北京市各地2015届高三上学期考试数学理试题分类汇编：复数、推理与证明

北京市各地 2015 届高三上学期考试数学理试题分类汇编 复数 推理与证明 一 复数 1 昌平区 2015 届高三上学期期末 设复数 则 1 2iz z 2 朝阳区 2015 届高三上学期期末 设 为虚数单位 则复数在复平面内对应的点所在的i 1 i i z 象限是 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 大兴区 2015 届高三上学期期末 如图 在复平面内 复数和对应的点分别是和 1 z 2 zAB 则等于 2 1 z z A B C D 12i 2i 1 2i 2i 4 东城区 2015 届高三上学期期末 在复平面内 复数对应的点位于 i 1 i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 5 丰台区 2015 届高三上学期期末 在复平面内 复数z1 z2对应的点分别是A B 如图所示 则复数的值是 1 2 z z 6 海淀区 2015 届高三上学期期末 如图所示 在复平面内 点对应的复数为 则复数Az 2 z A 1 2O y x A B C D 34i 54i 54i 34i 7 石景山区 2015 届高三上学期期末 若复数 则 iZ 1 1 iZ 3 2 1 2 Z Z 8 西城区 2015 届高三上学期期末 复数 则 2i 12i z z 9 北京四中 2015 届高三上学期期中 已知 i 是虚数单位 则 是 a b R1ab 的 2 i 2iab A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 10 东城区示范校 2015 届高三上学期综合能力测试 复数的虚部为 i i 2 21 11 海淀区 2015 届高三上学期期中 设复数 则 i 1 i z z 二 推理与证明 1 昌平区 2015 届高三上学期期末 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝 以下四人中只有一人说真话 只有一人偷了珠宝 甲 我没有偷 乙 丙是小偷 丙 丁是小偷 丁 我没有偷 根据以上条件 可以判断偷珠宝的人是 A 甲 B 乙 C 丙 D 丁 2 朝阳区 2015 届高三上学期期末 有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时 1 点响 1 声 2 点响 2 声 3 点响 3 声 12 点响 12 声 12 时制 且每次报时时相邻两次响铃之间 的间隔均为 1 秒 在一次大钟报时时 某人从第一声铃响开始计时 如果此次是 12 点的报时 则此人至少需等待 秒才能确定时间 如果此次是 11 点的报时 则此人至少需等待 秒才能确定时间 3 海淀区 2015 届高三上学期末 已知集合 集合 123 3 n Sa a aan 且满足 与 Tx yxS yS xy 1 2 3 ij a aS i jn ij ij a aT 恰有一个成立 对于定义 ji a aT T 1 0 T a bT da b b aT 1211 TiTiTiTiiTiiTin lada ada ada ada ada a 1 2 3 in 若 求的值及的最大值 4n 123224 a aa aa aT 2 T la 4 T la 从中任意删去两个数 记剩下的个数的和为 求证 12 TTTn lalala 2n M 1 5 3 2 Mn n 对于满足 的每一个集合 集合中是否都存在三个 1 Ti lan 1 2 3 in TS 不同的元素 使得恒成立 并说明理由 e f g 3 TTT de fdf gdg e 4 石景山区 2015 届高三上学期末 对于数集 其中 1 21n xxxX n xxx 21 0 2 n 定义向量集 若对任意Ya 1 XtXstsaaY 存在Ya 2 使得0 21 aa 则称X具有性质P 判断是否具有性质P 2 1 1 若2 x 且具有性质P 求x的值 2 1 1 x 若X具有性质P 求证 X 1 且当1 n x时 1 1 x 参考答案 一 复数 1 2 D 3 C 4 A 5 6 D51 i 7 8 1 9 A 10 1 11 12i 2 2 二 推理 1 A 2 11 11 3 解 因为 123224 a aa aa aT 所以 故 21 0 T da a 23 0 T da a 24 1 T da a 2 1 T la 1 分 因为 所以 24 a aT 42 0 T da a 所以 4414243 1 0 12 TTTT lada ada ada a 所以 当时 取得最大值 3 分 244143 a aa aa aT 4 T la2 由的定义可知 T da b 1 TT da bdb a 所以 12211331 1 n TiTTTT i lada ada ada ada a 1111 TnTnTnnTnn da ada adaada a 6 分 2 1 1 2 n Cn n 设删去的两个数为 则 TkTm lala 1 1 2 TkTm lalan nM 由题意可知 且当其中一个不等式中等号成立 不放设 1 1 TkTm lanlan 时 1 Tk lan 1 Tkm da a 0 Tmk daa 所以 7 分 2 Tm lan 所以 1223 TkTm lalannn 所以 即 1 1 23 2 TkTm lalan nMn 1 5 3 2 Mn n 8 分 对于满足 的每一个集合 集合中都存在三个不同 1 Ti lan 1 2 3 in TS 的元素 使得恒成立 理由如下 e f g 3 TTT de fdf gdg e 任取集合 由 可知 中存在最T 1 Ti lan 1 2 3 in 12 TTTn lalala 大数 不妨记为 若最大数不唯一 任取一个 T lf 因为 1 T lfn 所以 存在 使得 即 eS 0 T df e e fT 由可设集合 1 T lf GxSf xT 则中一定存在元素使得 否则 与是最大数矛Gg 1 T dg e 1 TT lelf T lf 盾 所以 即 1 T df g 1 T dg e 3 TTT de fdf gdg e 14 分 4 具有性质P 2 分 2 1 1 选取 Y 中与垂直的元素必有形式 1 2 ax 1 a 1 b 所以 从而 5 分 2xb 4x III 证明 取 设满足 111 ax xY 2 as tY 12 0aa 由得 所以s t异号 1 0s t x 0s t 因为是 X 中唯一的负数 所以s t中之一为 另一为 1 1 1 故 8 分 1X 假设 其中 则 1 k x