几种常见的微分方程简介,解法

高等数学教案 12 微分方程 第 1 页 共 41 页 第十二章 微分方程第十二章 微分方程 教学目的 教学目的 1 了解微分方程及其解 阶 通解 初始条件和特等概念 了解微分方程及其解 阶 通解 初始条件和特等概念 2 熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 3 会解齐次微分方程 伯努利方程和全微分方程 会用简单的变量代换解某些微分方程 会解齐次微分方程 伯努利方程和全微分方程 会用简单的变量代换解某些微分方程 4 会用降阶法解下列微分方程 会用降阶法解下列微分方程 和和 n yf x yf x y yf y y 5 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理 6 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微 分方程 分方程 7 求自由项为多项式 指数函数 余弦函数 以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性求自由项为多项式 指数函数 余弦函数 以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性 微分方程的特解和通解 微分方程的特解和通解 8 会解欧拉方程 会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组 会解欧拉方程 会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组 9 会解微分方程组 或方程组 解决一些简单的应用问题 会解微分方程组 或方程组 解决一些简单的应用问题 教学重点 教学重点 1 可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2 可降阶的高阶微分方程 可降阶的高阶微分方程 和和 n yf x yf x y yf y y 3 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 4 自由项为多项式 指数函数 余弦函数 以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性 自由项为多项式 指数函数 余弦函数 以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性 微分方程 微分方程 教学难点 教学难点 1 齐次微分方程 伯努利方程和全微分方程 齐次微分方程 伯努利方程和全微分方程 2 线性微分方程解的性质及解的结构定理 线性微分方程解的性质及解的结构定理 3 自由项为多项式 指数函数 余弦函数 以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方 自由项为多项式 指数函数 余弦函数 以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方 程的特解 程的特解 4 欧拉方程 欧拉方程 高等数学教案 12 微分方程 第 2 页 共 41 页 12 1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性利用函数关系又可以对客观事物的规律性 进行研究进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义在实践中具有重要意义 在许多问题中在许多问题中 往往不往往不 能直接找出所需要的函数关系能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其有时可以列出含有要找的函数及其 导数的关系式导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后微分方程建立以后 对它进行研究对它进行研究 找出未知函找出未知函 数来数来 这就是解微分方程这就是解微分方程 几个概念几个概念 微分方程微分方程 表示未知函数 未知函数的导数与自变量之间的关系的方程表示未知函数 未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程叫微分方程 常微分方程常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程叫常微分方程 偏微分方程偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程叫偏微分方程 微分方程的阶微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶叫微分方程的阶 x3 y x2 y 4xy 3x2 y 4 4y 10y 12y 5y sin2x y n 1 0 一般一般 n 阶微分方程阶微分方程 F x y y y n 0 y n f x y y y n 1 微分方程的解微分方程的解 满足微分方程的函数满足微分方程的函数 把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式 叫做该微叫做该微 分方程的解分方程的解 确切地说确切地说 设函数设函数 y x 在区间在区间 I 上有上有 n 阶连续导数阶连续导数 如果在区间如果在区间 I 上上 F x x x n x 0 那么函数那么函数 y x 