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虚数数学组卷专题训练虚数数学组卷专题训练 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 虚数数学组卷专题训练虚数数学组卷专题训练 一 解答题 共一 解答题 共 22 小题 小题 1 2011 上海 已知复数 z1满足 z1 2 1 i 1 i i 为虚数单位 复数 z2的虚部为 2 且 z1 z2是实数 求 z2 2 2005 上海 在复数范围内 求方程 z 2 z i 1 i i 为虚数单位 的解 3 设虚数 z 满足 2z 15 10 1 计算 z 的值 2 是否存在实数 a 使 R 若存在 求出 a 的值 若不存在 说明理由 4 已知 z2 3 4i 求 z3 6z 的值 5 当 x 取何值时 复数 z x2 x 2 i x2 3x 2 i 1 是实数 2 是纯虚数 3 对应的点在第四象限 6 已知复数 z 2m2 3m 2 m2 m 2 i m R 根据下列条件 求 m 值 1 z 是实数 2 z 是虚数 3 z 是纯虚数 4 z 0 7 已知 z1 z2是实系数一元二次方程 x2 px q 0 的两个虚根 且 z1 z2满足方程 2z1 iz2 1 i 求 p q 的值 8 已知复数 z 满足 又 z 1 z 3 4 求复数 z 9 设复数 z lg m2 2m 2 m2 3m 2 i 若 z 是纯虚数 求实数 m 的值 若 z 是实数 求实数 m 的值 若 z 对应的点位于复平面的第二象限 求实数 m 的取值范围 10 已知复数 z 满足 z 2i 3 z 2i 3 0 求 z 在复平面上对应的点组成图形的面积 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 11 已知复数 z 1 i 复数 z 的共轭复数为 1 若 求实数 x y 的值 2 若 a i z 是纯虚数 求实数 a 的值 12 已知复数 2 i 是实系数一元二次方程 x2 bx c 0 的一个根 1 求 b c 值 2 若向量 求实数 和 t 使得 13 已知复数 z m R i 是虚数单位 是纯虚数 1 求 m 的值 2 若复数 w 满足 w z 1 求 w 的最大值 14 已知复数 Z 1 i 1 求及 w 的值 2 如果 求实数 a b 15 设复数 z 满足 4z 2 3 i sin icos 求 z 的值和 z 的取值范围 16 已知复数 z m2 1 i m 3 i 6i I 当实数 m 为何值时 z 为纯虚数 当实数 m 为何值时 z 对应点在第三象限 17 课本在介绍 i2 1 的几何意义 中讲到 将复平面上的向量乘以 i 就是沿逆时针方向旋转 90 那么乘以 i 就是 沿顺时针方向旋转 90 做以下填空 已知复平面上的向量 分别对应复数 3 i 2 i 则向量对应的复数为 那么 以线段 MN 为一边作两个正方形 MNQP 和 MNQ P 则点 P Q 对应的复数分别为 点 P Q 对应的复数分别为 18 设复数 z 若 z2 az b 1 i 求实数 a b 的值 19 设 1 求 z1 的值以及 z1的实部的取值范围 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 2 若 求证 为纯虚数 20 已知复数 z m m 1 m2 2m 3 i 当实数 m 取什么值时 复数 z 是 1 零 2 纯虚数 3 z 2 5i 4 表示复数 z 对应的点在第四象限 21 实数 m 分别取什么数值时 复数 z m2 5m 6 m2 2m 15 i 1 与复数 12 16i 互为共轭复数 2 对应的点在 x 轴上方 22 已知复数 z m2 2m 3 m2 3m 4 i 求实数 m 的值使 z 为纯虚数 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 虚数数学组卷专题训练虚数数学组卷专题训练 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 22 小题 小题 1 2011 上海 已知复数 z1满足 z1 2 1 i 1 i i 为虚数单位 复数 z2的虚部为 2 且 z1 z2是实数 求 z2 考点 复数代数形 式的混合运 算 5085013 专题 计算题 分析 利用复数的 除法运算法 则求出 z1 设出复数 z2 利用复数 的乘法运算 法则求出 z1 z2 利用 当虚部为 0 时复数为实 数 求出 z2 解答 解 z1 2 i 设 z2 a 2i a R z1 z2 2 i a 2i 2a 2 4 a i z1 z2是实 数 4 a 0 解得 a 4 所以 z2 4 2i 点评 本题考查复 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 数的除法 乘法运算法 则 考查复 数为实数的 充要条件是 虚部为 