七级数学思维探究（）认识三角形（含答案）.docx

年，在喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像，这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的创始人之一罗巴切夫斯基（），他发现了一个逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美的新的几何世界非欧几何他为非欧几何的存在和发展奋斗了多年，被誉为“几何学中的哥白尼”24认识三角形解读课标从房屋的顶梁到自行车的三脚架，从起重机的三角形吊臂再到爱因妥芬（心电图的发明者）三角形，生活中处处可看到三角形，三角形是最简单、最基本的几何图形，它不仅是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用认识三角形，就是认识三角形的概念及基本要素边与角，与边与角相关的知识有：三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算，图形的计数等方面有广泛的应用代数化及分类讨论法是解与三角形基本要素相关问题的重要方法代数化即用方程、不等式解边与角的计算及简单推理题，分类讨论即按边或角对三角形进行分类问题解决例1 在中，高和所在直线想交于点，若不是直角三角形，且，则_度试一试 因三角形的高不一定在三角形内部，这样形状应分两种情况讨论例2 如图，将纸片沿着折叠压平，则（ ）A B C D试一试 在折叠动态变化中，不变关系是，这是解本例的关键例3 （1）如图，于，平分，试探寻与、的关系（2）如图，若将点在上移动到，于，其他条件不变，那么与、是否还有（1）中的关系？说明理由 （3）请你提出一个类似的问题试一试 对于（2），通过作辅助线，将问题转化为（1）例4 如图，已知为轴负半轴上一点，为轴正半轴上一点，（1）求的面积；（2）如图，若，作的平分线交于，交于，判断与的大小关系，并证明你的结论；（3）如图，若，点在轴正半轴上运动，的平分线交的延长线于点，在点的运动过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由试一试 对于（3），能否用的式子表示？由数到形，分解出基本图形是解题的关键例5 在三角形纸片内有个点，连同三角形纸片的个顶点，共有个点，在这些点中，没有三点在一条直线上问：以这个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？解法一 我们不妨先退一步，考察三角形内有一个点、两个点、三个点的简单情形，有下表所示的关系：三角形的点数可连线得到小三角形的个数不难发现，三角形内有一个点时，连线可得到个小三角形，以后每增加一个点，这个点必落在已连好的某一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有个点时，连接可得到小三角形的个数为：（个）解法二 整体核算法设连线后把原三角形分割成个小三角形，则它们的内角和为，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供的内角，个点共提供内角，于是得方程，解得，即这个点能将原三角形纸片分割成个小三角形角平分线角平分线是联系角与角之间关系的纽带，当角平分线与三角形相遇可生成内涵上有关联性、解法上有共通性的组图例6 （1）如图，已知中的两内角平分线交于点，两外角平分线交于点，一内角平分线与一外角平分线交于点试分别探究、与关系；（2）如图，在凹四边形中，已知与的平分线交于点，求证：分析与解 （1），（2）凹四边形形似“规形”，易证图可分解为两个“规形”，、分别平分、，可设，由（1）得，-得，数学冲浪知识技能广场1一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点恰好放在等腰直角三角板的斜边上，与交于点若，则_度2一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数为_3如图，中，剪去后，得到四边形，则_4如图，在中，的平分线与的平分线交于点，得；的平分线与的平分线相交于点，得；，的平分线与的平分线相交于点，得，则_5如图，中，、的外角分别记为、若，则（ ）A B C D6如图，是中的平分线，是的邻补角的平分线若，则（ ）A B C D7在等腰中，一边上的中线将这个三角形的周长分为和两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A B C或 D或8如图，中，若，则等于（ ）A B C D9如图，已知射线与射线互相垂直，、分别为、上一动点，、的平分线交于问：、在、上运动过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明理由10如图，已知中，为边上一点，为直线上一点，且（1）求证：，（2）如图，若在的反向延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？证明你的结论思维方法天地11在中，高、交于，且不与、重合，则的度数为_12如图，已知，平分，则_13如图，平分交于，平分交于，与相交于，如果，那么的度数为_14如图，已知中，平分，、分别为的两外角的平分线，给出下列结论：；其中正确结论的个数是（ ）A B C D15如图，又的平分线与的平分线相交于点，则为（ ）A B C D16如图，中，的平分线交于点，平分给出下列结论：；其中正确的结论是（ ）A B C D17平面内的四条线段、首尾顺次连接，已知，（1）如图，若与的平分线交于点，求的值；（2）如图，点在的延长线上，的平分线和的平分线交于点，求的值18如图，在中，平分交于，延长至，平分，且、的延长线交于点，若，（1）求证：；（2）求的度数；（3）若在图中作与的平分线交于，作与的平分线交于，作与的平分线交于，依此类推，与的平分线交于，请用含有的式子表示的度数应用探究乐园19把一副学生用三角板（、和、）如图放置在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，直角边与轴重合，斜边与轴重合，直角边交轴于，斜边交轴于，是中点，（1）把图中的绕点顺时针旋转度得图，此时的面积是，的面积是，分别求、三点的坐标；（2）如图，设的平分线和的平分线交于点，的平分线和的平分线交于点，当绕点转动时，的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请求出其值20问题提出 以边形的他个顶点和它内部的个点，共个点作为顶点，可把原边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究 为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以的三个顶点和它内部的个点，共个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？如图，显然，此时可把分割成个互不重叠的小三角形探究二：以的三个顶点和它内部的个点，共个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图的内部，再添加个点，那么点的位置会有两种情况：一种情况，点在图分割成的某个小三角形内部，不妨假设点在内部，如图；另一种情况，点在图分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点在上，如图显然，不管哪种情况，都可把分割成个互不重叠的小三角形探究三：以的三个顶点和它内部的个点，共个点为顶点，可把分割成_个互不重叠的小三角形，并在图中画出一种分割示意图探究四：以的三个顶点和它内部的个点，共个顶点，可把分割成_个互不重叠的小三角形探究拓展：以四边形的个顶点和它内部的个点，共个顶点，可把四边形分割成_个互不重叠的小三角形，问题解决 以边形的挖个顶点和它内部的个点，共个顶点，可把分割成_个互不重叠的小三角形实际应用 以八边形的个顶点和它内部的个点，共个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）24认识三角形问题解决例l 当为锐角三角形时，；当为钝角三角形时，例2 B ，又，得，化简得例3 （1）；（2）过作于，则；（3）略例4 （1）（2）可证明（3），可证明为定值数学冲浪1 2 3 4 5A 6C 7C 8C9，为一定值10（