数列通项公式方法(大全)很经典

资料 1 数列通项公式的十种求法 数列通项公式的十种求法 1 1 公式法 构造公式法 公式法 构造公式法 例例 1 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 1 23 2n nn aa 1 2a n a 解 两边除以 得 则 故数列 1 23 2n nn aa 1 2n 1 1 3 222 nn nn aa 1 1 3 222 nn nn aa 是以为首项 以为公差的等差数列 由等差数列的通项公式 得 2 n n a 1 2 2 2 a 1 1 2 3 所以数列的通项公式为 3 1 1 22 n n a n n a 31 2 22 n n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 说明数 1 23 2n nn aa 1 1 3 222 nn nn aa 列是等差数列 再直接利用等差数列的通项公式求出 进而求出数 2 n n a3 1 1 22 n n a n 列的通项公式 n a 2 2 累加法 累加法 例例 2 2 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 211 nn aana n a 解 由得则 1 21 nn aan 1 21 nn aan 11232211 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 nnnnn aaaaaaaaaa nn nnn nn n nn n 所以数列的通项公式为 n a 2 n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 进而 1 21 nn aan 1 21 nn aan 求出 即得数列的通项公式 11232211 nnnn aaaaaaaaa n a 变式 变式 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 313 n nn aaa n a 资料 3 3 累乘法 累乘法 例例 3 3 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 1 53 n nn anaa n a 解 因为 所以 则 故 11 2 1 53 n nn anaa 0 n a 1 2 1 5n n n a n a 132 1 1221 1221 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 5 2 2 1 5 2 2 1 5 2 1 1 5 3 2 1 3 2 53 3 25 nn n nn nn nnn n n n aaaa aa aaaa nn n n n 所以数列的通项公式为 n a 1 1 2 3 25 n n n n an 评注 本题解题的关键是把递推关系转化为 进而 1 2 1 5n nn ana 1 2 1 5n n n a n a 求出 即得数列的通项公式 132 1 1221 nn nn aaaa a aaaa n a 变式 变式 已知数列满足 求的 n a 11231 123 1 2 nn aaaaanan n a 通项公式 4 4 待定系数法 待定系数法 例例 4 4 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 23 56 n nn aaa n a 解 设 1 1 52 5 nn nn axax 将代入 式 得 等式两边消去 1 23 5n nn aa 1 23 55225 nnn nn axax 得 两边除以 得代入 式得2 n a 1 3 5525 nnn xx 5n352 1 xxx 则 1 1 52 5 nn nn aa 资料 由及 式得 则 则数列是以 1 1 56510a 50 n n a 1 1 5 2 5 n n n n a a 5 n n a 为首项 以 2 为公比的等比数列 则 故 1 1 51a 1 52 nn n a 1 25 nn n a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 23 5n nn aa 1 1 52 5 nn nn aa 从而可知数列是等比数列 进而求出数列的通项公式 最后再求出数列 5 n n a 5 n n a 的通项公式 n a 变式 变式 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 35 241 n nn aaa n a 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 2 11 23451 nn aanna n a 5 5 对数变换法 对数变换法 例例 5 5 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 5 1 2 3n nn aa 1 7a n a 解 因为 所以 在式两边取 5 11 2 37 n nn aaa 1 00 nn aa 5 1 2 3n nn aa 常用对数得 1 lg5lglg3lg2 nn aan 设 1 lg 1 5 lg nn ax nyaxny 11 将 式代入式 得 两边消去 11 5lglg3lg2 1 5 lg nn anx nyaxny 并整理 得 则5lg n a lg3 lg255x nxyxny 故 lg35 lg25 xx xyy lg3 