电磁场与电磁波复习提纲

电磁场与电磁波电磁场与电磁波 复习提纲复习提纲 基本定义 基本公式 基本概念 基本计算基本定义 基本公式 基本概念 基本计算 一 场的概念 1 1 1 场的定义 2 标量场与矢量场 等值面 矢量线 二 矢量分析 1 矢量点积与叉积的定义 第一次习题 a cosABBA b sinABeBA n 2 三种常用正交坐标系 3 标量的梯度 1 3 a 等值面 例 1 1 b 方向导数 例 1 2 c 梯度定义与计算 例 1 3 4 矢量场的通量与散度 1 4 a 矢量线的定义 例 1 4 b 矢量场的通量 SerFSrF n SS dd c 矢量场的散度定义与计算 例 1 5 d 散度定理 高斯定理 SV SFVF dd 5 矢量场的环量与旋度 1 5 a 矢量场的环流 环量 l lF d b 矢量场的旋度定义与计算 例 1 6 c 旋度定理 斯托克斯定理 CS lFSF dd 6 无源场与无散场 a 旋度的散度 散度处处为 0 的矢量场为无源场 有 0 A AF b 梯度的旋度 旋度处处为 0 的矢量场为无旋场 有 0 uF c 矢量场的分类 7 拉普拉斯算子 8 亥姆霍兹定理 概念与意义 基本概念 1 矢量场的散度和旋度用于描述矢量场的不同性质 a 矢量场的旋度是矢量 矢量场的散度是标量 b 旋度描述矢量场中场量与涡旋源的关系 散度描述矢量场中场量与通量源的关系 c 无源场与无旋场的条件 d 旋度描述场分量在与其垂直方向上的变化规律 散度描述场分量沿各自方向上的变化规律 2 亥姆霍兹定理概括了矢量场的基本性质 a 矢量场由其散度 旋度和边界条件唯一确定 b 由于矢量的散度和旋度分别对应矢量场的一种源 故分析矢量场总可以从研究其散度和旋度着手 c 散度方程和旋度方程是矢量场的微分形式 故可以从矢量场沿闭合面的通量和沿闭合路径的环流 着手 得到基本方程的积分形式 3 标量场的性质可由其梯度描述 a 标量场的梯度是一个矢量场 且 0 u b 标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影 l e ue l u l c 标量场中每一点的梯度垂直于等值面 且指向增加的方向 ru ru 三 电磁场的基本规律 1 电荷守恒定律 a 电荷分布 电荷体密度 电荷面密度 电荷线密度 是空间坐标的点函数 b 电流密度 电流密度 面电流密度 矢量点函数 c 电荷守恒定律 积分形式 微分形式 VS V t SJd d d d 0 t J 电荷不能创造 不能消灭 在电磁场作用下 发生移动 即重新分布 数学表示式是电流连续方 程 2 真空中静电场方程 a 库仑定律 R R qq R qq eF R 3 0 21 2 120 21 12 4 4 b 电场强度 i 定义 ii 已知电荷分布求解电场强度 式 2 13 iii 表征电场特性的基本矢量 c 静电场方程 积分形式 微分形式 0d 1 d 0 C i i S lrE qSrE 0 0 rE rE d 高斯定理 环路定理 i 静电场散度与高斯定理 利用高斯定理求解电场强度 ii 静电场旋度与环路定理 3 真空中磁场方程 a 安培力定律 21 3 12 1211220 12 d d 4 CC R RlIlI F b 磁感应强度 i 定义 ii 也可以通过运动电荷受到的磁场力定义 洛仑兹力 BqvF iii 表征磁场特性的基本矢量 c 静磁场方程 积分形式 微分形式 IlrB SrB C S 0 d 0d rJrB rB 0 0 4 电磁感应定律 a 积分形式 表示为闭合回路中的感应电动势与穿过回路的磁通量地变化 SC SB t lE d d d d 率的负值成正比 b 微分形式 t B E c 导体回路中的感应电流的方向与感应电动势的方向相同 d 导体回路中的感应电流产生的磁通总是要阻止磁通的变化 实质是电磁感应现象必须遵守电磁能 量守恒定律 e 感应电动势存在与否不依赖导体回路 f 电磁感应定律的重要意义 揭示了电与磁相互联系的一个方面 即变化的磁场产生电场 5 位移电流密度 a 是矢量点函数 某点的位移电流密度等于该点的电位移矢量随时间的变化率 t D Jd b 位移电流表明 变化的电场也是一种 电流 可以激发磁场 c 位移电流不表示电荷的宏观定向运动 在介质中会引起热效应 d 引入位移电流的概念 安培定律修正为 t D JH S t D JlH SC dd e 位移电流概念的重要意义 