0 2 2005 上海 在复数范围内 求方程 z 2 z i 1 i i 为虚数单位 的解 考点 复数的基本 概念 5085013 专题 计算题 分析 设出复数 z x yi x y R 代入 z 2 z i 1 i 利用复 数相等 求 出 x y 的值 即可 解答 解 原方程 化简为 z 2 z i 1 i 设 z x yi x y R 代入 上述方程得 x2 y2 2xi 1 i x2 y2 1 且 2x 1 解得 x 且 y 原方程的解 是 z i 点评 本题考查复 数的基本概 念 复数相 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 等 考查计 算能力 是 基础题 3 设虚数 z 满足 2z 15 10 1 计算 z 的值 2 是否存在实数 a 使 R 若存在 求出 a 的值 若不存在 说明理由 考点 复数求模 5085013 专题 计算题 分析 1 设 z a bi a b R 且 b 0 则 代 入条件 2z 15 10 然后根据 复数的运算 法则和模的 概念将上式 化简可得 即求出了 z 的值 2 对于此 种题型可假 设存在实数 a 使 R 根据复数的 运算法则设 z c bi c b R 且 b 0 可得 R 即 0 再结合 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 b 0 和 1 的结论即可 求解 解答 解 1 设 z a bi a b R 且 b 0 则 2z 15 10 2a 15 2bi a 10 bi a2 b2 75 z 2 设 z c bi c b R 且 b 0 假设存在实 数 a 使 R 则有 R 0 b 0 a 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 由 1 知 5 a 5 点评 本题主要考 查了求解复 数的模 解 题的关键是 要熟记复数 模的概念 z a bi a b R 则 z 4 已知 z2 3 4i 求 z3 6z 的值 考点 复数代数形 式的混合运 算 5085013 专题 计算题 分析 设 z a bi 则 z2 a2 b2 2abi 3 4i 解方 程求出 a b 的值 可得 z 的值 代入 要求的式子 化简求得结 果 解答 解 设 z a bi a b R 则 z2 a2 b2 2abi 3 4i a2 b2 3 2a b 4 解得 或 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 即 z 2 i 或 z 2 i 又 z3 6z 当 z 2 i 时 z3 6z 当 z 2 i 时 z3 6z 点评 本题主要考 查两个复数 代数形式的 混合运算 体现了分类 讨论的数学 思想 属于 基础题 5 当 x 取何值时 复数 z x2 x 2 i x2 3x 2 i 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 1 是实数 2 是纯虚数 3 对应的点在第四象限 考点 复数的基本 概念 5085013 专题 计算题 分析 1 利用复 数 z x2 x 2 x2 3x 2 i 是实数时 复数的虚部 等于 0 求出 x 值 2 利用复 数 z x2 x 2 x2 3x 2 i 是纯虚数 时 复数的 虚部不等于 0 且实部等 于 0 求出 x 值 3 利用复 数 z x2 x 2 x2 3x 2 i 对应的点 在第四象限 时 x2 x 2 0 且 x2 3x 2 0 求出 x 的 取值范围 解答 解 1 复 数 z x2 x 2 x2 3x 2 i 是实数时 复数的虚部 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 等于 0 即 x2 3x 2 0 解得 x 1 或 2 2 复数 z x2 x 2 x2 3x 2 i 是纯虚数 时 复数的 虚部不等于 0 且实部等 于 0 x2 x 2 0 且 x2 3x 2 0 解得 x 1 3 复数 z x2 x 2 x2 3x 2 i 对应的点 在第四象限 时 x2 x 2 0 且 x2 3x 2 0 解得 x 故不存在实 数 x 使复数 z x2 x 2 x2 3x 2 i 对应的点 在第四象 限 点评 本题考查复 数的实部 虚部的定义 复数与复平 面内对应点 之间的关系 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 以及第四象 限内的点的 坐标的特 点 6 已知复数 z 2m2 3m 2 m2 m 2 i m R 根据下列条件 求 m 值 1 z 是实数 2 z 是虚数 3 z 是纯虚数 4 z 0 考点 复数的基本 概念 复数 相等的充要 条件 5085013 专题 计算题 分析 1 当复数 的虚部等于 零时 复数 为实数 由 此求得 m 的 值 2 当复数 的虚部不等 于零时 复 数为虚数 由此求得 m 的值 3 当复数 