线性代数考试复习提纲、知识点、例题

线性代数考试复习提纲 知识点 例题线性代数考试复习提纲 知识点 例题 一 行列式的计算 重点考四阶行列式 一 行列式的计算 重点考四阶行列式 1 利用行列式的性质化成三角行列式 利用行列式的性质化成三角行列式 行列式的性质可概括为五条性质 四条推论 即七种变形手段行列式的性质可概括为五条性质 四条推论 即七种变形手段 转置 交换 倍乘 提取 拆分 合并 倍加 转置 交换 倍乘 提取 拆分 合并 倍加 三个为 三个为 0 两两 行 列 相同 成比例 一行 列 全为行 列 相同 成比例 一行 列 全为 0 2 行列式按行 列 展开定理降阶 行列式按行 列 展开定理降阶 行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘 积之和 即积之和 即 1122 iiiiinin Da Aa Aa A 1 2 in 1122 iiiinini Da Aa Aa A 1 2 in 例 1 计算行列式 2240 4135 3123 2051 二 解矩阵方程二 解矩阵方程 矩阵方程的标准形式 矩阵方程的标准形式 AXB XAB AXBC 若系数矩阵可逆 则若系数矩阵可逆 则 1 XA B 1 XBA 11 XA CB 切记不能写成或 11 XA B C C X AB 求逆矩阵的方法 求逆矩阵的方法 1 待定系数法 待定系数法 ABEBAE 或 2 伴随矩阵法 伴随矩阵法 1 1 AA A 其中其中叫做叫做的伴随矩阵 它是的伴随矩阵 它是的每一行的元素的代数余的每一行的元素的代数余A AA 子式排在相同序数的列上的矩阵 子式排在相同序数的列上的矩阵 11211 12222 12 n n nnnn AAA AAA A AAA 3 初等变换法 初等变换法 1 AEEA 初等行变换 例 2 解矩阵方程 31561416 5278910 X 例 3 解矩阵方程 其中 XAXB 010 111 101 A 11 20 53 B 三 三 解齐次或非齐次线性方程组解齐次或非齐次线性方程组 设设 元齐次线性方程组元齐次线性方程组有非零解有非零解 ij m n Aa n0AX r An 元齐次线性方程组元齐次线性方程组只有零解只有零解 n0AX r An 当当时 时 元齐次线性方程组元齐次线性方程组只有零解只有零解 mn n0AX 0A 当当时 时 元齐次线性方程组元齐次线性方程组有非零解有非零解 mn n0AX 0A 当当时 齐次线性方程组一定有非零解 时 齐次线性方程组一定有非零解 mn 定义 设齐次线性方程组定义 设齐次线性方程组的解的解满足 满足 0AX 1 t 1 线性无关 线性无关 1 t 2 的每一个解都可以由的每一个解都可以由线性表示 线性表示 0AX 1 t 则则叫做叫做的基础解系 的基础解系 1 t 0AX 定理定理 1 设 设 齐次线性方程组 齐次线性方程组 若 若 则该方程组 则该方程组 m n A 0AX r Arn 的基础解系一定存在 且每一个基础解系中所含解向量的的基础解系一定存在 且每一个基础解系中所含解向量的 个数都等于个数都等于 nr 齐次线性方程组的通解齐次线性方程组的通解 1 1 n rn r xkk 1 n r kkR 设设 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组有解 ij m n Aa nAXB r Ar A 唯一解唯一解 r Ar An 无数解无数解 r Ar An 无解无解 r Ar A 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解 1 1 n rn r xkk 1 n r kkR 例 4 求齐次线性方程组的通解 1234 1234 1234 20 20 2220 xxxx xxxx xxxx 例 5 求非齐次线性方程组的通解 1234 1234 1234 31 3344 5980 xxxx xxxx xxxx 四 四 含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论 例 6 当 为何值时 齐次线性方程组有非零解 并求 0 0 20 xyz xyz xyz 解 例 7 已知线性方程组 问当 为何值时 它有唯 123 123 2 123 22 2 2 xxx xxx xxx 一解 无解 无穷多解 并在有无穷多解时求解 五 向量组的线性相关性五 向量组的线性相关性 线性相关线性相关中至少存在一个向量能由其余中至少存在一个向量能由其余 12 s 12 2 s s 向量线性表示 向量线性表示 存在不全为存在不全为 0 的数的数使得使得 12 s k kk 1122 0 ss kkk 有非零解有非零解 有非零解有非零解 1 2 12 0 s s k k k 列 1 2 12 0 