相似三角形中考试题

E C DA F B 图 5 A E D BC 图 8 相似三角形相似三角形 填空题填空题 1 如图 DE 两点分别在ABC 的边ABAC 上 DE与BC不平行 当满足 条件 写出一个即可 时 ADEACB 2 如果两个相似三角形的相似比是1 3 那么这两个三角 形面积的比是 3 如图 5 平行四边形ABCD中 E是边BC上的点 AE交BD于点F 如果 2 3 BE BC 那么 BF FD 4 在比例尺为 1 2000 的地图上测得 AB 两地间的图上距离为 5cm 则 AB 两地间的实际距 离为 m 5 在 Rt ABC 中 C 为直角 CD AB 于点 D BC 3 AB 5 写出其中的一对相似三角形是 和 并写出它的面积比 6 已知 A 40 则 A 的余角等于 度 7 如图 点 1234 AAAA 在射线OA上 点 123 BBB 在射 线OB上 且 112233 ABA BA B 213243 A BA BA B 若 212 A B B 323 A B B 的面积分 别为 1 4 则图中三个阴影三角形面积之和 为 8 两个相似三角形周长的比为 2 3 则其对应的面积比为 9 两个相似三角形的面积比 S1 S2与它们对应高之比 h1 h2之间的关系为 10 如图 8 D E 分别是ABC 的边 AB AC 上的点 则使AED ABC 的条件是 11 如图 4 已知 AB BD ED BD C 是线段 BD 的中点 且 AC CE ED 1 BD 4 那么 AB D C BA 第 16 题图 O A1A2A3A4A B B1 B2 B3 1 4 A E C B D 图 3 第 12 题 A BC E D 12 如图 在ABC 中 DE 分别是ABAC 的中点 若5DE 则BC的长是 13 如图 3 要测量 A B 两点间距离 在 O 点打桩 取 OA 的中点 C OB 的中点 D 测 得 CD 30 米 则 AB 米 14 如图 一束光线从 y 轴上点 A 0 1 发出 经过 x 轴上点 C 反射后 经过点 B 6 2 则光线从 A 点到 B 点经过的路线的长度为 精确到 0 01 15 如图 ABC 中 ABAC DE 两点分别在边ACAB 上 且DE与BC不 平行 请填上一个你认为合适的条件 使ADEABC 不再添加其他的字母和线段 只填一个条件 多填不给分 16 如图 5 若 ABC DEF 则 D的度数为 17 如果两个相似三角形的相似比是1 3 那么这两个三角形 面积的比是 18 如图 平行四边形ABCD中 E是边BC上的点 AE交BD于点F 如果 2 3 BE BC 那么 BF FD 一 选择题一 选择题 1 如图 1 已知 AD 与 VC 相交于点 O AB CD 如果 B 40 D 30 则 AOC 的大小为 A 60 B 70 C 80 D 120 E C DA F B C A B A D AO A E A F A 第 18 题图 A B G C D E F L A BC D E F 2 如图 已知D E分别是ABC 的AB AC边上的点 DE BC 且 1 ADEDBCE SS 四边形 那么 AE AC等于 A 1 9 B 1 3 C 1 8 D 1 2 3 如图G是 ABC的重心 直线 L 过A点与BC平行 若直线CG分别与AB L交于 D E两点 直线BG与AC交于F点 则 AED的面积 四边形ADGF的面积 A 1 2 B 2 1 C 2 3 D 3 2 4 图为 ABC与 DEC重迭的情形 其中E在BC上 AC交DE于F点 且AB DE 若 ABC与 DEC的面积相等 且EF 9 AB 12 则DF A 3 B 7 C 12 D 15 5 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图 点 P 处放一水平的平面镜 光线从 点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处 已知 AB BD CD BD 且测得 AB 1 2 米 BP 1 8 米 PD 12 米 那么该古城墙的高度是 