的实部等于 零 且虚部 不等于零时 复数为纯虚 数 由此求 得 m 的值 4 当复数 的实部等于 零 且虚部 也等于零时 复数等于零 由此求得 m 的值 解答 解 1 当 m2 m 2 0 即 m 2 或 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 m 1 时 z 为 实数 2 当 m2 m 2 0 即 m 2 且 m 1 时 z 为 虚数 3 当 解得 m 即 m 时 z 为纯虚数 4 令 解得 m 2 即 m 2 时 z 0 点评 本题主要考 查复数的基 本概念 两 个复数相等 的充要条件 属于基础 题 7 已知 z1 z2是实系数一元二次方程 x2 px q 0 的两个虚根 且 z1 z2满足方程 2z1 iz2 1 i 求 p q 的值 考点 复数的基本 概念 5085013 专题 计算题 分析 设 z1 a bi 则 z2 a bi a b R 根据 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 两个复数相 等的充要条 件求出 z1 1 i z2 1 i 再由根与 系数的关系 求得 p q 的 值 解答 解 设 z1 a bi 则 z2 a bi a b R 由已知得 2 a bi i a bi 1 i 2a b a 2b i 1 i z1 1 i z2 1 i 由根与 系数的关系 得 p z1 z2 2 q z1 z2 2 点评 本题考查复 数的基本概 念 两个复 数相等的充 要条件 属 于基础题 8 已知复数 z 满足 又 z 1 z 3 4 求复数 z 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 考点 复数代数形 式的乘除运 算 复数的 基本概念 复数求模 5085013 分析 因为 所以 得到 进一步化得 从而 z R z 0 或 z 2 7 下 面进行分类 求解 1 当 z R z 0 时 2 当 z 2 7 时 分 别求得复数 z 即可 解答 解 因为 所以 则 所以 即 所以 或 者 即 z R z 0 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 或 z 2 7 1 当 z R z 0 时 z 1 z 3 4 所以 z 4 或 者 z 0 舍去 2 当 z 2 7 时 设 z x yi x y R 则 x2 y2 7 又 z 1 z 3 4 由题意可知 根据 可得 所以 综上所述 或者 z 4 点评 本小题主要 考查复数的 基本概念 复数代数形 式的乘除运 算 复数求 模等基础知 识 考查运 算求解能力 考查与转化 思想 属于 基础题 9 设复数 z lg m2 2m 2 m2 3m 2 i 若 z 是纯虚数 求实数 m 的值 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 若 z 是实数 求实数 m 的值 若 z 对应的点位于复平面的第二象限 求实数 m 的取值范围 考点 复数的代数 表示法及其 几何意义 复数的基本 概念 5085013 专题 计算题 分析 若 z 是纯虚数 通过虚部不 为 0 实部为 0 即可求实 数 m 的值 若 z 是实数 复 数的虚部为 0 即可求实 数 m 的值 若 z 对应的点位 于复平面的 第二象限 虚部大于 0 实部小于 0 即可求实数 m 的取值范 围 解答 解 z 是纯虚数 z 是 实数 m2 3m 2 0 m 1 或 m 2 z 对 应的点位于 复平面的第 二象限 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 或 点评 本题考查复 数的基本概 念 复数的 分类 考查 复数的代数 表示以及几 何意义 考 查计算能 力 10 已知复数 z 满足 z 2i 3 z 2i 3 0 求 z 在复平面上对应的点组成图形的面积 考点 复数的代数 表示法及其 几何意义 5085013 专题 数系的扩充 和复数 分析 由 z 2i 3 z 2i 3 0 变形为 z 2i 3 3 z 2i 可得 z 2i 3 上式 表示复平面 内点 z 到 2i 的距离小于 等于 3 的圆 面 再利用 圆的面积计 算公式即可 得出 解答 解 z 2i 3 z 2i 3 0 变形为 z 2i 3 3 z 2i 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 z 2i 是实数 z 2i 3 上式表示复 平面内点 z 到 2i 的距离 小于等于 3 的圆面 因此此圆的 面积为 32 9 故 z 在复平 面上对应的 点组成图形 的面积为 9 点评 本题考查了 复数的几何 意义 圆的 复数形式及 其面积计算 公式 属于 基础题 11 已知复数 z 1 i 复数 z 的共轭复数为 1 若 求实数 x y 的值 2 若 a i z 是纯虚数 求实数 a 的值 考点 复数的基本 概念 复数 的代数表示 