就叫做微分方程就叫做微分方程 F x y y y n 0 在区间在区间 I 上的解上的解 通解通解 如果微分方程的解中含有任意常数如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样这样 的解叫做微分方程的通解的解叫做微分方程的通解 初始条件初始条件 用于确定通解中任意常数的条件用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件称为初始条件 如如 x x0 时时 y y0 y y 0 一般写成一般写成 0 0 yy xx 0 0 yy xx 特解特解 确定了通解中的任意常数以后确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解即不含任意常数的解 高等数学教案 12 微分方程 第 3 页 共 41 页 初值问题初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 如求微分方程如求微分方程 y f x y 满足初始条件满足初始条件的解的问题的解的问题 记为记为 0 0 yy xx 0 0 yy yxfy xx 积分曲线积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线叫做微分方程的积分曲线 例例 1 一曲线通过点一曲线通过点 1 2 且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点 M x y 处的切线的斜率为处的切线的斜率为 2x 求这曲线的方求这曲线的方 程程 解解 设所求曲线的方程为设所求曲线的方程为 y y x 根据导数的几何意义根据导数的几何意义 可知未知函数可知未知函数 y y x 应满足关系式应满足关系式 称为微分方程称为微分方程 1 x dx dy 2 此外此外 未知函数未知函数 y y x 还应满足下列条件还应满足下列条件 x 1 时时 y 2 简记为简记为 y x 1 2 2 把把 1 式两端积分式两端积分 得得 称为微分方程的通解称为微分方程的通解 即即 y x2 C 3 xdxy2 其中其中 C 是任意常数是任意常数 把条件把条件 x 1 时时 y 2 代入代入 3 式式 得得 2 12 C 由此定出由此定出 C 1 把把 C 1 代入代入 3 式式 得所求曲线方程得所求曲线方程 称为微分方程满足条件称为微分方程满足条件 y x 1 2 的解的解 y x2 1 例例 2 列车在平直线路上以列车在平直线路上以 20m s 相当于相当于 72km h 的速度行驶的速度行驶 当制动时列车获得加速度当制动时列车获得加速度 0 4m s2 问开始制动后多少时间列车才能停住问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程以及列车在这段时间里行驶了多少路程 解解 设列车在开始制动后设列车在开始制动后 t 秒时行驶了秒时行驶了 s 米米 根据题意根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数反映制动阶段列车运动规律的函数 s s t 应满足关系式应满足关系式 4 4 0 2 2 dt sd 此外此外 未知函数未知函数 s s t 还应满足下列条件还应满足下列条件 t 0 时时 s 0 简记为简记为 s t 0 0 s t 0 20 5 20 dt ds v 高等数学教案 12 微分方程 第 4 页 共 41 页 把把 4 式两端积分一次式两端积分一次 得得 6 1 4 0Ct dt ds v 再积分一次再积分一次 得得 s 0 2t2 C1t C2 7 这里这里 C1 C2都是任意常数都是任意常数 把条件把条件 v t 0 20 代入代入 6 得得 20 C1 把条件把条件 s t 0 0 代入代入 7 得得 0 C2 把把 C1 C2的值代入的值代入 6 及及 7 式得式得 v 0 4t 20 8 s 0 2t2 20t 9 在在 8 式中令式中令 v 0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 s 50 4 0 20 t 再把再把 t 50 代入代入 9 得到列车在制动阶段行驶的路程得到列车在制动阶段行驶的路程 s 0 2 502 20 50 500 m 解解 设列车在开始制动后设列车在开始制动后 t 秒时行驶了秒时行驶了 s 米米 s 0 4 并且并且 s t 0 0 s t 0 20 把等式把等式 s 0 4 两端积分一次两端积分一次 得得 s 0 4t C1 即即 v 0 4t C1 C1是任意常数是任意常数 再积分一次再积分一次 得得 s 0 2t2 C1t C2 C1 C2都都 C1是任意常数是任意常数 由由 v t 0 20 得得 20 C1 于是于是 v 0 4t 20 由由 s t 0 0 得得 0 C2 于是于是 s 0 2t2 20t 令令 v 0 得得 t 50 s 于是列车在制动阶段行驶的路程于是列车在制动阶段行驶的路程 s 0 2 502 20 50 500 m 例例 3 验证验证 函数函数 x C1cos kt C2 sin kt 高等数学教案 12 微分方程 第 5 页 共 41 页 是微分方程是微分方程 0 2 2 2 xk dt xd 的解的解 解解 求所给函数的导数求所给函数的导数 ktkCktkC dt dx cossin 21 sincos sincos 21 2 2 2 1 2 2 2 ktCktCkktCkktCk