泰勒公式及其应用典型例题_第1页
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泰勒公式及其应用泰勒公式及其应用 常用近似公式 将复杂函数用简单 的一次多项式函数近似地表示 这是一个进步 当然这种近似表示式 还较粗糙 尤其当较大时 从下图可看出 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进 1 1 提高近似程度 其可能的途径是提高多项式的次数 提高多项式的次数 2 2 任何一种近似 应告诉它的误差 否则 使用者 心中不安 将上述两个想法作进一步地数学化 对复杂函数 想找多项式来近似表示它 自然地 我们我们 希望希望尽可能多地反映出函数所具有的性态 如 在某 点处的值与导数值 我们还关心我们还关心的形式如何确定 近似 所产生的误差 问题一问题一 设在含的开区间内具有直到阶的导数 能否找出一个 关于的 次多项式 近似 问题二问题二 若问题一的解存在 其误差的表达式是什么 一 一 求解问题一求解问题一 问题一的求解就是确定多项式的系数 上述工整且有规律的求系数过程 不难归纳出 于是 所求的多项式为 2 二 二 解决问题二解决问题二 泰勒泰勒 Tayler Tayler 中值定理中值定理 若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数 则当时 可以表示成 这里是与之间的某个值 先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路 先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路 这表明 只要对函数 及 在与之间 反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作 证明 以与为端点的区间或记为 函数 在 上具有直至 阶的导数 且 函数 在 上有直至阶的非零导数 且 于是 对函数 及 在 上反复使用 次柯西中值定理 有 三 几个概念三 几个概念 1 1 此式称为函数按的幂次展开到 阶的泰勒公式 或者称之为函数在点 处的 阶泰勒展开式 当 时 泰勒公式变为 这正是拉格朗日中值定理的形式 因此 我们也称泰勒公式中的余项 为拉格朗日余项拉格朗日余项 2 2 对固定的 若 有 此式可用作误差界的估计误差界的估计 故 表明 误差是当 时较 高阶无穷小 这一余 项表达式称之为皮亚诺余项皮亚诺余项 3 3 若 则在 与 之间 它表示成形式 泰勒公式有较简单的形式 麦克劳林公式麦克劳林公式 近似公式 误差估计式 例 1 求的麦克劳林公式 解 于是 有近似公式 其误差的界为 我们有函数 的一些近似表达式 1 2 3 在 matlab 中再分别作出这些图象 观察到它们确实在逐渐逼近逐渐逼近指数函 数 例 2 求 的 阶麦克劳林公式 解 它们的值依次取四个数值 其中 同样 我们也可给出曲线 的近似曲线如下 并用 matlab 作 出它们的图象 例 3 求的麦克劳林展开式的前四项 并给出皮亚诺余项 解 于是 利用泰勒展开式求函数的极限 可以说是求极限方法中的 终极武终极武 器器 使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限 例 4 利用泰勒展开式再求极限 解 注解 现
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