揭示了电与磁相互联系的另一个方面 即变化的电场产生磁场 6 媒质的电磁特性 a 电介质的极化 b 磁介质的磁化 c 导电媒质的传导特性 7 麦克斯韦方程组 a 积分形式 SV S CS CS dVSD SB S t B lE S t D JlH d 0d dd d d VS VSJdd b 微分形式 均匀媒质条件下 D B t B E t D JH 0 E H t H E t E EH 0 c 媒质的电磁特性方程 本构关系 ED HB EJ d 麦克斯韦方程的相关概念 i 两个基本假设 有旋电场的假设 位移电流的假设 ii 高斯定律在时变情况下也成立 iii 磁通连续性原理在时变情况下也成立 8 电磁场的边界条件 a 一般形式 Sn n n Sn DDe BBe EEe JHHe 21 21 21 21 0 0 式中 为媒质分界面法线方向的单位矢量 选定为离开分界面指向媒质 1 n e i 磁感应强度法向分量连续 ii 电场强度切向分量连续 b 两种理想介质分界面 的边界条件 0 0 sS J 0 0 0 0 21 21 21 21 DDe BBe EEe HHe n n n n c 理想导体的边界条件 设定媒质 2 为理想导体 Sn n n Sn De Be Ee JHe 1 1 1 1 0 0 四 静态电磁场 1 静电场 a 基本方程和边界条件 i 基本方程微分形式 0 E D ii 基本方程积分形式 0d dd C VS lE VSD iii 边界条件 00 2121 2121 ttn snnSn EEorEEe DDorDDe iv 积分方程表示穿过任一闭合面 S 的电位移矢量 D 的通量等于该闭合面包围的自由电荷的总量 v 高斯定律积分式和微分式表明静电场是有源场 电荷是产生静电场的源 电力线从正电荷出 发 终止于负电荷 vi 环路定律积分式和微分式表明静电场是无旋场 vii 在不同媒质的边界上 场矢量 E 和 D 一般是不连续的 故微分形式基本方程在边界面上不再 适用 积分形式基本方程仍然适用 b 电位函数 i 电位函数及其微分方程 lEE d 在均匀 线性和各向同性电介质中 已知电荷分布求解位函数 点电荷 rr q r i 4 1 体密度分布电荷 V rr r r V d 4 1 面密度分布电荷 S rr r r S S d 4 1 线密度分布电荷 l rr r r l d 4 1 在均匀 线性和各向同性电介质中 电位函数满足泊松方程 r r 2 或拉普拉斯方程 时 0 0 2 r ii 电位的边界条件 s nn 2 2 1 1 21 iii 电位的定义是从静电场的无旋性引入的 但有明确的物理意义 表示电场中 将单位正电荷 从 P 点移动到参考点 Q 时电场力所做的功 表示为 Q P PQ P lE q W d 0 iv 点电荷的电位计算公式提供了求解任何索要计算的场点 r 处电位的一种方法 再求电场强度 E 容易实现 v 电位是相对量 在电场一定情况下 空间各点的电位值与参考点的选择有关 选择适当的参 考点 使电位表达式具有最简单的形式 vi 电位参考点选择原则 1 不能选择点电荷所在的点为电位参考点 否则会使场中各点电位 为无穷大 2 只有当电荷分布在有限区域时 才可以选择无限远处位电位参考点 3 对一些具有轴对称性的问题 通常也不能选择无穷远为电位参考点 而是选择半径的a 圆柱面作为电位参考点 4 同一问题只能选择一个电位参考点 vii 静电场中 电位相等的点组成的面为等位面 点电荷产生的电场的等位面是一个以点电荷所 在点为中心的同心球面族 viii 可以利用泊松方程和拉普拉斯方程求解电位 c 电场能量 i 能量及能量密度 分布电荷的电场能量 表示连续分布电荷系统的静电能量计算公式 V e VWd 2 1 但不能认为静电场能量之储存在有电荷区域 此公式只能应用于静电场 多导体系统电场能量 表示点电荷系的互有能 即总静电能 N i iie qW 1 2 1 能量密度 表示静电场能量储存在整个电EDwe 2 1 VEDW V e d 2 1 场区域中 适用于静电场和时变场 ii 电容 在线性和各向同性电介质中 两导体间的电容为 U q C 计算电容方法 1 假设导体上的带电量 电荷或分布电荷密度 推导出空间的电荷分布 确定导体间的电压 再计算电容 2 假设在导体间施加电压 求出空间电场的分布 利用 介质中电位移或电位与导体电荷面密度的关系 确定导体上的电荷 进而计算电容 d 静电场问题求解 i 