dt xd 将将及及 x 的表达式代入所给方程的表达式代入所给方程 得得 2 2 dt xd k2 C1cos kt C2sin kt k2 C1cos kt C2sin kt 0 这表明函数这表明函数 x C1coskt C2sinkt 满足方程满足方程 因此所给函数是所给方程的解因此所给函数是所给方程的解 0 2 2 2 xk dt xd 例例 4 已知函数已知函数 x C1coskt C2sinkt k 0 是微分方程是微分方程的通解的通解 求满足初始条件求满足初始条件0 2 2 2 xk dt xd x t 0 A x t 0 0 的特解的特解 解解 由条件由条件 x t 0 A 及及 x C1 cos kt C2 sin kt 得得 C1 A 再由条件再由条件 x t 0 0 及及 x t kC1sin kt kC2cos kt 得得 C2 0 把把 C1 C2的值代入的值代入 x C1cos kt C2sin kt 中中 得得 x Acos kt 12 2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 观察与分析观察与分析 1 求微分方程求微分方程 y 2x 的通解的通解 为此把方程两边积分为此把方程两边积分 得得 y x2 C 一般地一般地 方程方程 y f x 的通解为的通解为 此处积分后不再加任意常数此处积分后不再加任意常数 Cdxxfy 2 求微分方程求微分方程 y 2xy2 的通解的通解 高等数学教案 12 微分方程 第 6 页 共 41 页 因为因为 y 是未知的是未知的 所以积分所以积分无法进行无法进行 方程两边直方程两边直 dxxy22 接积分不能求出通解接积分不能求出通解 为求通解可将方程变为为求通解可将方程变为 两边积分两边积分 得得xdxdy y 2 1 2 或或 Cx y 2 1 Cx y 21 可以验证函数可以验证函数是原方程的通解是原方程的通解 Cx y 21 一般地一般地 如果一阶微分方程如果一阶微分方程 y x y 能写成能写成 g y dy f x dx 形式形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G y F x C 由方程由方程 G y F x C 所确定的隐函数就是原方程的通解所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程对称形式的一阶微分方程 一阶微分方程有时也写成如下对称形式一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P x y dx Q x y dy 0 在这种方程中在这种方程中 变量变量 x 与与 y 是对称的是对称的 若把若把 x 看作自变量 看作自变量 y 看作未知函数看作未知函数 则当则当 Q x y 0 时时 有有 yxQ yxP dx dy 若把若把 y 看作自变量 看作自变量 x 看作未知函数看作未知函数 则当则当 P x y 0 时时 有有 yxP yxQ dy dx 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成如果一个一阶微分方程能写成 g y dy f x dx 或写成或写成 y x y 的形式的形式 就是说就是说 能把微分方程写成一端只含能把微分方程写成一端只含 y 的函数和的函数和 dy 另一端只含另一端只含 x 的函数和的函数和 dx 那么原那么原 方程就称为可分离变量的微分方程方程就称为可分离变量的微分方程 讨论讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程 1 y 2xy 是是 y 1dy 2xdx 高等数学教案 12 微分方程 第 7 页 共 41 页 2 3x2 5x y 0 是是 dy 3x2 5x dx 3 x2 y2 dx xydy 0 不是不是 4 y 1 x y2 xy2 是是 y 1 x 1 y2 5 y 10 x y 是是 10 ydy 10 xdx 6 不是不是 x y y x y 可分离变量的微分方程的解法可分离变量的微分方程的解法 第一步第一步 分离变量分离变量 将方程写成将方程写成 g y dy f x dx 的形式的形式 第二步第二步 两端积分两端积分 设积分后得设积分后得 G y F x C dxxfdyyg 第三步第三步 求出由求出由 G y F x C 所确定的隐函数所确定的隐函数 y x 或或 x y G y F x C y x 或或 x y 都是方程的通解都是方程的通解 其中其中 G y F x C 称为隐式称为隐式 通通 解解 例例 1 求微分方程求微分方程的通解的通解 xy dx dy 2 解解 此方程为可分离变量方程此方程为可分离变量方程 分离变量后得分离变量后得 xdxdy y 2 1 两边积分得两边积分得 xdxdy y 2 1 即即 ln y x2 C1 从而从而 2 11 2 xCCx eeey 因为因为仍是任意常数仍是任意常数 把它记作把它记作 C 便得所给方程的通解便得所给方程的通解 1 C e 2 x Cey 解解 此方程为可分离变量方程此方程为可分离变量方程 分离变量后得分离变量后得 xdxdy y 2 1 两边积分得两边积分得 xdxdy y 2 1 即即 ln y x2 lnC 高等数学教案 12 微分方程 第 8 页 共 41 页 从而从而 2 x Cey 例例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比成正比 