4 lg3lg2 164 x y 代入式 得 11 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg 1 5 lg 41644164 nn anan 12 资料 由及式 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg1lg710 41644164 a 12 得 lg3lg3lg2 lg0 4164 n an 则 1 lg3lg3lg2 lg 1 4164 5 lg3lg3lg2 lg 4164 n n an an 所以数列是以为首项 以 5 为公比的等 lg3lg3lg2 lg 4164 n an lg3lg3lg2 lg7 4164 比数列 则 因此 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg lg7 5 41644164 n n an 11 1 11111 1 6164444 11111 1 16164444 11111 1 16164444 55 51 4 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg lg7 5 4164464 lg7lg3lg3lg2 5lg3lg3lg2 lg 7 332 5lg 332 lg 7 332 5lg 332 lg 733 nn n n n n n n n n n n an 1 1 151 164 54151 51 164 2 lg 732 n n nn n 则 1 1 54151 5 164 732 n n nn n a 评注 本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为 5 1 2 3n nn aa 从而可知数列 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg 1 5 lg 41644164 nn anan 是等比数列 进而求出数列的通 lg3lg3lg2 lg 4164 n an lg3lg3lg2 lg 4164 n an 项公式 最后再求出数列的通项公式 n a 6 6 数学归纳法 数学归纳法 例例 6 6 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 22 8 1 8 21 23 9 nn n aaa nn n a 解 由及 得 1 22 8 1 21 23 nn n aa nn 1 8 9 a 资料 21 22 32 22 43 22 8 1 1 88 224 2 1 1 2 1 3 99 2525 8 2 1 248 348 2 2 1 2 23 2525 4949 8 3 1 488 480 2 3 1 2 33 4949 8181 aa aa aa 由此可猜测 往下用数学归纳法证明这个结论 2 2 21 1 21 n n a n 1 当时 所以等式成立 1n 2 1 2 2 1 1 18 2 1 1 9 a 2 假设当时等式成立 即 则当时 nk 2 2 21 1 21 k k a k 1nk 1 22 8 1 21 23 kk k aa kk 2 222 22 22 222 22 222 22 2 2 2 21 18 1 21 21 23 21 1 23 8 1 21 23 21 23 23 8 1 21 23 21 23 21 21 23 23 1 23 2 1 1 1 2 1 1 kk kkk kkk kk kkkk kk kkk kk k k k k 2 由此可知 当时等式也成立 1nk 根据 1 2 可知 等式对任何都成立 nN 评注 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项 进而猜出数列的通 项公式 最后再用数学归纳法加以证明 7 7 换元法 换元法 资料 例例 7 7 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 1 14124 1 16 nnn aaaa n a 解 令 则124 nn ba 2 1 1 24 nn ab 故 代入得 2 11 1 1 24 nn ab 1 1 14124 16 nnn aaa 22 1 111 1 14 1 241624 nnn bbb 即 22 1 4 3 nn bb 因为 故1240 nn ba 11 1240 nn ba 则 即 1 23 nn bb 1 13 22 nn bb 可化为 1 1 3 3 2 nn bb 所以是以为首项 以为公比的等比数 3 n b 11 31243124 132ba 2 1 列 因此 则 即 得 12 11 32 22 nn n b 2 1 3 2 n n b 2 1 124 3 2 n n a 2 111 3 423 nn n a 评注 本题解题的关键是通过将的换元为 使得所给递推关系式转化124 n a n b 形式 从而可知数列为等比数列 进而求出数列的通项公 1 13 22 nn bb 3 n b 3 n b 式 最后再求出数列的通项公式 n a 8 8 不动点法 不动点法 例例 8 8 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2124 4 41 n n n a aa a n a 解 令 得 则是函数 2124 41 x x x 2 420240 xx 12 23xx 的两个不动点 因为 2124 41 x f x x 