法及其几何 意义 5085013 专题 计算题 分析 1 把 z 1 i 代入 整理后利用 复数相等的 条件列式求 解 2 把 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 z 1 i 代入 a i z 整理后由实 部等于 0 且 虚部不等于 0 列式求 a 的 值 解答 解 1 1 i 由 得 x 1 i 1 i y x 1 x 1 i y 由复数相等 定义 2 因为 a i z a 1 1 a i 是纯虚数 故 点评 本题考查了 复数的基本 概念 考查 了复数相等 的条件 是 基础题 12 已知复数 2 i 是实系数一元二次方程 x2 bx c 0 的一个根 1 求 b c 值 2 若向量 求实数 和 t 使得 考点 复数的基本 概念 相等 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 向量与相反 向量 5085013 专题 计算题 分析 1 2 i 的 共轭复数 2 i 是实系数一 元二次方程 x2 bx c 0 的 一个根 利 用一元二次 方程的根与 系数的关系 求 b c 2 根据 共线向量知 对应横纵坐 标相等建立 方程解之 解答 解 1 因为 2 i 是实 系数一元二 次方程 x2 bx c 0 的 一个根 所以 2 i 也 是实系数一 元二次方程 x2 bx c 0 的 一个根 所以 b 2 i 2 i 4 c 2 i 2 i 5 2 因为 即 4 5 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 8 t 所以 解得 t 10 点评 本题考查了 一元二次方 程的根与系 数的关系 共线向量等 知识点 13 已知复数 z m R i 是虚数单位 是纯虚数 1 求 m 的值 2 若复数 w 满足 w z 1 求 w 的最大值 考点 复数求模 复数的基本 概念 5085013 专题 计算题 分析 1 利用复 数的运算法 则把 z 化为 m2 1 m 1 i 再利用纯虚 数的定义即 可得出 m 2 利用复 数模的计算 公式即可得 出 a2 b 2 2 1 进而由 a2 1 b 2 2 0 求出 b 的 取值范围 即可得出 w 的最大值 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 解答 解 1 复数 z m2 1 m 1 i 是纯虚数 解得 m 1 m 的值是 1 2 由 1 可知 z 2i 设 w a bi a b R w 2i 1 a2 b 2 2 1 w 由 可知 b 2 2 1 1 b 3 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 w 的最大值 为 3 点评 熟练掌握复 数的运算法 则 纯虚数 的定义 复 数模的计算 公式 圆的 标准方程等 是解题的关 键 14 已知复数 Z 1 i 1 求及 w 的值 2 如果 求实数 a b 考点 复数代数形 式的混合运 算 复数求 模 5085013 专题 计算题 分析 1 利用 Z 1 i 将 化简为 1 i 利用 其求模公式 即可 2 将 化 简为 a 2 a b i 利用两复 数相等的充 要条件即可 求得实数 a b 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 解答 解 1 Z 1 i 2i 3 1 i 4 1 i 4 6 2 a 2 a b i 1 i 9 1 0 1 2 点评 本题考查复 数代数形式 的混合运算 关键在于掌 握复数的概 念与运算性 质 掌握两 复数相等的 充要条件 属于基础 题 15 设复数 z 满足 4z 2 3 i sin icos 求 z 的值和 z 的取值范围 考点 复数求模 5085013 专题 计算题 分析 设出复数 z 利用复数相 等的条件列 出方程组 求出复数 z 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 然后通过复 数的模利用 两角和与差 的三角函数 通过正弦函 数的值域 求出复数模 的范围即 可 解答 解 设 z a bi a b R 则 a bi 代入 4z 2 3 i 得 4 a bi 2 a bi 3 i 即 6a 2bi 3 i z i z i sin icos 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 1 sin 1 0 2 2si n 4 0 z 2 点评 本题考查复 数的相等的 条件的应用 复数的模以 及两角和与 差的三角函 数 正弦函 数的值域的 应用 考查 计算能力 16 已知复数 z m2 1 i m 3 i 6i I 当实数 m 为何值时 z 为纯虚数 当实数 m 为何值时 z 对应点在第三象限 考点 复数的基本 概念 5085013 专题 计算题 分析 I 复数是 纯虚数 则 实部为 0 虚 部不为 0 求 出 