 1 y12 x2 4 1 y22 x1 x2 16 1 y1 y2 2 1 OBOA x1 y1 x2 y2 x1x2 y1y2 3 2 16 1 21 2 21 2 21 2 21 2 21 2 2 2 2 2 1 2 1 yyyyyyyyxxyxyxOBOA 41 cos 41 413 OBOA OBOA 故OA与OB夹角为 arccos 41 413 注 在研究形如 y2 2px 的抛物线与直线的有关问题时 设直线方程为 x my b 的形式 不仅 可以简化计算 有时还可以避免对直线斜率是否存在的讨论 巩固 1 AB 是抛物线 xy2 2 的一条焦点弦 AB 4 则 AB 中点 C 的横坐标是 A 2B 2 1 C 2 3 D 2 5 巩固 2 过抛物线 0 2 2 ppxy 的焦点的直线 0 mmyx 与抛物线交于 A B 两点 且 OAB O 为坐标原点 的面积为 22 则 m6 m4 4 直线与圆锥曲线的公共点问题一般用方程组的解研究 直线与曲线有几个公共点 方程 组就有几组解 直线与圆锥曲线相切体现为 在解方程组的过程中 消元 后得到的一元 二次方程有两个相等的实根 即 0 抛物线的切线还可以用导数研究 视抛物线方程为二 次函数 举例 1 设抛物线 y2 8x 的准线与 x 轴交于点 Q 若过点 Q 的直线l与抛物线有公共点 则直 线l的斜率的取值范围是 用心 爱心 专心 A 2 1 2 1 B 2 2 C 1 1 D 4 4 解析 Q 2 0 显然直线l 斜率存在 记为 k 则l的方程为 y k x 2 代入抛物线方程 得 k2x2 4 k2 2 x 4k2 0 当 k 0 时 方程有解 当 k 0 时 64 1 k2 0 即 1 k 0 或 00 x1 x2 k x1x2 b 又 y1 x12 y2 x22 y1y2 b2 而AO BO x1x2 y1y2 0 得 b b2 0 且 b 0 b 1 代入 验证 满 足 故 y1 y2 k x1 x2 2 k2 2 设 AOB 的重心为 G x y 则 x 3 21 xx 3 k y 3 21 yy 3 2 2 k 由 两式消去参数 k 得 G 的轨迹方程为 3 2 3 2 xy 注 上述求轨迹的方法称为 参数法 一般先设法将动点坐标用 参数 表示 再消参数 举例 2 过椭圆 1 925 22 yx 的右焦点 F2 并垂直于 x 轴 的直线与椭圆的一个交点为 B 椭圆上不同的两点 A x1 y1 C x2 y2 满足条件 F2A F2B F2C 成等差 数列 则弦 AC 的中垂线在 y 轴上的截距的范围是 解析 对 F2A F2C 5 18 使用焦半径公式得 5 5 4 x1 5 5 4 x2 5 18 x1 x2 8 此后 可以设 AC 的中垂线方程 代入椭圆方程 使用韦达定理 也可以用 点差 记 AC 中点 M 4 y0 将 A C 两点的坐标代入椭圆方程后作差得 21 21 21 21 25 9 yy xx xx yy 0 4 25 9 y kAC 于是有 AC 的中垂线的方程为 4 36 25 0 0 x y yy 当 x 0 时 y 9 16 0 y 此即 AC 的中垂线在 y 轴上的截距 注意到 M 4 y0 在椭圆 内 1 925 16 2 0 y 得 5 9 0 y 5 9 5 16 9 16 0 y 5 16 用心 爱心 专心 巩固 1 已知抛物线 y2 4x 过点 P 4 0 的直线与抛物线相交于 A x1 y1 B x2 y2 两点 则 y12 y22 的最小值是 巩固 2 过抛物线 ypx p 2 20 上一定点 P xy 00 y00 作两条直线分别交抛物 线于 A xy 11 B xy 22 若 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补 则 yy y 12 0 答案 1 巩固 1 B 巩固 2 D 2 巩固