A 6 米 B 8 米 C 18 米 D 24 米 6 如图 DEF 是由ABC 经过位似变换得到的 点O是位似中心 DEF 分别 是OAOBOC 的中点 则DEF 与ABC 的面积比是 A 1 6B 1 5C 1 4D 1 2 7 给出两个命题 两个锐角之和不一定是钝角 各边对应成比例的两个多边形一定相 似 A 真 真B 假 真C 真 假D 假 假 AB CD O 图 1 B A C DE 10 如果两个相似三角形的相似比是1 2 那么它们的面积比是 A 1 2B 1 4C 1 2D 2 1 13 给出两个命题 两个锐角之和不一定是钝角 各边对应成比例的两个多边形一定 相似 A 真 真B 假 真C 真 假D 假 假 14 已知ABCDEF 相似比为 3 且ABC 的周长为 18 则DEF 的周长为 A 2B 3C 6D 54 15 2008 山东潍坊 如图 Rt ABAC 中 AB AC AB 3 AC 4 P 是 BC 边上一点 作 PE AB 于 E PD AC 于 D 设 BP x 则 PD PE A 3 5 x B 4 5 x C 7 2 D 2 1212 525 xx 16 2008 山东烟台 如图 在 Rt ABC 内有边长分别为 a b c的三个正方形 则 a b c满足的关系式是 A bac B bac C 222 bac D 22bac 17 如图 ABC 是等边三角形 被一平行于 BC 的矩形所截 AB 被截成三等分 则图中阴影部分的面积是 ABC 的面积的 9 1 9 2 3 1 9 4 18 2008 江苏 常州 如图 在 ABC 中 若 DE BC AD DB 1 2 DE 4cm 则 BC 的长为 A BC DE A B C D E P G C A 第 10 题图 A 8cmB 12cm C 11cm D 10cm 19 2008 江西南昌 下列四个三角形 与左图中的三角形相似的是 20 2008 重庆 若 ABC DEF ABC 与 DEF 的相似比为 2 3 则 S ABC S DEF为 A 2 3 B 4 9 C 2 3 D 3 2 21 2008 湖南 长沙 在同一时刻 身高 1 6 米的小强在阳光下的影长为 0 8 米 一棵 大树的影长为 4 8 米 则树的高度为 A 4 8 米B 6 4 米C 9 6 米D 10 米 22 2008 江苏南京 小刚身高 1 7m 测得他站立在阳关下的影子长为 0 85m 紧接着他 把手臂竖直举起 测得影子长为 1 1m 那么小刚举起手臂超出头顶 A 0 5m B 0 55m C 0 6m D 2 2m 33 2008 湖北黄石 如图 每个小正方形边长均为 1 则下列图中的三角形 阴影部分 与左图中ABC 相似的是 解答题解答题 1 2008 广东 如图 5 在 ABC 中 BC AC 点 D 在 BC 上 且 DC AC ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F 点 E 是 AB 的中点 连结 EF 1 求证 EF BC 2 若四边形 BDFE 的面积为 6 求 ABD 的面 积 2 2008 山西太原 如图 在ABC 中 2BACC 1 在图中作出ABC 的内角平分线 AD 要求 尺规作图 保留作图痕迹 不写证明 A B C D A B C 第 7 题 A B C D 2 在已作出的图形中 写出一对相似三角形 并说明理由 提示 1 如图 AD 即为所求 3 2008 湖北武汉 本题 6 分 如图 点 D E 在 BC 上 且 FD AB FE AC 求证 ABC FDE 4 2008 年杭州市 本小题满分 10 分 如图 在等腰 ABC 中 CH 是底边上的高线 点 P 是线段 CH 上不与端点重合的任意一 点 连接 AP 交 BC 于点 E 连接 BP 交 AC 于点 F 1 证明 CAE CBF 2 证明 AE BF 3 以线段 AE BF 和 AB 为边构成一个新的三角形 ABG 点 E 与点 F 重合于点 G 记 ABC 和 ABG 的面积分别为 S ABC和 S ABG 如果存在点 P 能使得 S