高考数学压轴解题探讨

共 4 页 第 页1 高考数学高考数学 压轴题压轴题 的解题探讨的解题探讨 遂宁中学遂宁中学 吴俊吴俊 关键词关键词 高考数学高考数学 压轴题压轴题 解题探讨解题探讨 内容摘要内容摘要 本文围绕高考数学压轴题的特点本文围绕高考数学压轴题的特点 重点阐述了在解压轴题中重点阐述了在解压轴题中 进入进入 题目题目 的常用思路的常用思路 并通过典型例题的解题分析和解题探讨并通过典型例题的解题分析和解题探讨 介绍了介绍了 如何如何 进入题目进入题目 的基本方法 的基本方法 高考数学中的压轴题是区分考生的能力和水平的重要题目 其主 要特点是 结构严谨 构思巧妙 背景深刻 难以入题 形式多变 解法 灵活 因此 考生在解此类题目时常常是毫无头绪 游离于问题之外 大多数考生对解压轴题束手无策 那么 压轴题到底难在何处 有没 有解决此类题目的基本思路 本文就这些问题做一些探讨 从高考数学压轴题的基本特点不难可看到 解决它的主要难点在于 难以真正 进入题目 即能把问题中比较生疏的条件 背景等信息 通过正确的思路转化为已知的知识和方法加以解决 笔者通过多年 的教学实践 特别是在高考数学复习中 对解决压轴题 进入题目 的各种思路进行了大量的探讨 颇有一些心得 下边给出一些在解压 轴题中怎样 进入题目 的常用思路 思路一思路一 试探式试探式 进入题目进入题目 压轴题的背景生疏 问题抽象给我们带来阅读困难 通法难解等 障隘 要扫除这些障隘 常常是从特殊情形入手 逐步探索 把较为 复杂的问题转变成既特殊又简洁的问题 再结合类比 迁移等方法 揭示问题的本质 此时 使用特值法引路至为关键 例例 1 1 在数列中 如果 且 则称 n a 1 a Na2 Nnaaa nnn 21 为 绝对差数列 1 写出一个前 5 项不为零的 绝对差数列 n a 共 4 页 第 页2 的前 10 项 2 绝对差数列 中 数列中 n a 0 3 2120 aa n b 若对 则和是否存在 Nn 21 nnnn aaab n n a lim n n b lim 思路探索思路探索 显然 进入本题的关键是理解和转化 绝对差数列 这一新定义 针对数列问题的特点 不妨从前几项特值开始探索 易知 当取时 呈1 2 21 aa0 0 1 1 0 1 1076543 aaaaaa 周期变化 而当取时也有类似规律 因此 可 发现 4 7 21 aa 数列的各项呈周期变化 而且周期为 3 含有 0 项 所以 n a 不存在 当时 以下略 n n a lim20 n6 21 nnnn aaab6lim n n b 值得强调的是 特值法引路是试探式 进入题目 的重要途径 也是把问题转变成既特殊又简洁的常用手段 思路二思路二 猜想式猜想式 进入题目进入题目 借助一些重要数学结论的发现过程 大胆猜想 小心求证的 思想 进入题目进入题目 打开解题思路 此时 大胆 合理的猜想是关键 例例 2 2 已知数列中 且时 1 求 n a 2 3 1 a Nnn 2 12 3 1 1 na na a n n nn a 2 证明 对 n Nn2 321 n aaaa 思路探索思路探索 对于 1 根据的形式 猜想可通过一 12 3 1 1 na na a n n n 定的变化获得一个关于的特殊关系 从而求 于是从已知式子的 n a n a 变形开始分析 已知式子可变形为 因此数列 1 1 3 1 1 1 nn a n a n 是等比数列 容易得到 1 n a n 13 3 Nn n a n n n 共 4 页 第 页3 对于 2 由于 n 虽然2 321 n aaaa 2 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 2 n 我们可以用放缩法或数学归纳法等通法去分析证明 但是都难以达到 目的 因此 不妨再做大胆猜想 先设法证明 3 1 3 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 22nn 1 再利用 获得原不等式的证明 2 1 3 1 3 1 3 1 1 2 n 2 事实上 容易由数学归纳法获得证明 容易由求和公式获 1 2 得证明 从以上不难看到 猜想式 进入题目 的关键是善于合理大胆的 猜想 思路三思路三 等价变换 合理构造式等价变换 合理构造式 进入题目进入题目 不断地变化 转换已知与未知的关系 是在比较复杂的问题中寻 找解题目标 获得清晰的解题思路的重要途径 也是变化转换式 进 入题目的主要方法 高考数学中的压轴题担负的另一任务是考查考生的实践能力和创 新意识 而构造正是这两种能力的综合体现 合理巧妙的构造函数 方程 不等式 几何图形进行分析 是开启解决压轴题大门的钥匙 例例 3 3 已知函数 xxxf3 3 1 若对都有求 c 的最小值 2 2 21 xx 21 cxfxf 2 若过点可作出曲线的三条切线 求的范围 2 2 mm xfy m 思路探索思路探索 对于 1 首先转化易知 对 21 cxfxf 都有 21 xx 共 4 页 第 页4 所以须使 4 minmax21 xfxfxfxf c minmax xfxf 对于 2 注意到点不一定在曲线上 可设出切 2 2 mm xfy 点 易得 00 yx 0662 2 3 32 2 0 3 0 0 0 3 02 0 mxx x mxx x 1 为使过点可作出曲线的三条切线 须使关于 2 2 mm xfy 的方程有三个不同的实根 为讨论这个三次方程的根 用一般 0 x 1 的通法难以解决 往往是使用函数讨论 转化问题 于是 需要构造 适当的函数 这里不妨令 662 23 mxxxg 容易得到下表 从而可得的大致图像 略 xgy 由图像不难分析 只需使得 解得即为所求 0 2 0 0 g g 26 m 综合上述探讨 我们不难知道 对于解决高考数学压轴题中的情景 陌生 问题抽象 入题困难等问题 可以通过特值试探特值试探 大胆猜想大胆猜想 等价变换等价变换 合理构造合理构造等途径 把问题变得更加特殊和具体 从而达到 解决问题的目的 说明说明 1 1 本文所举例题的解题思路可能很多本文所举例题的解题思路可能很多 此处未再给出其他解题思路 此处未再给出其他解题思路 x 0 0 2 0 2 2 x g 0 0 xg 极大