资料 所以数列 1 1 2124 2 24121242 41 1326213 2124 321243 41 92793 3 41 n nnnnnn n nnnnn n a aaaaaa a aaaaa a 是以为首项 以为公比的等比数列 故 2 3 n n a a 1 1 242 2 343 a a 9 13 1 213 2 39 n n n a a 则 1 1 3 13 2 1 9 n n a 评注 本题解题的关键是先求出函数的不动点 即方程的 2124 41 x f x x 2124 41 x x x 两个根 进而可推出 从而可知数列为等比 12 23xx 1 1 2213 393 nn nn aa aa 2 3 n n a a 数列 再求出数列的通项公式 最后求出数列的通项公式 2 3 n n a a n a 例例 9 9 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 72 2 23 n n n a aa a n a 解 令 得 则是函数的不动点 72 23 x x x 2 2420 xx 1x 31 47 x f x x 因为 所以 1 7255 11 2323 nn n nn aa a aa 2 111 3 423 nn n a 评注 本题解题的关键是通过将的换元为 使得所给递推关系式转化124 n a n b 形式 从而可知数列为等比数列 进而求出数列的通项公 1 13 22 nn bb 3 n b 3 n b 式 最后再求出数列的通项公式 n a 课后习题 课后习题 1 数列的一个通项公式是 25 2 211 A B C D 33 n an 31 n an 31 n an 33 n an 资料 2 已知等差数列的通项公式为 则它的公差为 n a32 n an A 2 B 3 C D 2 3 3 在等比数列中 则 n a 8 16 41 aa 7 a A B C D 4 4 2 2 4 若等比数列的前项和为 且 则 n a n S10 10 S30 20 S 30 S 5 已知数列通项公式 则该数列的最小的一个数是 n a310 2 nnan 6 在数列 an 中 且 则数列的前 99 项和等于 1 1 2 a 1 1 n n n na anN na 1 n a 7 已知是等差数列 其中 公差 n a 1 31a 8d 1 求数列的通项公式 n a 2 数列从哪一项开始小于 0 n a 3 求数列前项和的最大值 并求出对应的值 n ann 8 已知数列的前项和为 n a13 2 nnSn 1 求 的值 1 a 2 a 3 a 2 求通项公式 n a 9 等差数列中 前三项分别为 前项和为 且 n a45 2 xxxn n S2550 k S 1 求和的值 xk 2 求 n T n SSSS 1111 321 资料 数列数列 等差数列与等比数列的有关知识比较一览表等差数列与等比数列的有关知识比较一览表 等 差 数 列等 比 数 列 递 推 关 系 121nn aaaa nN 1nn aad nN 11nnnn aaaa 2n 12 1 n n aa aa nN 1n n a q a 0 qnN 1 1 nn nn aa aa 2 nnN 通 项 1 1 n aand nN n apnq p qnN 为常数 1 1 n n qaa nN n n qpa 0 0 p qqpnN 是常数 求 和 公 式 1 2 nn Sn aa nN 1 1 2 n n n Snad nN 2 n SAnBn A BnN 是常数 求积公式 n n n i i aaa 1 2 1 nN 1 1 1 1 1 1 n n na q S aq q q nN 1 1 1 n n na q S AAqq nN 0 A 主 要 若 p q s r p q s rN 则 pqsr aaaa 对任意 c 0 c1 为等比数列 n a c 11 2 2 nnn aaa nNn 若 分别为两等差数列 则 n a n b 为等差数列 nn ab 若 p q s r p q s rN 则 rsqp aaaa 对任意 c 0 c1 若 an恒大于 0 则为等差 logc n a 数列 2 2 11 nNnaaa nnn 若 为两等比数列 则为等比数列 n a n b nnb a 若 an恒大于 0 则数列为等比数列 n n i i a 1 若为正项等差自然数列 则为等比数列 n b n b a 资料 性 质 数列为等差数列 n S n 若为正项等差自然数列 则为等 n b n b a 差数列 为等差数列 232nnnnn SSSSS n 2m m n 2 nn mm SSS nnm N m nmn SSSmnd 若则 mn SSmn 0 m n S 为等比数列 232nnnnn SSSSS n 2m m n mn mn mi i n n i i aa 2 11 N 0 p apN mn m nmnnm SSq SSq S 若 2121 nmaaaaaa nm 则 nm i i a 1 1 重 要 性 质 若p q 且 pq aq ap N qp 则 0 p q a 若且 则 pSqS qp qp p q p q Spq N 1 1 2mnmm mmn qqqSS 1 1 2nmnn n qqqS 若 q 1 则 n n Slim 1 1 a S q 求数列求数列 a an n 通项公式的方法通项公式的方法 资料 1 1 型型 1 n a n a nf 累加法累加法 n a n a 1 n a 1 n a 2 n a 2 a 1 a 1 a 1 nf 2 nf 1 f 1 a 