ABC S ABG 求 C 的取之范 围 5 2008 佛山 21 如图 在直角 ABC内 以A为一个顶点作正方形ADEF 使得点E落在 BC边上 1 用尺规作图 作出D E F中的任意一点 保留作图痕迹 不写作法和证明 另 外两点不需要用尺规作图确定 作草图即可 2 若AB 6 AC 2 求正方形ADEF的边长 F ED CB A F C A B P E H AB C 第 21 题图 6 2008 年陕西省 阳光明媚的一天 数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度 这棵 树底部可以到达 顶部不易到达 他们带了以下测量工具 皮尺 标杆 一副三角尺 小平面镜 请你在他们提供的测量工具中选出所需工具 设计一种测量方案 1 所需的测量工具是 2 请在下图中画出测量示意图 3 设树高AB的长度为x 请用所测数据 用小写字母表示 求出x 7 20082008 年江苏省南通市 年江苏省南通市 如图 四边形 ABCD 中 AD CD DAB ACB 90 过点 D 作 DE AC 垂足为 F DE 与 AB 相交于点 E 1 求证 AB AF CB CD 2 已知 AB 15cm BC 9cm P 是射线 DE 上的动点 设 DP xcm x 0 四边形 BCDP 的面积为 ycm2 求 y 关于 x 的函数关系式 当 x 为何值时 PBC 的周长最小 并求出此时 y 的值 8 2008 湖南 怀化 如图 10 四边形 ABCD DEFG 都是正方形 连接 AE CG AE 与 CG 相交于点 M CG 与 AD 相交于点 N 求证 1 CGAE 2 MNCNDNAN 9 2008 湖南 益阳 ABC是一块等边三角形 的废铁片 利用其剪裁一个正方形DEFG 使正方形的一条边DE落在BC上 顶点F G 分别落在AC AB上 第 20 题 图 D P A E F C B 证明 BDG CEF 探究 怎样在铁片上准确地画出正方形 小聪和小明各给出了一种想法 请你在 a和 b的两个问题中选择一个你喜欢的 问题解答 如果两题都解 只以 a的解答记分 a 小聪想 要画出正方形DEFG 只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE 的长 从而确定D点和E点 再画正方形DEFG就容易了 设 ABC的边长为 2 请你帮小聪求出正方形的边长 结果用含根号的式子表 示 不要求分母有理化 b 小明想 不求正方形的边长也能画出正方形 具体作法是 在AB边上任取一点G 如图作正方形G D E F 连结BF 并延长交AC于F 作FE F E 交BC于E FG F G 交AB于G GD G D 交BC于D 则四边形DEFG即为所求 你认为小明的作法正确吗 说明理由 10 2008 湖北 恩施 如图 11 在同一平面内 将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG 摆放在一起 A为公共顶点 BAC AGF 90 它们的斜边长为 2 若 ABC固定不 动 AFG绕点A旋转 AF AG与边BC的交点分别为D E 点 D 不与点 B 重合 点 E 不 与点 C 重合 设BE m CD n 1 请在图中找出两对相似而不全等的三角形 并选取其中一对进行证明 2 求 m 与 n 的函数关系式 直接写出自变量 n 的取值范围 3 以 ABC的斜边BC所在的直线为 x 轴 BC边上的高所在的直线为 y 轴 建立平面 A BC DE FG 图 1 A BC DE FG 图 3 G F E D A BC DE FG 图 2 G F EDCB A 直角坐标系 如图 12 在边BC上找一点D 使BD CE 求出D点的坐标 并通过计算 验证BD 2 CE 2 DE 2 4 在旋转过程中 3 中的等量关系BD 2 CE 2 DE 2 是否始终成立 若成立 请证明 若 不成立 请说明理由 11 08 浙江温州 如图 在RtABC 中 90A 6AB 8AC DE 分 别是边ABAC 的中点 点P从点D出发沿DE方向运动 过点P作PQBC 