m 的值即 可 对应 的点在第三 象限 就是 实部和虚部 都是小于 0 求出 m 的范 围即可 解答 解 复数 z m2 1 i m 3 i 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 6i m2 3m m2 m 6 i 解得 m 0 复数 是纯虚数 若 z 所对应点在 第三象限则 解得 0 m 3 点评 本题是基础 题 考查复 数的基本概 念 复数的 分类 常考 题型 送分 题 17 课本在介绍 i2 1 的几何意义 中讲到 将复平面上的向量乘以 i 就是沿逆时针方向旋转 90 那么乘以 i 就是 沿顺时针方向旋转 90 做以下填空 已知复平面上的向量 分别对应复数 3 i 2 i 则向量对应的复数为 5 2i 那么 以线段 MN 为一边作两个正方形 MNQP 和 MNQ P 则点 P Q 对应的复数分别为 5 4i 6i 点 P Q 对应的复数分别为 1 6i 4 4i 考点 复数的基本 概念 复数 的代数表示 法及其几何 意义 5085013 专题 计算题 分析 求出向量 对应的复 数 设点 P a b Q s r 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 当 可 以看成把 顺时针旋 转 90 得到的 时 对应 的复数为 5 2i i 2 5i 可得 a 3 2 b 1 5 解得 a b 的值 即得点 P 对 应的复 数 根据 对应的复 数和 对应 的复数相等 求得 Q 对应 的复数 当 可 以看成把 逆时针旋 转 90 得到的 时 同理可 求 解答 解 向量 对应的复 数为 2 i 3 i 5 2i 设点 P a b Q s r 则 可以看 成把 逆时 针旋转 90 或把 顺时 针旋转 90 得 到的 当 可 以看成把 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 顺时针旋 转 90 得到的 时 对应 的复数为 5 2i i 2 5i a 3 2 b 1 5 a 5 b 4 P 5 4 由正方形的 性质可得 对应的复数 和 对应的 复数相等 为 2 5i s 2 2 r 1 5 s 0 r 6 Q 0 6 故点 P Q 对应的复数 分别为 5 4i 和 6i 当 可 以看成把 逆时针旋 转 90 得到的 时 对应 的复数为 5 2i i 2 5i a 3 2 b 1 5 a 1 b 6 P 1 6 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 由正方形的 性质可得 对应的复数 和 对应的 复数相等 为 2 5i s 2 2 r 1 5 s 4 r 4 Q 4 4 故点 P Q 对应的复数 分别为 1 6i 和 4 4i 故答案 5 2i 5 4i 6i 1 6i 4 4i 点评 本题考查复 数的基本概 念 复数与 复平面内对 应点之间的 关系 两个 复数代数形 式的乘法 体现了分类 讨论的数学 思想 求出 对应的复 数 是解题 的难点 18 设复数 z 若 z2 az b 1 i 求实数 a b 的值 考点 复数代数形 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 式的混合运 算 复数的 基本概念 5085013 专题 计算题 分析 先将 z 按照 复数代数形 式的运算法 则 化为代 数形式 代 入 z2 az b 1 i 再根据复 数相等的概 念 列出关 于 a b 的方 程组 并解 即可 解答 解 z 1 i z2 az b 1 i 2 a 1 i b a b a 2 i 1 i 解得 点评 本题考查了 复数代数形 式的混合运 算 复数相 等的概念 属于基础 题 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 19 设 1 求 z1 的值以及 z1的实部的取值范围 2 若 求证 为纯虚数 考点 复数代数形 式的混合运 算 5085013 专题 计算题 分析 1 设出复 数 根据两 个复数之间 的关系 写 出 z2的表示 式 根据这 是一个实数 得到这个复 数 根据条 件中所给的 取值范围 得到要求的 a 的取值 2 根据上 一问设出的 复数 表示 出 进行 复数除法的 运算 分子 和分母同乘 以分母的共 轭复数 整 理变化 得 到最简形式 得到这是一 个纯虚数 解答 解 1 设 z1 a bi a b R 且 b 0 则 z2是实数 b 0 有 a2 b2 1 即 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 z1 1 可得 z2 2a 由 1 z2 1 得 1 2a 1 解得 即 z1的实部 的取值范围 是 2 a b 0 为纯虚 数 点评 本题考查复 数的加减乘 除运算 是 一个综合题 解题时的运 算量比较大 又用到复数 的有关概念 注意解题时 的格式 20 已知复数 z m m 1 m2 2