信号与系统王明泉第八章习题解答

第第 8 章章 系统分析的状态变量法系统分析的状态变量法 8 18 1 学习要求学习要求 1 了解状态变量 状态 初始状态 状态空间 状态方程 输出方程 系统方程等概念 及内涵 2 能根据系统结构图 微分方程 差分方程 转移函数 系统框图 正确的选择状态变 量 列出系统的状态方程和输出方程 并写成标准矩阵形式 3 能采用时域方程和变换域方法求解系统状态方程和输出方程 4 能根据状态方程和输出方程画出系统的框图 8 28 2 本章重点本章重点 1 连续系统状态方程和输出方程的建立与求解 2 离散系统状态方程和输出方程的建立与求解 8 38 3 本章的知识结构本章的知识结构 离散系统状态 变量法 连续系统状态 变量法 状态方程和系统方 程的建立 直接法 状态方程和系统方 程的求解 间接法 时域法 复频域法 状态方程和系统方 程的建立 状态方程和系统方 程的求解 时域法 Z域法 状态变量法 8 48 4 本章的内容摘要本章的内容摘要 8 4 18 4 1 状态方程的建立状态方程的建立 状态方程是描述系统的状态变量之间及其与激励之间关系的一阶微分方程 而输出方 程是用状态变量和激励 有时还可能有激励的某些导数 表示的函数关系式 1 1 连续时间系统状态方程的建立 连续时间系统状态方程的建立 通常 标准形式的状态方程为 tttf fx xx xBA 系统输出方程的标准形式为 tttf fx xDCy 式中表示状态变量的一阶导数 是与外加信号有关的项 和为常 t x x tf fABCD 数矩阵 直接法 利用系统实际结构及系统所遵循的物理规律直接列出方程的方法 间接法 根据已知的输入输出方程 系统框图或系统函数列写状态方程的方法 2 2 离散时间系统状态方程的建立 离散时间系统状态方程的建立 对于一个有个输入和个输出的离散系统 如有个状态变量 其状态方程的一般pqk 形式为 1 1 1 2 1 21 22221 11211 2 1 21 22221 11211 2 1 nf nf nf bbb bbb bbb nx nx nx aaa aaa aaa nx nx nx p kpkk p p kkkkk k k k 输出方程的一般形式为 2 1 21 22221 11211 2 1 21 22221 11211 2 1 nf nf nf ddd ddd ddd nx nx nx ccc ccc ccc ny ny ny p qpqq p p kqkqq k k q 可简写为 1 nnnf fx xx xBA nnnf fx xDCy 式中和是常数矩阵 CBA D 8 4 28 4 2 状态方程的求解状态方程的求解 1 1 连续时间系统状态方程的求解 连续时间系统状态方程的求解 连续时间系统状态方程的求解方法有两种 即时域解法和复频域解法 1 时域解法 0 ttttf fx xx x B 0 tttttf ff fx xDB Cy 0 ttttf ff fx xDB C C 式中 表示状态转移矩阵函数 矩阵指数函数 t t eA 系统的输出由两部分组成 即第一项是零输入响应 第二项是零状态响应 2 复频域解法 0 11 ssssB BF FI Ix xI IX X AA 0 11 ssssF FB BI Ix xI IDACACY 式中是系统的零输入响应 是系统的零 1 0 ACI Ix xs s zi Y 1 ssF FB BI IDAC 状态响应 s zs Y 在零状态条件下 系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比定义为系统传 递函数 故矩阵称为系统的传输函数矩阵 因此 系统零输入响DAC B BI I 1 s sH 应也可以用来求解 sss zs XHY 对式 8 13 8 15 取拉普拉斯逆变换得 0 1111 ssLsLtB BF FI Ix xI Ix x AA 0 1111 sssLsLtF FB BF FI II Ix xy yDACAC 比较式 8 16 和 8 7 得 AI A A A s s LsLet t 111 I I I I 式中是的伴随矩阵 是的特征多项式 AI Is A I IsAI s A I Is 2 2 离散系统状态方程的求解 离散系统状态方程的求解 离散系统状态方程的求解方法有两种 即时域解法和域解法 z 1 时域解法 1 0 1 0 n i iinnnf fx xx xB 1 0 nnnf fx x B 式中 是状态向量的零输入解 是状 n nA 0 x xn nx x n zi x x 1 nnf f B 态向量的零状态解 nx x n zs x x nnnf fx xDCy 1 0 nnnnf fx x DBCC 式中是系统的零输入响应 是系统的零 0 x xn C n zi y 1 nnnf f DBC 状态响应 的求解可以利用成分矩阵来求 n zs y n 2 域解法z 0 11 zzzzB BF FI Ix xI IX X AAz 0 1111 zzznB BF FI Ix xI Ix x AAz 0 1111 nzzf fB BI Ix xI I AAz 0 11 zzzzzzF FB