《信号与系统》第四章

第四章 连续时间傅立叶变换 连续时间信号的谱分析和时频分析,时域中，连续信号的基本信号是冲激函数，离散信号的基本信号是抽样序列；以冲激（抽样）响应作为基本响应。频域中以复指数函数或序列作为基本信号。系统响应表示为不同频率的复指数信号响应的加权或积分。原因：1）它是LTI系统的特征函数。 2）复指数是正交函数。 3）信号频率和信号本身是现实可观测。信号的谱分析：把信号表示为一组不同频率的复指数函数或正弦信号的加权和，称为信号的频谱分析或傅里叶分析。,4.1 引言,图 两个矢量正交,4.2 复指数函数的正交性,两矢量V1与V2正交时的夹角为90。不难得到两正交矢量的点积为零， 即,矢量的分解,图 平面矢量的分解,图 三维空间矢量的分解,推广到n维空间,在区间 内，函数集 中的各个函数间，若满足下列正交条件：则称 为正交函数集。式中 是复函数 的共扼函数。若K=1，则 为归一化正交函数集。,1 正交函数的定义,2 正交函数集的完备性,若在区间 内，由N+1个正交函数 构成的正交函数集 是完备的,即再也找不到一个函数 能满足则在区间 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和表示：,3 复指数函数是正交函数,在区间 内是正交函数复指数函数集 在区间 内是正交函数集。正弦函数 和余弦函数 在区间 内是正交函数。,考虑复指数函数 的正交性,4.3 周期信号的表示 连续时间傅里叶级数,1 用指数函数表示周期信号：复指数形式的傅里叶级数,例41 已知某一周期信号的傅里叶级数表示式为式中求(a)其三角函数表示式；(b)用图解方法表示各谐波分量的波形及其合成波形x(t).,解：,根据欧拉公式,X(t)是实信号,2 三角函数形式的傅里叶级数,2 三角函数形式的傅里叶级数,在连续时间情况下，实周期信号的傅里叶级数的三角函数形式：,极坐标形式：,正弦余弦形式形式：,数学上等效,3 傅里叶级数系数的确定,周期信号的复指数形式的傅里叶级数：,已知x(t)可以分析出所含的频谱；系数 称为x(t)的傅里叶系数或频谱；系数 是x(t)中的直流或常数分量,正弦余弦形式傅里叶级数的系数,极坐标形式的傅里叶级数的系数另一种求法：,由正弦余弦形式傅里叶级数的系数确定,3 傅里叶级数系数的确定,掌握 式 444，445，446,例 42 已知x(t)是一周期的矩形脉冲，如图所示，求其傅里叶级数。,解：,1）,2）,例 44 已知 ,求其复指数形式的傅立叶级数,例4-5已知 求其正弦-余弦形式的傅立叶级数,解:,4.4波形对称性与傅里叶系数,1 偶对称,波形对纵轴对称奇函数在对称区间积分为零傅里叶级数中只有常数项和余弦项,4.4波形对称性与傅里叶系数,2 奇对称,波形对原点对称 为奇函数， 为偶函数；奇函数在对称区间积分为零傅里叶级数中只有正弦项任何信号x(t)都可以分解为偶函数和奇函数两部分。,4.4波形对称性与傅里叶系数,3 偶半波对称在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；这时x(t)是一个周期减半为 的周期非正弦波，其基波频率为 ，即其只含有偶次谐波；,4 奇半波对称在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的负值；为镜像对称方式；这时x(t) 只含有奇次谐波；,4.4波形对称性与傅里叶系数,5 双重对称X(t)是奇函数或偶函数，同时又具有奇半波对称或偶半波对称；这种波形对与纵轴相隔 的垂线对称，又称为1/4波对称；通过例46说明双重对称有与傅里叶系数的关系。 