已知已知 t 0 时铀的含量为时铀的含量为 M0 求在求在 衰变过程中铀含量衰变过程中铀含量 M t 随时间随时间 t 变化的规律变化的规律 解解 铀的衰变速度就是铀的衰变速度就是 M t 对时间对时间 t 的导数的导数 dt dM 由于铀的衰变速度与其含量成正比由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程故得微分方程 M dt dM 其中其中 0 是常数是常数 前的曲面号表示当前的曲面号表示当 t 增加时增加时 M 单调减少单调减少 即即 0 dt dM 由题意由题意 初始条件为初始条件为 M t 0 M0 将方程分离变量得将方程分离变量得 dt M dM 两边积分两边积分 得得 dt M dM 即即 lnM t lnC 也即也即 M Ce t 由初始条件由初始条件 得得 M0 Ce0 C 所以铀含量所以铀含量 M t 随时间随时间 t 变化的规律变化的规律 M M0e t 例例 3 设降落伞从跳伞塔下落后设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速并设降落伞离开跳伞塔时速 度为零度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系求降落伞下落速度与时间的函数关系 解解 设降落伞下落速度为设降落伞下落速度为 v t 降落伞所受外力为降落伞所受外力为 F mg kv k 为比例系数为比例系数 根据牛顿第二根据牛顿第二 运动定律运动定律 F ma 得函数得函数 v t 应满足的方程为应满足的方程为 kvmg dt dv m 初始条件为初始条件为 v t 0 0 方程分离变量方程分离变量 得得 高等数学教案 12 微分方程 第 9 页 共 41 页 m dt kvmg dv 两边积分两边积分 得得 m dt kvmg dv 1 ln 1 C m t kvmg k 即即 t m k Ce k mg v k e C kC1 将初始条件将初始条件 v t 0 0 代入通解得代入通解得 k mg C 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为于是降落伞下落速度与时间的函数关系为 1 t m k e k mg v 例例 4 求微分方程求微分方程的通解的通解 22 1xyyx dx dy 解解 方程可化为方程可化为 1 1 2 yx dx dy 分离变量得分离变量得 dxxdy y 1 1 1 2 两边积分得两边积分得 即即 dxxdy y 1 1 1 2 Cxxy 2 2 1 arctan 于是原方程的通解为于是原方程的通解为 2 1 tan 2 Cxxy 例例 5 有高为有高为 1m 的半球形容器的半球形容器 水从它的底部小孔流出水从它的底部小孔流出 小孔横截面面积为小孔横截面面积为 1cm2 开始时容开始时容 器内盛满了水器内盛满了水 求水从小孔流出过程中容器里水面高度求水从小孔流出过程中容器里水面高度 h 随时间随时间 t 变化的规律变化的规律 解解 由水力学知道由水力学知道 水从孔口流出的流量水从孔口流出的流量 Q 可用下列公式计算可用下列公式计算 ghS dt dV Q262 0 其中其中 0 62 为流量系数为流量系数 S 为孔口横截面面积为孔口横截面面积 g 为重力加速度为重力加速度 现在孔口横截面面积现在孔口横截面面积 S 1cm2 故故 或或 gh dt dV 262 0 dtghdV262 0 另一方面另一方面 设在微小时间间隔设在微小时间间隔 t t dt 内内 水面高度由水面高度由 h 降至降至 h dh dh 0 则又可得到则又可得到 高等数学教案 12 微分方程 第 10 页 共 41 页 dV r2dh 其中其中 r 是时刻是时刻 t 的水面半径的水面半径 右端置负号是由于右端置负号是由于 dh 0 而而 dV 0 的缘故的缘故 又因又因 222 200 100 100hhhr 所以所以 dV 200h h2 dh 通过比较得到通过比较得到 dhhhdtgh 200 262 0 2 这就是未知函数这就是未知函数 h h t 应满足的微分方程应满足的微分方程 此外此外 开始时容器内的水是满的开始时容器内的水是满的 所以未知函数所以未知函数 h h t 还应满足下列初始条件还应满足下列初始条件 h t 0 100 将方程将方程分离变量后得分离变量后得dhhhdtgh 200 262 0 2 dhhh g dt 200 262 0 2 3 2 1 两端积分两端积分 得得 dhhh g t 200 262 0 2 3 2 1 即即 Chh g t 5 2 3 400 262 0 2 5 2 3 其中其中 C 是任意常数是任意常数 由初始条件得由初始条件得 C g t 100 5 2 100 3 400 262 0 2 5 2 3 5 10 15 14 262 0 5 200000 3 400000 262 0 gg C 因此因此 310107 262 0 2 5 2 3 35 hh g t 高等数学教案 12 微分方程 第 11 页 共 41 页 上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度 h 与时间与时间 t 之间的函数关系之间的函数关系 12 3 齐次方程齐次方程 齐次方程齐次方程 如果一阶微分方程如果一阶微分方程中的函数中的函数 f x y 可写成可写成 yxf dx dy 的函数的函数 即即 则称这方程为齐次方程则称这方程为齐次方程 x y x y yxf 