于Q 过点Q作QRBA 交AC于R 当点Q与点C重合时 点P停止运动 设BQx QRy 1 求点D到BC的距离DH的长 2 求y关于x的函数关系式 不要求写出自变量的取值范围 3 是否存在点P 使PQR 为等腰三角形 若存在 请求出所有满足要求的x的值 若不存在 请说明理由 12 08 山东省日照市 在 ABC 中 A 90 AB 4 AC 3 M 是 AB 上的动点 不与 A B 重合 过 M 点作 MN BC 交 AC 于点 N 以 MN 为直径作 O 并在 O 内作内接矩 形 AMPN 令 AM x 1 用含 x 的代数式表示 NP 的面积 S 2 当 x 为何值时 O 与直线 BC 相切 3 在动点 M 的运动过程中 记 NP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y 试求 y 关于 x 的 函数表达式 并求 x 为何值时 y 的值最大 最大值是多少 G y xO F EDCB A A BC D E R P H Q 第 1 题图 A B C M N P 图 1 O 13 2008 安徽 如图 四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形 点R为DE的中 点 BR分别交ACCD 于点PQ 1 请写出图中各对相似三角形 相似比为 1 除外 2 求 BP PQ QR 14 2008 山东 临沂 如图 ABCD 中 E 是 CD 的延长线上一点 BE 与 AD 交于点 F CDDE 2 1 求证 ABF CEB 若 DEF 的面积为 2 求 ABCD 的面积 15 2008 浙江 丽水 为了加强视力保护意识 小明想在长为 3 2 米 宽为 4 3 米的书 房里挂一张测试距离为 5 米的视力表 在一次课题学习课上 小明向全班同学征集 解决空间过小 如何放置视力表问题 的方案 其中甲 乙 丙三位同学设计方案 新颖 构思巧妙 1 甲生的方案 如图 1 将视力表挂在墙ABEF和墙ADGF的夹角处 被测试人站 立在 对角线AC上 问 甲生的设计方案是否可行 请说明理由 2 乙生的方案 如图 2 将视力表挂在墙CDGH上 在墙 ABEF 上挂一面足够大的平 面镜 根据平面镜成像原理可计算得到 测试线应画在距离墙ABEF 米 处 3 丙生的方案 如图 3 根据测试距离为 5m 的大视力表制作一个测试距 为 3m 的小 视 力表 如果大视力表中 E 的长是 3 5cm 那么小视力表中相应 E 的长是多 少 cm 第 20 题 图 A B C D E P O R 第 21 题图 F A D E BC H H 图 1 图 2 图 3 第 22 题 3 5 A C F 3m B 5m D 16 2008 年福建宁德 如图 E 是 ABCD 的边 BA 延长线上一点 连接 EC 交 AD 于 F 在不添加辅助线的情况下 请找出图中的一对相似三角形 并说明理由 17 2008 黑龙江 如图 在平面直角坐标系中 点 3 0 C 点AB 分别在x轴 y轴 的正半轴上 且满足 2 310OBOA 1 求点A 点B的坐标 2 若点P从C点出发 以每秒 1 个单位的速度沿射线CB运动 连结AP 设 ABP 的面积为S 点P的运动时间为t秒 求S与t的函数关系式 并写出自变量的取 值范围 3 在 2 的条件下 是否存在点P 使以点ABP 为顶点的三角形与AOB 相 似 若存在 请直接写出点P的坐标 若不存在 请说明理由 18 在 ABC 中 A 90 AB 4 AC 3 M 是 AB 上的动点 不与 A B 重合 过 M 点作 MN BC 交 AC 于点 N 以 MN 为直径作 O 并在 O 内作内接矩形 AMPN 令 AM x 1 用含 x 的代数式表示 NP 的面积 S 2 当 x 为何值时 O 与直线 BC 相切 3 在动点 M 的运动过程中 记 NP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y 试求 y 关于 x 的函数表达式 并求 x 为何值时 y 的值最大 最大值是多少 19 08 中山 