BF FI Ix xI IDACACY 0 1111 nzznf fD DB BI IC Cx xI IC Cy y AAz 式中是系统的零输入响应 是 0 11 x xI IC Cz Az nyzi 11 nzf fD DB BI IC C A 系统的零状态响应 nyzs 8 58 5 典型题型解析典型题型解析 题 1 已知某系统的状态方程为 11 22 340 651 xx f t xx 则下列选项中不可能是该系统的零输入响应的是 a b 0 c d t e u t 9 t e u t 9 t eu t 答案 d 分析 系统特征多项式为 得 计算可得特征值为 0 AI 34 0 65 所以是不可能为零输入响应 1 9 1 2 9 t eu t 题 2 写出下图所示电路的状态方程 解 选为状态变量 则有 12 x tx t 1 11 12 12222 0 R x tL x tMx tf t Mx tR x tL x t 即 1222 222 11212112 21122 222 121212 R LMRL x tL LML LMx tL LM f t x tMRL Rx tM L LML LML LM 题 3 如下图所示系统 以 和为状态变量 以为响应 写出系统 1 tx 2 tx 3 tx ty 的状态方程和输出方程 解 根据系统框图 可得 12 23 31 1 5 10 1 2 1 1 X sXs s XsF sXs s XsX s s Y sX s 整理得 121 232 313 1 5 10 2 sX sXsX s sXsF sXsXs sXsX sXs Y sX s 做拉氏反变换得 121 232 313 1 5 10 2 x tx tx t x tf tx tx t x tx tx t y tx t 所以得系统的状态方程 11 22 33 10500 021 1 1010 x tx t x tx tf t x tx t 系统输出方程 1 2 3 100 x t y tx t x t 题 4 已知系统的状态方程和输出方程分别为 01 10 10 21 2 1 2 1 tf tx tx tx tx 10 11 2 1 2 1 tx tx ty ty 初始状态和输入信号分别为 和 1 1 0 0 2 1 x x t tu tf 求系统的输出响应 解 1 2 1 12 12 11 011 0 1 s ss ssIA s s 故得状态向量的 s 域零输入解 2 1 2 1221 0 1 1111 0 111 0 11 x ssss s x ss 状态向量的 s 域零状态解 2 1221 1 01 111 11011 10 11 ssss s BF ss sss 所以可得状态向量时域零输入解 2 tt t ee u t e 状态向量时域零状态解 2 1 t t e u t e 所以状态变量 1 2 222 21 tt t x tee u t x t e 零输入解零状态解 所以 11 22 1 11 122212 01 01 211 2 ttt tt y tx teee u tu t y tx t ee 题 5 试计算下列矩阵的矩阵函数 t eA 1 2 20 03 A 21 02 A 解 1 20 2 3 0 03 AI I 得 12 2 3 则有 2 01 3 01 2 3 t t e e 解得系数为 23 0 23 1 32 tt tt ee ee 于是 01 2323 2 3 1020 32 0103 0 0 t tttt t t e eeee e e A AI I 2 2 21 2 0 02 AI I 得 12 2 则有 01 01 t t e dd e dd 解得系数为 2 0 2 1 12 t t t e te 于是 01 22 22 2 1021 12 0102 0 t tt tt t e t ete ete e A AI I 8 68 6 本章习题全解本章习题全解 8 1 如题图 8 1 所示电路图 输出量取 状态变量取 的电压 2 tuty c 1 c 2 c 和 要求写出系统的 11 tut c 22 tut c Fcc1 21 1 210 RRR 状态方程和输出方程 题图 8 1 解 设回路电流为 则 i t 式 1 1122 12 12 cccc dututdutut i tCC dtRdtR 列出回路电压方程 式 2 012 cc R i tutute t 由 式 1 2 得 10 01112 1 20 02221 2 c ccc c ccc dutR R Cututute t dtR dutR R Cututute t dtR 将状态变量及个参数代入 可得 112 221 2 2 aaae t aaae t 输出量 22 c r tuta 所以系统的状态方程为 11 22 211 121 aa e t aa 输出方程为 1 2 01 a r t a 8 2 已知系统框图如下所示 题图 8 2 试写出其状态方程和输出方程 解 根据图中的积分器列出状态方程 11 22 3 2 2 2 a ta tx t a ta tx t 输出方程 12 y ta ta t 8 3 已知一系统连续时间系统函数为 6116 