下列方程哪些是齐次方程 下列方程哪些是齐次方程 1 是齐次方程是齐次方程 0 22 xyyyx1 2 22 x y x y dx dy x xyy dx dy 2 不是齐次方程不是齐次方程 22 11yyx 2 2 1 1 x y dx dy 3 x2 y2 dx xydy 0 是齐次方程是齐次方程 x y y x dx dy xy yx dx dy 22 4 2x y 4 dx x y 1 dy 0 不是齐次方程不是齐次方程 1 42 yx yx dx dy 5 是齐次方程是齐次方程 0ch3 ch3sh2 dy x y xdx x y y x y x x y x y dx dy x y x x y y x y x dx dy th 3 2 ch3 ch3sh2 齐次方程的解法齐次方程的解法 在齐次方程在齐次方程中中 令令 即即 y ux 有有 x y dx dy x y u u dx du xu 分离变量分离变量 得得 x dx uu du 高等数学教案 12 微分方程 第 12 页 共 41 页 两端积分两端积分 得得 x dx uu du 求出积分后求出积分后 再用再用代替代替 u 便得所给齐次方程的通解便得所给齐次方程的通解 x y 例例 1 解方程解方程 dx dy xy dx dy xy 22 解解 原方程可写成原方程可写成 1 2 2 2 x y x y xxy y dx dy 因此原方程是齐次方程因此原方程是齐次方程 令令 则则u x y y ux dx du xu dx dy 于是原方程变为于是原方程变为 1 2 u u dx du xu 即即 1 u u dx du x 分离变量分离变量 得得 x dx du u 1 1 两边积分两边积分 得得 u ln u C ln x 或写成或写成 ln xu u C 以以代上式中的代上式中的 u 便得所给方程的通解便得所给方程的通解 x y C x y y ln 例例 2 有旋转曲面形状的凹镜有旋转曲面形状的凹镜 假设由旋转轴上一点假设由旋转轴上一点 O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与发出的一切光线经此凹镜反射后都与 旋转轴平行旋转轴平行 求这旋转曲面的方程求这旋转曲面的方程 解解 设设此凹镜是由此凹镜是由xOy面上曲线面上曲线L y y x y 0 绕绕x轴旋转而成轴旋转而成 光源在原点光源在原点 在在L上任取一点上任取一点 M x y 作作L的切线交的切线交x轴于轴于A 点点O发出的光线经点发出的光线经点M反射后是一条平行于反射后是一条平行于x轴射线轴射线 由光学及几由光学及几 高等数学教案 12 微分方程 第 13 页 共 41 页 何原理可以证明何原理可以证明OA OM 因为因为 x y y OPPMOPAPOA cot 而而 22 yxOM 于是得微分方程于是得微分方程 22 yxx y y 整理得整理得 这是齐次方程这是齐次方程 1 2 y x y x dy dx 问题归结为解齐次方程问题归结为解齐次方程 1 2 y x y x dy dx 令令 即即x yv 得得 v y x 1 2 vv dy dv yv 即即 1 2 v dy dv y 分离变量分离变量 得得 y dy v dv 1 2 两边积分两边积分 得得 Cyvvlnln 1ln 2 C y vv 1 2 1 22 vv C y 1 2 2 2 C yv C y 以以 yv x 代入上式代入上式 得得 2 2 2 C xCy 这是以这是以 x 轴为轴 焦点在原点的抛物线轴为轴 焦点在原点的抛物线 它绕它绕 x 轴旋转所得旋转曲面的方程为轴旋转所得旋转曲面的方程为 2 2 22 C xCzy 这就是所求的旋转曲面方程这就是所求的旋转曲面方程 例例 3 设一条河的两岸为平行直线设一条河的两岸为平行直线 水流速度为水流速度为 a 有一鸭子从岸边点有一鸭子从岸边点 A 游向正对岸点游向正对岸点 O 设设 鸭子的游速为鸭子的游速为 b b a 且鸭子游动方向始终朝着点且鸭子游动方向始终朝着点 O 已知已知 OA h 求鸭子游过的迹线的方程求鸭子游过的迹线的方程 解解 取取 O 为坐标原点为坐标原点 河岸朝顺水方向为河岸朝顺水方向为 x 轴轴 y 轴指向对岸轴指向对岸 设在时刻设在时刻 t 鸭子位于点鸭子位于点 P x y 则鸭子运动速度则鸭子运动速度 高等数学教案 12 微分方程 第 14 页 共 41 页 故有故有 dt dy dt dx vv yx v y x v v dy dx 另一方面另一方面 0 2222 yx y yx x ba bav 2222 yx by yx bx a v 因此因此 即即 y x y x b a v v dy dx y x 1 2 y x y x b a dy dx 1 2 问题归结为解齐次方程问题归结为解齐次方程 y x y x b a dy dx 1 2 令令 即即x yu 得得u y x 1 2 u b a dy du y 分离变量分离变量 得得 dy by a u du 1 2 两边积分两边积分 得得 ln lnarshCy a b u 将将代入上式并整理代入上式并整理 得得 y x u 2 1 11 b a b a CyCy C x 以以x y h 0代入上式代入上式 得得 故鸭子游过的轨迹方程为故鸭子游过的轨迹方程为 h C 1 0 y h 2 11 b a b a h y h yh x 将将代入代入后的整理过程后的整理过程 y x u ln lnarshCy a b u ln lnarshCy a b y x a b Cy y x ln sh 