将两块大小一样含 30 角的直角三角板 叠放在一起 使得它们的斜边 A F D B C E y x A OC B A B C MN D 图 2 O A B C M N P 图 1 O A B C MN P 图 3 O 图 8 AB 重合 直角边不重合 已知 AB 8 BC AD 4 AC 与 BD 相交于点 E 连结 CD 1 填空 如图 9 AC BD 四边形 ABCD 是 梯形 2 请写出图 9 中所有的相似三角形 不含全等三角形 3 如图 10 若以 AB 所在直线为x轴 过点 A 垂直于 AB 的直线为y轴建立如图 10 的平面直角坐标系 保持 ABD 不动 将 ABC 向x轴的正方向平移到 FGH 的位置 FH 与 BD 相交于点 P 设 AF t FBP 面积为 S 求 S 与 t 之间的函数关 系式 并写出 t 的取值值范围 20 2008 年福建省福州市 本题满分 13 分 如图 已知 ABC 是边长为 6cm 的等边三角形 动点 P Q 同时从 A B 两点出发 分别沿 AB BC 匀速运动 其中点 P 运动的速度是 1cm s 点 Q 运动的速度是 2cm s 当 点 Q 到达点 C 时 P Q 两点都停止运动 设运动时间为 t s 解答下列问题 1 当 t 2 时 判断 BPQ 的形状 并说明理由 2 设 BPQ 的面积为 S cm2 求 S 与 t 的函数关系式 3 作 QR BA 交 AC 于点 R 连结 PR 当 t 为何值时 APR PRQ 21 2008 年广东梅州市 本题满分 8 分 如图 8 四边形ABCD是平行四边形 O 是对角线AC的中点 过点O的直线EF分 别交 AB DC 于点E F 与 CB AD 的延长线分别交于点 G H 1 写出图中不全等的两个相似三角形 不要求证明 2 除 AB CD AD BC OA OC 这三对相等的线段外 图中还有多对相等的线段 请选出其中一对加以证明 D C BA E 图 9 E D CH FGBA P y x 图 10 10 第 21 题 22 2008 年广东梅州市 本题满分本题满分 8 分 分 如图 10 所示 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的动点 EF DE 交 BC 于点 F 1 求证 ADE BEF 2 设正方形的边长为 4 AE x BF y 当x取什么值时 y有最大值 并求出 这个最大值 23 2008 扬州 如图 在 ABD 和 ACE 中 AB AD AC AE BAD CAE 连结 BC DE 相交于点 F BC 与 AD 相交于点 G 1 试判断线段 BC DE 的数量关系 并说明理由 2 如果 ABC CBD 那么线段 FD 是线段 FG 和 FB 的比例中项吗 为什么 G F A C E B D 24 20082008 徐州 徐州 如图 1 一副直角三角板满足 AB BC AC DE ABC DEF 90 EDF 30 操作 将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上 再将三角板 DEF 绕 点 E 旋转 并使边 DE 与边 AB 交于点 P 边 EF 与边 BC 于点 Q 探究一 在旋转过程中 1 如图 2 当 CE 1 EA 大时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系 并给出证明 Q P D E F C B A Q P D E F C B A AB CD A C B1 B2 D1 D2 A C EF B2 B1 D1D2 2 如图 3 当 CE 2 EA 大时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系 并说明理由 3 根据你对 1 2 的探究结果 试写出当 CE EA 大m时 EP 与 EQ 满足的数量关系 式为 其中m的取值范围是 直接写出结论 不必证明 探究二 若 AC 30cm 连续 PQ 设 EPQ 的面积为 S cm2 在旋转过程中 1 S 是否存在最大值或最小值 