4 23 sss s sH 用流图的串联结构形式建立状态方程和输出方程 解 系统函数因式分解得 141 123 s H s sss 所以流图为 郑君理 信号与系统 图 12 13 选择积分器输出为状态变量的状态方程 1122 223 33 3 4 2 tttt ttt tte t 整理得 1123 223 33 3 2 2 tttt ttt tte t 输出方程为 1 r tt 8 4 已知系统在零输入条件下的状态方程为 ttA 当时 当时 1 2 0 1 2 tu e e t t t 1 1 0 1 2 tu tee tee t tt tt 求和 At eA 解 1 在零输入条件下 0 At a te a 代入已知条件得 22 1 12 1 t At t tt At tt e e e ete e ete 所以有 2122 11 ttt At ttt eete e eete 解得 1 2122 11 1122 12 24 2 ttt At ttt ttt ttt ttt ttt eete e eete eete eete etete teete 2 求矩阵A 00 243244 22 tttttttAt ttttttt tt eteteeteetede A dtteeteeteete 8 5 设一连续系统如题图 8 5 所示 1 试求该系统的状态方程 2 根据状态方程求系统的微分方程 3 系统在作用下 输出响应为 求系统的初始 tutx 6 5 2 1 3 1 3 tueety tt 状态 题图 8 5 解 1 以积分器输出端作为状态变量 得状态方程 112 21 4 3 a ta ta tx t a ta tx t 输出方程为 1 y ta t 2 由状态方程得 41 30 A 1 1 B 10C 0D 所以 1 1 2 1 4134 343 s ss ssIA sss 系统函数 22 1 134 1 10 14343 s ss H sCs BDB ssss 所以微分方程为 4 3 y ty ty tx tx t 3 对系统微分方程两边求拉式变换得 2 0 0 4 4 0 3 s Y ssyysY syY ssX sX s 整理得 2 2 2 2 0 0 4 0 1 43 0 0 4 0 1 43 0 0 4 0 1 43 syyysX s Y s ss syyyss ss s ysysys s ss 由已知条件 2 11 25 62121 313 1 3 43 ss Y sL y t ssss sss ss 对比上两式可得 即 0 0 0 4 0 12 y yy 0 0 0 1 y y 根据输出方程和 1 y ta t 112 4 y tata ta tx t 可得 即 11 0 0 0 0 4 0 0 0 1 xy yaax 1 2 0 0 0 1 x x 8 6 已知系统的状态方程与输出方程为 tttBxA tttDxC y 其中 136 3 2 12 A 1 3 1 B 13 C0 D 1 2 0 0 2 1 x x 输入激励为单位阶跃函数 求系统的零输入响应 零状态响应和全输出响应 解 采用复频域法求解 1 1 122 312 3 1 3613612 12 1 24 t ss L es ssss A AI I 系统的零输入响应为 s zi Y 1 2 0 12 32 1 3 1 36121 12 1 24 752 1336 2316 94 zi ssx s sss s ss ss YCAI I 所以 94 2316 tt zi yteeu t 系统的零状态响应为 s zs Y 1 1 12 3 11 3 13 3612 12 1 24 1 231134 4 9 1249 zs sss s ssss s s sssss YCAD XI IB B 所以 49 1 1 34 12 tt zs yteeu t 系统的完全响应为 94 1 1272189 12 tt zizs y tytyteeu t 8 7 已知某连续系统状态方程和输出方程中的各矩阵分别为 10 21 A 01 10 B B 10 11 C 01 01 D 起始状态和输入信号分别为和 0 1 0 0 2 1 2 1 t tu tx tx 求系统的输出响应 解 采用时域法求解 系统的特征多项式为 0 AI 得 0 10 21 特征值是 1 1 1 2 所以有 10 10 t t e e 解得系数为 tt tt ee ee 2 1 2 1 2 1 2 1 1 0 得 A A 10 I I t e 10 21 2 1 2 1 10 01 2 1 2 1 tttt eeee t ttt e eee 0 将和代入系统的状态方程B A 0 t e tx 0 tt teet AA B x 得 1 2 101 010 00 tttttt tt teeeeeeu t tt ee 0 ttt t t eeu tete eu t 32 1 tt t ee u t e 系统的输出方程为 tttDxC y 代入得 11 22 1 110 01 10 y ttu t y ttt 3 t t e u t e 8 8 已知系统的微分方程为 4 6 5 4 txtytytyty 0 0 0 0 