2 1 a b a b CyCy y x 2 a b a b CyCy y x 2 1 11 a b a b CyCy C x 高等数学教案 12 微分方程 第 15 页 共 41 页 12 4 线性微分方程线性微分方程 一 一 线性方程线性方程 线性方程线性方程 方程方程叫做一阶线性微分方程叫做一阶线性微分方程 xQyxP dx dy 如果如果 Q x 0 则方程称为齐次线性方程则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程否则方程称为非齐次线性方程 方程方程叫做对应于非齐次线性方程叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程的齐次线性方程 0 yxP dx dy xQyxP dx dy 下列方程各是什么类型方程 下列方程各是什么类型方程 1 是齐次线性方程是齐次线性方程 y dx dy x 2 0 2 1 y xdx dy 2 3x2 5x 5y 0 y 3x2 5x 是非齐次线性方程是非齐次线性方程 3 y y cos x e sin x 是非齐次线性方程是非齐次线性方程 4 不是线性方程不是线性方程 yx dx dy 10 5 或或 不是线性方程不是线性方程 0 1 32 x dx dy y0 1 2 3 y x dx dy 3 2 1 x y dy dx 齐次线性方程的解法齐次线性方程的解法 齐次线性方程齐次线性方程是变量可分离方程是变量可分离方程 分离变量后得分离变量后得0 yxP dx dy dxxP y dy 两边积分两边积分 得得 1 lnCdxxPy 或或 1 C dxxP eCCey 这就是齐次线性方程的通解 积分中不再加任意常数 这就是齐次线性方程的通解 积分中不再加任意常数 例例 1 求方程求方程的通解的通解 y dx dy x 2 解解 这是齐次线性方程这是齐次线性方程 分离变量得分离变量得 高等数学教案 12 微分方程 第 16 页 共 41 页 2 x dx y dy 两边积分得两边积分得 ln y ln x 2 lnC 方程的通解为方程的通解为 y C x 2 非齐次线性方程的解法非齐次线性方程的解法 将齐次线性方程通解中的常数换成将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数的未知函数 u x 把把 dxxP exuy 设想成非齐次线性方程的通解设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得代入非齐次线性方程求得 xQexuxPxPexuexu dxxPdxxPdxxP 化简得化简得 dxxP exQxu CdxexQxu dxxP 于是非齐次线性方程的通解为于是非齐次线性方程的通解为 CdxexQey dxxPdxxP 或或 dxexQeCey dxxPdxxPdxxP 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 例例 2 求方程求方程的通解的通解 2 5 1 1 2 x x y dx dy 解解 这是一个非齐次线性方程这是一个非齐次线性方程 先求对应的齐次线性方程先求对应的齐次线性方程的通解的通解 0 1 2 x y dx dy 分离变量得分离变量得 1 2 x dx y dy 两边积分得两边积分得 ln y 2ln x 1 ln C 高等数学教案 12 微分方程 第 17 页 共 41 页 齐次线性方程的通解为齐次线性方程的通解为 y C x 1 2 用常数变易法用常数变易法 把把 C 换成换成 u 即令即令 y u x 1 2 代入所给非齐次线性方程代入所给非齐次线性方程 得得 2 5 22 1 1 1 2 1 2 1 xxu x xuxu 2 1 1 xu 两边积分两边积分 得得 Cxu 2 3 1 3 2 再把上式代入再把上式代入 y u x 1 2中中 即得所求方程的通解为即得所求方程的通解为 1 3 2 1 2 3 2 Cxxy 解解 这里这里 1 2 x xP 2 5 1 xxQ 因为因为 1ln 2 1 2 xdx x dxxP 2 1ln 2 1 xee x dxxP 2 3 2 1 2 2 5 1 3 2 1 1 1 xdxxdxxxdxexQ dxxP 所以通解为所以通解为 1 3 2 1 2 3 2 CxxCdxexQey dxxPdxxP 例例 3 有一个电路如图所示有一个电路如图所示 其中电源电动势为其中电源电动势为 E Emsin t Em 都是常数都是常数 电阻电阻 R 和电感和电感 L 都是常量都是常量 求电流求电流 i t 解解 由电学知道由电学知道 当电流变化时当电流变化时 L 上有感应电动势上有感应电动势 由回路电压定律得出由回路电压定律得出 dt di L 0 iR dt di LE 即即 L E i L R dt di 把把 E Emsin t 代入上式代入上式 得得 高等数学教案 12 微分方程 第 18 页 共 41 页 t L E i L R dt di m sin 初始条件为初始条件为 i t 0 0 方程方程为非齐次线性方程为非齐次线性方程 其中其中t L E i L R dt di m sin L R tP t L E tQ m sin 由通解公式由通解公式 得得 CdtetQeti dttPdttP sin Cdte t L E e dt L R m dt L R sin Cdttee L Et L R t L R m t L R m CetLtR LR E cos sin 222 