高中对数函数公式

指数函数和对数函数指数函数和对数函数 重点 难点 重点 难点 重点 指数函数和对数函数的概念 图象和性质 难点 指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用 以及逻辑划分思想讨论函数 在及两种不同情况 yayx x a loga 101 a 1 指数函数 定义 函数叫指数函数 yaaa x 01且 定义域为R 底数是常数 指数是自变量 为什么要求函数中的a必须 ya x aa 01且 因为若时 当时 函数a 0 y x 4x 1 4 值不存在 当 函数值不存在 a 0y x 0 x 0 时 对一切x虽有意义 函数值恒a 1y x 1 为 1 但的反函数不存在 因为要求函数y x 1 中的 ya x aa 01且 1 对三个指数函数 的图象的认识 yyy x x x 2 1 2 10 图象特征与函数性质 图象特征函数性质 1 图象都位于x轴上方 1 x取任何实数值时 都有 a x 0 2 图象都经过点 0 1 2 无论a取任何正数 时 x 0 y 1 3 在第一象限内的纵坐yy xx 210 标都大于 1 在第二象限内的纵坐标都小于 1 的图象正好相反 y x 1 2 3 当时 a 1 xa xa x x 01 01 则 则 当时 01 a xa xa x x 01 01 则 则 4 的图象自左到右逐渐yy xx 210 上升 的图象逐渐下降 y x 1 2 4 当时 是增函数 a 1ya x 当时 是减函数 01 aya x 对图象的进一步认识 通过三个函数相互关系的比较 所有指数函数的图象交叉相交于相交于点 0 1 如和相交于 y x 2y x 10 01 当时 的图象在的图象的上方 当 刚好相反 故有x 0y x 10y x 2x 0 及 102 22 102 22 与的图象关于y轴对称 y x 2y x 1 2 通过 三个函数图象 可以画出任意一个函数y x 2y x 10y x 1 2 的示意图 如的图象 一定位于和两个ya x aa 01且y x 3y x 2y x 10 图象的中间 且过点 从而也由关于y轴的对称性 可得的示 01 y x 1 3 y x 1 3 意图 即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象 2 对数 定义 如果 那么数b就叫做以a为底的对数 记作aN aa b 01且 a是底数 N 是真数 是对数式 bN a loglogaN 由于故中N必须大于 0 Nab 0logaN 当N为零的负数时对数不存在 1 对数式与指数式的互化 由于对数是新学的 常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题 如 求log 0 32 5 2 4 分析 分析 对于初学者来说 对上述问题一般是束手无策 若将它写成 log 0 32 5 2 4 x 再改写为指数式就比较好办 解 解 设log 0 32 5 2 4 x 则 即 即 032 5 2 4 8 25 8 25 1 2 5 2 4 1 2 1 2 0 32 log x x x 评述 评述 由对数式化为指数式可以解决问题 反之由指数式化为对数式也能解决问题 因此必须因题而异 如求中的 化为对数式即成 35 x xx log35 2 对数恒等式 由aNbN b a log 12 将 2 代入 1 得aN aN log 运用对数恒等式时要注意此式的特点 不能乱用 特别是注意转化时必须幂的底数和 对数的底数相同 计算 3 1 3 2 log 解 原式 3 1 3 1 2 2 22 1 3 1 3 log log 3 对数的性质 负数和零没有对数 1 的对数是零 底数的对数等于 1 4 对数的运算法则 logloglog aaa MNMNMNR logloglog aaa M N MNMNR loglog a n a NnNNR loglog a n a N n NNR 1 3 对数函数 定义 指数函数的反函yaaa x 01且 数叫做对数函数 yx a logx 0 1 对三个对数函数yxyx loglog 21 2 的图象的认识 yx lg 图象特征与函数性质 图象特征函数性质 1 图象都位于 y轴右侧 1 定义域 R 值或 R 2 图象都过点 1 0 2 时 即 x 1y 0loga10 3 当时 图yx log2yx lgx 1 象在x轴上方 当时 图象在x轴00 x 下方 与上述情况刚好相反 yx log1 2 3 当时 若 则 若a 1x 1y 0 则 01 xy 0 当时 若 则 若01 ax 0y 0 时 则 01 xy 0 4 从左向右图象是yxyx loglg 2 上升 而从左向右图象是下降 yx log1 2 4 时 是增函数 a 1yx a log 时 是减函数 01 ayx a log 对图象的进一步的认识 通过三个函数图象的相互关系的比较 1 所有对数函数的图象都过点 1 0 但是与在点 1 0 曲yx log2yx lg 线是交叉的 即当时 的图象在的图象上方 而时 x 0yx log2yx lg01 x 的图象在的图象的下方 故有 yx log2yx lglog lg 215 15 log lg 201 01 2 的图象与的图象关于x 轴对称 yx log2yx log1 2 3 通过 三个函数图象 可以作出任意一个对yx log2yx lgyx log1 2 数函数的示意图 如作的图象 它一定位于和两个图象的yx log3yx log2yx lg 中间 且过点 1 0 时 在的上方 而位于的下方 x 0yx lgyx log2 时 刚好相反 则对称性 可知的示意图 01 xyx log1 3 因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象 4 对数换底公式 log log log log log b a a ne g N N b L NNeN L NN 其中 称为 的自然对数 称为常数对数 271828 10 由换底公式可得 L N N e N N n lg lg lg lg 04343 2303 由换底公式推出一些常用的结论 1 log log loglog a b ab b a ba 1 1或 2 loglog a m a nb m n b 3 loglog a n a nb b 4 loga m na m n 5 指数方程与对数方程 定义 在指数里含有未知数的方程称指数方程 在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程 由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算 故指数方程对数方程不是代数方程而 属于超越方程 指数方程的题型与解法 名称题型解法 基本型 ab f x 取以a为底的对数 f xb a log 同底数型 不同底数型 需代换型 aa fxx ab f xx F ax 0 取以a为底的对数 f xx 取同底的对数化