yyy ttx 求系统函数和输出响应 解 输入输出方程是三阶微分方程 该系统必须有三个状态变量 可选择输出变量和其一 阶 二阶导数作为状态变量 即 1 21 32 t y t t t y t t t y t 将状态变量代入系统的输出方程 并与 两式联立 可得状态方程 1 t 2 t 12 23 3123 6544 t t t t t t t t x t 矩阵形式为 11 22 33 0100 001 0 6544 tt ttx t tt 输出方程可以写成 1 tty 所以得 010 001 654 A 0 0 4 B 1C 0D 1 1 32 100 010 6544 4 456 H ss s s s sss CADI IB B 1 32 1 2 1 3 2 4 456 11 1 22 32 1175 77 cos sin 0 222142 t t h tL sss s L sss eettt 8 9 描述二阶连续系统的动态方程为 0 1 21 20 tttx 11 tt y 求描述该系统输入输出的微分方程 解 根据已知条件 02 12 A 1 0 B 1 1 C 0D 1 1 2 21 1 1 120 3 22 H ss s s s ss CADI IB B 所以微分方程为 2 2 3 y ty ty tx tx t 8 10 已知某离散系统状态方程和输出方程中的各矩阵分别为 32 10 A 1 0 B B 12 C0 D 初始状态和输入信号分别为和 1 1 0 0 2 1 nnx 求系统状态方程和输出方程的解 解 采用 z 域法求解 1 1 2 1311 23232 zz z zzzz AI I 11 22 22 2 2 2 0 3113101 1 21213232 211 23232 211 32 11 2 zzzzz zzz zzzzzz zz zzzzzz zz zz zz z zz A AXI II IB B 所以 1 1 2 2 2 1 2 nn n nu nu n n u n 1 132 21 22 zzz z z zzz YC DX 所以 1 3 2 2 1 3 2 1 nnn y nu nu nnu n 8 11 已知某离散系统状态方程和输出方程中的各矩阵分别为 4 1 4 1 0 2 1 A 0 1 B B 10 11 C 0 0 D 初始状态和输入信号分别为和 2 1 0 0 2 1 x x nunf 求系统状态方程的解 零输入响应和零状态响应 解 采用 z 域法求解 1 系统状态方程的解 1 1 11 00 1 24 11 1111 24 4442 zz z zz zz AI I 11 0 11 00 111 44 1111 1121101 2424 4242 11 44 1111 31 1 2 2424 44 zzzzz zz zz z zzzz zz zz zz zzzzz z AxABFI II I 2 2 2 1 4 11 53 1 2 24 24 1 1 2 3 2 2 1 1 4 zz z zzz zz z zz zz zz 所以系统状态方程的解为 1 2 1 2 2 24 1 33 4 n n x n u n x n 2 系统零输入响应 1 0 1 0 1 11 4 11 01112 24 42 31 3 11 2 4 24 zz z z zz z z z z zz zi YCAxI I 所以系统零输入响应为 1 2 11 2 24 11 24 nn zi nn zi yn u n yn 4 系统零状态响应 1 1 0 1 11 1 4 11 011101 24 42 1 2 1 0 1 2 zzz z z z zz z z zz zs YCABFDFI I 所以系统零状态响应为 1 2 1 44 2 0 n zs zs yn u n yn 8 12 已知一离散系统的状态方程和输出方程分别为 10 1 1 2 1 2 1 n n ban n 1 2 31 n y n n 当时 输入 输出 0 n0 nf 33 1 nununy nn 求 1 系数和的值 ab 2 状态方程解 解 1 根据条件 01 ab A 0 0 B B 3 1 C 0 0 D 11 1 1 1 2 1 2 2 0 1 3 1 0 0 1 3 1 0 0 33 5 0 zzzzzz z z azb az z aazb a z zba azbza YCA CAXDX I II IB B 式 1 12 2 33 0 5 0 z zba aa zbza 根据 33 1 nununy nn 得 式 2 2 2 34 1323 zzz Y z zzzz 结合式 1 2 得 3a 2b 1 4 0 3 a 2 12 0 5 a 2 状态方程的解 1 1 1 2 1 2 0 0 1 0 4 1 3 3212 5 44 315 1223 4 5 zzz az z aazb z z z z z zzz A I I 所以状态方程的解 1 2 142 31 155 168 31 55 n n n n a n u n a n 8 13 已知某离散系统的状态方程与输出方程为 0 1 2 1 1 4 1 2 1 1 1 2 1 2 1 nx n n n