已知电荷分布 求场分布 ii 已知电场分布 求电荷分布 iii 求解方法有 1 直接利用电场强度公式 式 2 13 2 直接利用电位函数计算公式 式 2 28 3 应用高斯定律求解对称分布的电场 4 已知电场或电位分布求电荷分布 可利用微分形式和微分方程 5 直接积分法 利用泊松方程或拉普拉斯方程 2 恒定电场 在导电媒质中 a 基本方程 i 微分形式 0 0 E J ii 积分形式 0d 0d C S lE SJ b 边界条件 i 00 00 2121 2121 ttn nnn EEorEEe JJorJJe c 用电位表示为 nn 2 2 1 1 21 3 恒定磁场 a 基本方程 i 微分形式 JH B 0 ii 积分形式 SC S SJlH SB dd 0d iii 边界条件 SttSn nnn JHHorJHHe BBorBBe 2121 2121 00 b 矢量磁位 i 矢量磁位 AB 在均匀 线性和各向同性磁介质中 已知电流求解矢量磁位 体分布电流 V rr rJ rA V d 4 面分布电流 S rr rJ rA S S d 4 线电流 l rr I rA l d 4 ii 微分方程 在均匀 线性和各向同性磁介质中 矢量磁位满足泊松方程 JA 2 或拉普拉斯方程 时 0 J 0 2 A iii 矢量磁位的边界条件 Sn JAAe AA 2 2 1 1 21 11 c 磁场能量 i 能量和能量密度 多个电流回路的能量 N i iim IW 1 2 1 分布电流的能量 V m VAJWd 2 1 能量密度 HBwm 2 1 ii 电感 回路的自感 I L 回路的互感 2 12 12 1 21 21 I M I M 纽曼公式 12 12 dd 4 CC rr ll M d 恒定磁场问题求解 i 直接积分法 利用公式 4 6 4 8 已知电流密度求磁感应强度 利用 4 46 4 48 已知电流密度求磁矢位 ii 利用安培环路定律 iii 利用泊松方程和拉普拉斯方程 五 时变电磁场 1 波动方程 a 0 0 2 2 2 2 2 2 t H H t E E 2 矢量位与标量位 a 定义 t A E AB b 洛仑兹条件 0 t A c 微分方程 2 2 2 2 2 2 t J t A A 3 坡印廷定理与坡印廷矢量 a 坡印廷定理 V dd 2 1 2 1 d d d 2 1 2 1 VJEVDEBH t SHE JEDEBH t HE VS 物理意义 单位时间内通过曲面 S 进入体积 V 的电磁能量等于单位时间内体积 V 中所增加的电磁 能量与损耗的能量之和 b 坡印廷矢量 2 W mHES 表示单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁能量 其方向就是电磁能量传输的方 向 4 时谐电磁场 a 复数表示法 tj m rEtrE e Re rj z rj y rj x z y x rEerEerEerE eee zmymxmm b 麦克斯韦方程的复数形式 D B BjE DjJH m 0 c 波动方程的复数形式 k HkH EkE 0 0 22 22 d 动态矢量位和标量位的复数形式 i AjE AB ii 洛仑兹条件 jA iii 达朗贝尔方程 22 22 k JAkA e 平均坡印廷矢量 i 2 000 av d 2 d 1 d 1 tStHE T tS T S TT ii HES Re 2 1 av 六 平面电磁波 1 理想介质中的均匀平面电磁波 a 均匀平面电磁波函数 i 波动方程 0 22 EkE 若 波动方程简化为 解为 xxE eE 0 2 2 2 x x Ek z E kz mxE ezE jj ee 相伴磁场强度为 kz my EezH jj ee 1 ii 电磁场瞬时表示 kztEezHtzH kztEezEtzE my t mx t cos 1 eRe coseRe j j b 均匀平面电磁波传播参数 i 周期 表示时间相位相差 2 的时间间隔 s 2 T ii 相位常数 波数 表示波传播单位距离的相位变化 rad m k iii 波长 表示空间相位差 2 的两个等相位面之间的距离 m 2 k iv 相速 表示等相位面的移动速度 m s 1 k vp v 波阻抗 本征阻抗 描述均匀平面电磁波的电场和磁场之间的大小 y x H E 和相位关系 真空中 377120 0 0 0 c 能量密度和能流密度 i 在理想介质中