例 1 已知数列 满足 1 n N n a 1 a 1 n a n a n 2 求 n a 解 n a n a 1 n a 1 n a 2 n a 2 a 1 a 1 a 1 1 2 n2 2 n1 2 1 21 21 n n 2 1 n N n a n 2 2 2 p p q q 型 型 p p q q为常数 为常数 1 n a n a 方法方法 1 再根据等比 1 n a 1 p q 1 p q ap n 数列的相关知识求 n a 2 1 n a n a 1 nn aap 再用累加法求 n a 3 先用累加法求再求 1 1 n n p a n n p a 1 n p q n n p a n a 例 3 已知 的首项 a a 为常数 n a 1 a 2 1 n N n 2 求 n a 1 n a n a 解 设 2 则 1 n a 1 n a 1 2 1 n a 1 n a 为公比为 2 的等比数列 1 n a 1 a 1 n a 1 2 n a 1 1 n a 1 2 n 3 3 型型 1 ng a a n n 累乘法累乘法 n a 1 n n a a 2 1 n n a a 1 2 a a 1 a 例 2 已知数列 满足 n N 1 求 n an a a n n 1 1 a n a 解 n a 1 n n a a 2 1 n n a a 1 2 a a 1 a n 1 n 2 1 1 n 1 n 1 n N n a 4 4 p p 型 型 p p为常数 为常数 1 n a n a nf 方法方法 变形得 1 1 n n p a n n p a 1 n p nf 则 可用累加法求出 由此求 n n p a n a 例 4 已知 满足 2 2 求 n a 1 a 1 n a n a 1 2 n n a 解 1 1 1 2 n n a n n a 2 为等差数列 n n a 2 n n a 2 nn a 1 2 1 n n a n 2 资料 5 5 p p q q 型 型 p p q q为常数 为常数 2 n a 1 n a n a 特征根法特征根法 qpxx 2 1 时 21 xx n a 1 C n x1 2 C n x2 2 时 n 21 xx n a 1 C 2 C n x1 例 5 数列 中 2 3 且 n a 1 a 2 a 2 n N n 2 求 n a 1 n a 1 n a n a 解 2 1 n a n a 1 n a 12 2 xx1 21 xx n n n a 1 C 2 C n 1 1 C 2 C 32 2 21 21 CC CC 1 1 2 1 C C 1 Nnnan 6 6 已知已知 求 求 型型 n S n a 方法方法 注意是否符合 n a n S 1 n S 1 a 例 6 设为 的前 n 项和 1 求 n N n S n a n S 2 3 n a n a 解 1 n N n S 2 3 n a 当 n 1 时 1 1 a 2 3 1 a 3 1 a 当 n 2 时 n a n S 1 n S 1 1 2 3 n a 2 3 1 n a 3 n N n a 1 n a n a n 3 求数列求数列 a an n 的前的前 n n 项和的方法项和的方法 1 倒序相加法 2 公式法 此种方法主要针对类似等差数列中 具有这样特点的数 112nn aaaa 列 此种方法是针对于有公式可套的数列 如等差 等比数列 关键是观察数列的特点 找出对应的公 式 例 等差数列求和公式 等差数列 资料 12nn Saaa 111 1 aadand 把项的次序反过来 则 1 nnnn Saadand 得 111 2 n nnnn Saaaaaa 个 1 n n aa 1 2 n n n aa S 1 1 1 22 n n n aan n Snad 1 2 n n n nad m nmn SSSmnd 2 2 nn mm SSS nm m nN nnm 等比数列 q qaa q qa S n n n 11 1 11 1 q n m nnm SSS q 1 2 3 n 1 2 n n 2222 123n 1 1 21 6 n nn 3333 123n 2 123 n 22 1 1 4 n n 3 错位相减法 4 分组化归法 此种方法主要用于数列的求和 其中 nnb a 为等差数列 是公比为 q 的等比数列 n a n b 只需用便可转化为等比数列的求和 但 nn SqS 要注意讨论 q 1 和 q 1 两种情况 此方法主要用于无法整体求和的数列 可将其通 项写成等比 等差等我们熟悉的数列分别进行求和 再综合求出所有项的和 例 试化简下列和式 21 123 0 n n Sxxnxx 解 若 x 1 则 Sn 1 2 3 n 1 2 n n 例 求数列 1 1 1 2 11 1 24 的和 11 1 24 1 1 2n 解 1 111 1 242 n n a 资料 若 x 1 则 21 123 n n Sxxnx 23 23 n n xSxxxnx 两式相减得 2 1 1 n x Sxx nn nxx 1 1 1 n n x nx x 2 1 1 1 nn n xnx S xx 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 n n 111 1 1 1 224 n S 1 111 1 242n 2 11 2 1 2 2 22 1 1 2 2n 1 111 2 1 242n n 1 1 22 2n n 5 奇偶求和法 6 裂项相消法 此种方法是针对于奇 偶数项 要考虑符号 的数列 要求 Sn 就必须分奇偶来讨论 最后进 行综合 此方法主要