高一数学--奇偶性

1 高一数学第四讲 函数的奇偶性 一 知识要点 1 函数奇偶性定义 如果对于函数 f x 定义域内的任意 x 都有 f x f x 则称 f x 为奇函数 如果对于函数 f x 定义域内的任意 x 都有 f x f x 则称 f x 为偶函数 如果函数 f x 不具有上述性质 则 f x 既不是奇函数也不是偶函数 如果函数同时具有上述两条性质 则 f x 既是奇函数 又是偶函数 2 函数奇偶性的判定方法 定义法 图像法 1 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 首先确定函数的定义域是否关于原点对称 确定 f x 与 f x 的关系 作出相应结论 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是偶函数 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是奇函数 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质 由函数的奇偶性定义可知 函数具有奇偶性的一个必要条件是 定义域关于原点对称 2 利用图像判断函数奇偶性的方法 图像关于原点对称的函数为奇函数 图像关于 y 轴对称的函数为偶函数 3 简单性质 设 的定义域分别是 那么在它们的公共定义域上 f x g x 12 D D 奇 奇 奇 奇奇 偶 偶 偶 偶 偶偶 偶 奇偶 奇 二 基础练习 1 f x g x 是定义在 R 上的函数 h x f x g x 则 f x g x 均为偶函数 h x 一定为偶函数吗 反之是否成立 2 已知函数 y f x 是定义在 R 上的奇函数 则下列函数中是奇函数的是 y f x y f x y x f x y f x x 3 设函数若函数 2 2 1 3f xkxkx 是偶函数 则 xf的递减区间是 4 已知 y f x 是定义在 R 上的奇函数 当 x 0 时 f x x2 2x 则在 x 0 上 f x 的表达式为 5 设 f x 是 R 上的偶函数 且在 0 上是减函数 若 x1 0 且 x1 x2 0 则 f x1 与 f x2 的大小关系是 三 例题精讲 题型 1 函数奇偶性的判定 例 1 判断下列函数的奇偶性 x x xxf 1 1 1 2 9 4 3 x y xx 2 2 0 0 xxx f x xxx 22 11 xxxf 变式 设函数 f x 在 内有定义 下列函数 y f x y xf x2 y f x y f x f x 必为奇函数的有 要求填写正确答案的序号 2 题型 2 函数奇偶性的证明 例 2 已知函数 f x 当 x y R 时 恒有 f x y f x f y 求证 f x 是奇函数 变式 已知 f x 是奇函数 则实数 a 的值等于 21 2 21 x x a 题型 3 函数奇偶性的应用 例 3 设定义在 2 2 上的偶函数 f x 在区间 0 2 上单调递减 若 f 1 m f m 求实数 m 的取值范围 变式 1 已知函数是偶函数 而且在上是减函数 判断在上是增函数还是减 f x 0 f x 0 函数 并证明你的判断 变式 2 函数是 R 上的偶函数 且在上是增函数 若 则实数的取值范 yf x 0 2 f af a 围是 3 题型 4 综合应用 例 5 f x g x 都是定义在 R 上的奇函数 且 F x 3f x 5g x 2 若 F a b 则 F a 变式 已知函数 f x g x 2 x 3 3 且 g x 满足 g x g x 若 f x 的最大值 最小值分别为 M N 则 M N 例 6 已知函数为奇函数 且不等式的解集是 bax cx xf 2 3 1 ff 2 3 0 xf 2 1 4 2 1 求 a b c 2 是否存在实数 m 使不等式对一切成立 若存在 求出 m 的取值范围 2 3 sin2 2 mf R 若不存在 请说明理由 4 例 7 已知 f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且 f 1 1 若 a b 1 1 a b 0 时 有 ba bfaf 0 1 判断函数 f x 在 1 1 上是增函数 还是减函数 并证明你的结论 2 解不等式 f x 2 1 f 1 1 x 3 若 f x m2 2pm 1 对所有 x 1 1 p 1 1 p 是常数 恒成立 求实数 m 的取值范围 5 能 力 训 练 题 1 判断下列函数的奇偶性 1 f x 2 3 f x x 1 x 10 10 1 23 x xx xxxf 11 2 2 函数 f x g x 在区间 a a a 0 上都是奇函数 则下列结论 f x g x 在 a a 上是奇函数 f x g x 在 a a 上是奇函数 f x g x 在 a a 上是偶函数 f 0 g 0 0 其中正确的个数是 3 已知函数 f x x R 是奇函数 且 3 0 0 xf xxxxf x 时 4 设 xf是定义在R上的一个函数 则函数 xfxfxF 在R上的奇偶性是 5 已知函数 127 2 1 22 mmxmxmxf为偶函数 则m的值是 6 已知 y f x 是定义在 R 上的奇函数 当 x 0 时 f x x2 2x 则在 R 上 f x 的表达式为 7 如果奇函数 xf在区间 3 7 上最大值为5 那么 xf在区间 3 7 上最小值是 8 若 x g x 都是奇函数 f x m x ng x 2 在 0 上有最大值 则 f x 在 0 上最小值为 9 为奇函数 则 1 xxa f x x a 10 如果函数是奇函数