s s k kk 行 有非零解有非零解 1 2 12 0 s s k k k 12 s rs 12 s rs 线性无关线性无关中任意一个向量都不能由其余中任意一个向量都不能由其余 12 s 12 2 s s 向量线性表示 向量线性表示 若若 则 则 1122 0 ss kkk 12 0 s kkk 只有零解只有零解 只有零解只有零解 1 2 12 0 s s k k k 列 1 2 12 0 s s k kk 行 12 s rs 1 2 12 0 s s k k k 12 s rs 特殊的 特殊的 个个 维向量维向量线性相关线性相关或或 nn 12 n 12 0 n 1 2 0 n 个个 维向量维向量线性无关线性无关或或 nn 12 n 12 0 n 1 2 0 n 例 8 已知向量组 1 2 1t 2 2 0t 3 1 1 1 讨论 使该向量组 1 线性相关 2 线性无关t 六 六 求向量组的秩 极大无关组 并将其余向量用极大无关求向量组的秩 极大无关组 并将其余向量用极大无关 组线性表示组线性表示 设向量组设向量组 若从 若从中选出中选出 个向量构成向量组个向量构成向量组 12 s A Ar 满足 满足 12 0 r iii A 1 线性无关线性无关 0 A 2 中的每一个向量都能由中的每一个向量都能由线性表示 线性表示 A 0 A 条件 条件 2 换一句话说 换一句话说的任意的任意个向量 若有的话 都线性个向量 若有的话 都线性A1r 相关 或者说从相关 或者说从中向中向任意添加一个向量 若有的话 任意添加一个向量 若有的话 所得的向 所得的向A 0 A 量组都线性相关 量组都线性相关 则则叫做叫做的极大线性无关向量组 简称极大无关组 的极大线性无关向量组 简称极大无关组 0 AA 向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩 记作记作 12 s rr 求向量组的秩的方法 求向量组的秩的方法 1 扩充法扩充法 2 子式法子式法 1 2 m m n 12 m n m 最高阶非 0 子式的阶数就是矩阵的秩 也就是这个向量组 的秩 并且这个子式的行 列 对应的原向量组的向量就 是这个向量组的一个极大无关组 3 初等变换法初等变换法 同法二构成矩阵 对矩阵进行初等变换 例 9 设向量组 1234 1 2 1 3 4 1 5 6 1 3 4 7 2 1 2 3 求 1 向量组的秩 2 向量组的一个极大线性无关组 并把其余向量用这个极 大线性无关组线性表示 七 七 相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题 1 P APB 相似矩阵的性质相似矩阵的性质 1 相似矩阵有相同的特征多项式 从而有相同的特征值 行列式 相似矩阵有相同的特征多项式 从而有相同的特征值 行列式 迹 特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件 迹 特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件 2 相似矩阵有相同的秩 秩相等是方阵相似的必要而非充分条件 相似矩阵有相同的秩 秩相等是方阵相似的必要而非充分条件 3 相似矩阵有相同的可逆性 当它们可逆时 它们的逆矩阵也相相似矩阵有相同的可逆性 当它们可逆时 它们的逆矩阵也相 似 似 4 若 若与与相似 则相似 则与与相似 相似 则 则与与相似 相似 AB k A k BkN A B 11111 kkk BP APP APP AP P APP A P 与与相似相似 n A 1 2 n 有有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 且以它们为列向量 且以它们为列向量 n An 12 n p pp 组的矩阵组的矩阵使使 分别为与分别为与对应的对应的P 1 P AP 12 n 12 n p pp 的特征值 的特征值 n A 若若有有 个互不相等的特征值个互不相等的特征值 则 则一定与一定与 n An 12 n n A 相似 相似 1 2 n 与与相似相似对应于对应于的每个特征值的线性无关的特征向量的个数的每个特征值的线性无关的特征向量的个数 n A n A 等于该特征值的重数 等于该特征值的重数 其中其中 为为 的重数的重数 nrEAk k 例 10 设矩阵与相似 124 22 421 Ax 500 00 004 By 1 求 x 与 y 2 求可逆矩阵 使 P 1 P APB 例 11 设 问 为何值时 矩阵能相似对角化 001 11 100 aAaA 例 12 设三阶矩阵的特征值为 对应的特征A 1 1 2 2 3 3 向量依次为 求矩阵 1 1 1 1 2 1 2 4 3 1 3 9 A 例 13 设三阶实对称矩阵的特征向值 与特征