表41 波形对称性、对称条件及其对应的傅里叶系数；求复杂函数的傅里叶系数时，可以先求其偶部和奇部的傅里叶系数，然后相加。 例47,4.4波形对称性与傅里叶系数,习题1,如图所示信号为周期信号的一个周期，其付氏级数包含 ( ) A. 直流 、 偶次余弦项 B. 直流 、奇 次余弦项 C. 直流 、 偶次正弦项 D. 直流 、 奇次正弦项,习题2,信号如图所示，其三角型付氏级数为（ ） n 为奇数 n 为偶数 n 为奇数 D. n 为偶数,4.5周期信号的频谱与功率谱,三角函数形式的傅里叶级数： 将 对 的函数关系，绘成图，称为振幅频谱图，简称为频谱图； 将 对 的函数关系，绘成图，称为相位频谱。 图410 (a),单边频谱,将 和 对 的函数关系绘成图，称为复指数频谱 图410 (b),双边频谱,同频率的分量,幅值相等,但相位差,双边频谱,单边频谱,每一条谱线代表一个谐波分量,正负频率对应的两条谱线合并起来代表一个谐波分量,谱线长度是单边的一半,以例42为例，讨论周期信号的复指数频谱,抽样函数,Sinc(Z)为偶函数,以周期 起伏,振幅再Z的正负两个方向都衰减,并在 通过零点,T0增大时?,结论： （1）周期信号具有离散性、谐波性、收敛性 （2）只考虑对波形影响较大的较低频率分量。把包含主要谐波 分量的 这段频率范围称为矩形脉冲信号的有效带宽度。 （3）频谱的包络仅仅和脉冲的形状有关，而与脉冲的重复周期 无关。,4.5周期信号的频谱与功率谱,周期信号的功率频谱功率谱,将x(t)看作电压或电流，考察其在 电阻上所消耗的平均功率。将功率用傅里叶级数表示周期信号在时域中的平均功率等于频域中各次谐波平均功率之和，称为功率信号的帕色伐尔定理。将各次谐波的平均功率 与 的关系画出，即得功率频谱，且为单边频谱；将 的关系画出，得双边功率频谱。 例48,习题3 已知周期信号 x(t) 的付氏级数表示式为,其单边幅度谱 、 相位谱为 ( ),周期信号 x(t) 内双边频谱如图所示 ,其三角函数表示式为 ( ) A. B. C. D.,习题4,1 收敛的三个条件2 吉伯斯现象,4.6 傅里叶级数的收敛性 吉伯斯现象,4.7非周期信号的表示 连续时间傅里叶变换1 非周期信号傅里叶变换的导出,1）将x(t)以T0为周期无限重复，从而得到周期为T0的周期函数2）令3）4）,傅里叶变换对,傅里叶反变换,傅里叶变换,结论： x(t)的频谱是连续的，即存在于所有的频率 上。 通过这两个变换，把信号的时域特性和频域特性联系起来。 x(t)的频谱表示了是由怎样的不同频率的正弦信号组成的。,例4,4.8傅里叶级数与傅里叶变换的关系,傅里叶系数与傅里叶变换的关系周期信号 的傅里叶系数 可以从某一周期内信号 的傅里叶变换的样本 中得到。,1）x(t)绝对可积 2）在任何有限区间内，x(t)只有有限个极大值和极小值 3）在任何有限区间内，x(t)不连续点个数有限，而且在不连续点处，x(t)值是有限的。,傅里叶变换的收敛,2 周期信号的傅里叶变换 周期信号的傅里叶级数可以得到它的傅里叶变换。该周期信号的傅里叶变换是由一串在频域上的冲激函数组成的。,4.9 连续时间傅里叶变换的性质与应用,1 线性2 共轭对称性,若x(t)是一个实时间函数,3 时移性,延时的作用只改变频谱函数的相位特性而不改变其幅频特性,4 尺度变换性质,例 4-20,已知x(t)为矩形脉冲,求x(t/2)的频谱函数。,5反转性质6 频移性,信号反折后，振幅频谱不变，相位频谱改变180,7 对偶性质,8 函数下的面积