其中其中 C 为任意常数为任意常数 将初始条件将初始条件 i t 0 0 代入通解代入通解 得得 222 LR LE C m 因此因此 所求函数所求函数 i t 为为 cos sin 222222 tLtR LR E e LR LE ti m t L R m 二 伯努利方程二 伯努利方程 伯努利方程伯努利方程 方程方程 n 0 1 n yxQyxP dx dy 叫做伯努利方程叫做伯努利方程 下列方程是什么类型方程 下列方程是什么类型方程 1 是伯努利方程是伯努利方程 4 21 3 1 3 1 yxy dx dy 2 是伯努利方程是伯努利方程 5 xyy dx dy 5 xyy dx dy 3 是伯努利方程是伯努利方程 x y y x y 1 1 xyy x y 高等数学教案 12 微分方程 第 19 页 共 41 页 4 是线性方程是线性方程 不是伯努利方程不是伯努利方程 xxy dx dy 42 伯努利方程的解法伯努利方程的解法 以以 yn除方程的两边除方程的两边 得得 1 xQyxP dx dy y nn 令令 z y1 n 得线性方程得线性方程 1 1 xQnzxPn dx dz 例例 4 求方程求方程的通解的通解 2 lnyxa x y dx dy 解解 以以 y2除方程的两端除方程的两端 得得 xay xdx dy yln 1 12 即即 xay xdx yd ln 1 1 1 令令 z y 1 则上述方程成为则上述方程成为 xaz xdx dz ln 1 这是一个线性方程这是一个线性方程 它的通解为它的通解为 ln 2 2 x a Cxz 以以 y 1代代 z 得所求方程的通解为得所求方程的通解为 1 ln 2 2 x a Cyx 经过变量代换经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程或化为已知其求解方法的方程 例例 5 解方程解方程 yxdx dy 1 解解 若把所给方程变形为若把所给方程变形为 yx dy dx 即为一阶线性方程即为一阶线性方程 则按一阶线性方程的解法可求得通解则按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程但这里用变量代换来解所给方程 令令 x y u 则原方程化为则原方程化为 即即 udx du1 1 u u dx du1 高等数学教案 12 微分方程 第 20 页 共 41 页 分离变量分离变量 得得 dxdu u u 1 两端积分得两端积分得 u ln u 1 x ln C 以以 u x y 代入上式代入上式 得得 y ln x y 1 ln C 或或 x Cey y 1 12 5 全微分方程全微分方程 全微分方程全微分方程 一个一阶微分方程写成一个一阶微分方程写成 P x y dx Q x y dy 0 形式后形式后 如果它的左端恰好是某一个函数如果它的左端恰好是某一个函数 u u x y 的全微分的全微分 du x y P x y dx Q x y dy 那么方程那么方程 P x y dx Q x y dy 0 就叫做全微分方程就叫做全微分方程 这里这里 yxP x u yxQ y u 而方程可写为而方程可写为 du x y 0 全微分方程的判定全微分方程的判定 若若 P x y Q x y 在单连通域在单连通域 G 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数 且且 x Q y P 则方程则方程 P x y dx Q x y dy 0 是全微分方程是全微分方程 全微分方程的通解全微分方程的通解 若方程若方程 P x y dx Q x y dy 0 是全微分方程是全微分方程 且且 du x y P x y dx Q x y dy 则则 u x y C 即即 000 00 GyxCdxyxQdxyxP y y x x 高等数学教案 12 微分方程 第 21 页 共 41 页 是方程是方程 P x y dx Q x y dy 0 的通解的通解 例例 1 求解求解 5x4 3xy2 y3 dx 3x2y 3xy2 y2 dy 0 解解 这里这里 x Q yxy y P 2 36 所以这是全微分方程所以这是全微分方程 取取 x0 y0 0 0 有有 yx dyydxyxyxyxu 0 2 0 324 35 33225 3 1 2 3 yxyyxx 于是于是 方程的通解为方程的通解为 Cyxyyxx 33225 3 1 2 3 积分因子积分因子 若方程若方程 P x y dx Q x y dy 0 不是全微分方程不是全微分方程 但存在一函数但存在一函数 x y x y 0 使方程使方程 x y P x y dx x y Q x y dy 0 是全微分方程是全微分方程 则函数则函数 x y 叫做方程叫做方程 P x y dx Q x y dy 0 的积分因子的积分因子 例例 2 通过观察求方程的积分因子并求其通解通过观察求方程的积分因子并求其通解 1 ydx xdy 0 2 1 xy ydx 1 xy xdy 0 解解 1 方程方程 ydx xdy 0 不是全微分方程不是全微分方程 因为因为 2 y xdyydx y x d 所以所以是方程是方程 ydx xdy 0 的积分因子的积分因子 于是于是 2 1 y 是全微分方程是全微分方程 所给方程的通解为所给方程的通解为 0 2 y xdyydx C y x 2 方程方程 1 xy ydx 1 xy xdy 0 不是全微分方程不是全微分方程 将方程的各项重新合并将方程的各项重新合并 得得 高等数学教案 12 微分方程 第 22 页 共 41 页 ydx xdy xy ydx xdy 0 再把它改写成再把它改写成 0 22 y dy x dx yxxyd 这时容易看出这时容易看出为积分因子为积分因子 乘以该积分因子后乘以该积分因子后 方程就变为方程就变为 2 1 xy 0 2 y dy x dx xy xyd 积分得通解积分得通解 即即 C y x xy ln ln 1 xy Ce y x 1 我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程 y P x y Q x 可以验证可以验证是一阶线性方程是一阶线性方程 y P x y Q x 的一个积分因子的一个积分因子 在一阶线性方程的两边在一阶线性方程的两边 dxxP ex 乘以乘以得得 dxxP ex dxxPdxxPdxxP exQexyPey 即即 dxxPdxxPdxxP exQeyey 亦即亦即 dxxPdxxP exQye 两边积分两边积分 便得通解便得通解 CdxexQye dxxPdxxP 或或 CdxexQey dxxPdxxP 例例 3 用积分因子求用积分因子求的通解的通解 xxy dx dy 42 解解 方程的积分因子为方程的积分因子为 2 2 x xdx eex 高等数学教案 12 微分方程 第 23 页 共 41 页 方程两边乘以方程两边乘以得得 2 x e 即即 222 42 xxx xeyxeey 22 4 xx xeye 于是于是 Cedxxeye xxx 222 24 因此原方程的通解为因此原方程的通解为 22 24 xx Cedxxey 12 6 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 一一 y n f x 型的微分方程型的微分方程 解法解法 积分积分 n 次次 1 1 Cdxxfy n 21 2 CdxCdxxfy n 例例 1 求微分方程求微分方程 y e2x cos x 的通解的通解 解解 对所给方程接连积分三次对所给方程接连积分三次 得得 1 2 sin 2 1 Cxey x 21 2 cos 4 1 CxCxey x 32 2 1 2 2 1 sin 8 1 CxCxCxey x 这就是所给方程的通解这就是所给方程的通解 或或 1 2 2sin 2 1 Cxey x 21 2 2cos 4 1 CxCxey x 32 2 1 2 sin 8 1 CxCxCxey x 这就是所给方程的通解这就是所给方程的通解 例例 2 质量为质量为 m 的质点受力的质点受力 F 的作用沿的作用沿 Ox 轴作直线运动轴作直线运动 设力设力 F 仅是时间仅是时间 t 的函数的函数 F F t 在开始时刻在开始时刻 t 0 时时 F 0 F0 随着时间随着时间 t 的增大的增大 此力此力 F 均匀地减小均匀地减小 直到直到 t T 时时 F T 0 如果如果 开始时质点位于原点开始时质点位于原点 且初速度为零且初速度为零 求这质点的运动规律求这质点的运动规律 高等数学教案 12 微分方程 第 24 页 共 41 页 解解 设设 x x t 表示在时刻表示在时刻 t 时质点的位置时质点的位置 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为质点运动的微分方程为 2 2 tF dt xd m 由题设由题设 力力 F t 随随 t 增大而均匀地减小增大而均匀地减小 且且 t 0 时时 F 0 F0 所以所以 F t F0 kt 又当又当 t T 时时 F T 0 从而从而 1 0 T t FtF 于是质点运动的微分方程又写为于是质点运动的微分方程又写为 1 0 2 2 T t m F dt xd 其初始条件为其初始条件为 0 0 t x0 0 t dt dx 把微分方程两边积分把微分方程两边积分 得得 1 2 0 2 C T t t m F dt dx 再积分一次再积分一次 得得 21 3 20 62 1 CtC T t t m F x 由初始条件由初始条件 x t 0 0 0 0 t dt dx 得得 C1 C2 0 于是所求质点的运动规律为于是所求质点的运动规律为 0 t T 62 1 3 20 T t t m F x 解解 设设 x x t 表示在时刻表示在时刻 t 时质点的位置时质点的位置 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为质点运动的微分方程为 mx F t 由题设由题设 F t 是线性函数是线性函数 且过点且过点 0 F0 和和 T 0 故故 即即 1 0 T t F tF 1 0 T t FtF 于是质点运动的微分方程又写为于是质点运动的微分方程又写为 1 0 T t m F x 其初始条件为其初始条件为 x t 0 0 x t 0 0 把微分方程两边积分把微分方程两边积分 得得 高等数学教案 12 微分方程 第 25 页 共 41 页 1 2 0 2 C T t t m F x 再积分一次再积分一次 得得 2 3 20 62 1 C T t t m F x 由初始条件由初始条件 x t 0 0 x t 0 0 得得 C1 C2 0 于是所求质点的运动规律为于是所求质点的运动规律为 0 t T 62 1 3 20 T t t m F x 二 二 y f x y 型的微分方程型的微分方程 解法解法 设设 y p 则方程化为则方程化为 p f x p 设设 p f x p 的通解为的通解为 p x C1 则则 1 Cx dx dy 原方程的通解为原方程的通解为 21 CdxCxy 例例