若存在 求出最大值或最小值 若不存在 说明理由 2 随着 S 取不同的值 对应 EPQ 的个数有哪些变化 不出相应 S 值的取值范围 图 1 图 2 图 3 25 2008 遵义 14 分 如图 1 所示 一张平行四边形纸片 ABCD AB 10 AD 6 BD 8 沿对角线 BD 把这张纸片剪成 AB1D1和 CB2D2两个三角形 如图 2 所示 将 AB1D1沿直线 AB1方向移动 点 B2始终在 AB1上 AB1与 CD2始终保 持平行 当点 A 与 B2重合时停止平移 在平移过程中 AD1与 B2D2交于点 E B2C 与 B1D1交于点 F 1 当 AB1D1平移到图 3 的位置时 试判断四边形 B2FD1E 是什么四边形 并证明你 的结论 2 设平移距离 B2B1为 x 四边形 B2FD1E 的面积为 y 求 y 与 x 的函数关系式 并求 出四边形 B2FD1E 的面积的最大值 3 连结 B1C 请在图 3 中画出 当平移距离 B2B1的值是多少时 B1B2F 与 B1CF 相似 F C E B A D 参考答案参考答案 一 选择题 1 B 2 B 3 D 4 B 5 B 6 C 7 C 8 A 9 C 10 B 11 C 12 C 13 C 14 C 15 A 16 A 17 C 18 B 19 B 20 B 21 C 22 A 23 B 二 填空题 1 ADE ACB 或 AED ABC 或错误错误 不能通过编辑域代码创建对象 不能通过编辑域代码创建对象 2 1 9 3 2 3 4 100 5 6 50 7 10 5 8 4 9 9 2 11 22 Sh Sh 10 AEDB 或ADEC 或 ADAE ACAB 11 4 12 10 13 60 14 6 71 15 16 30 17 1 9 18 2 3 三 解答题 1 1 证明 CFACB 平分 12 又 DCAC CF 是 ACD 的中线 点 F 是 AD 的中点 点 E 是 AB 的中点 EF BD 即 EF BC 2 解 由 1 知 EF BD AEF ABD 2 AEF ABD SAE SAB 又 1 2 AEAB 6 AEFABDABDBDFE SSSS 四边形 2 61 2 ABD ABD S S 8 ABD S ABD 的面积为 8 2 2 ABDCBA 理由如下 AD 平分 2 BACBACC 则BADBCA 又BB 故ABDCBA 3 证明 略 4 1 ABC 为等腰三角形 AC BC CAB CBA 又 CH 为底边上的高 P 为高线上的点 PA PB PAB PBA CAE CAB PAB CBF CBA PBA CAE CBF 2 AC BC CAE CBF ACE BCF ACE BCF AAS AE BF 3 若存在点 P 能使 S ABC S ABG 因为 AE BF 所以 ABG 也是一个等腰三角形 这两个 三角形面积相等 底边也相同 所以高也相等 进而可以说明 ABC ABG 则对应 边 AC AE ACE AEC 所以 0 C 90 5 解 作图 作 BAC的平分线交线段BC于E 4 分 痕迹清晰 准确 本步骤给满分痕迹清晰 准确 本步骤给满分 4 4 分 否则酌情扣分 否则酌情扣 1 1 至至 4 4 分 另外两点及边作的是分 另外两点及边作的是 否准确 不扣分否准确 不扣分 如图 四边形ADEF是正方形 EF AB AD DE EF FA 5 分 CFE CAB CA CF BA EF 6 分 AC 2 AB 6 设AD DE EF FA x 6 6 2 xx 7 分 x 2 3 即正方形ADEF的边长为 2 3 8 分 本题可以先作图后计算 也可以先计算后作本题可以先作图后计算 也可以先计算后作 A B C 第 21 题图 D E F C D EF B A 第 20 题答案图 图 未求出图 未求出ADAD或或AFAF的值用作中垂线的方法找到的值用作中垂线的方法找到D D点或点或F F点 给点 给 2 2 分 分 6 解 1 皮尺 标杆 2 测量示意图如右图所示 3 如图 测得标杆DEa 树和标杆的影长分别为ACb EFc DEFBAC DEFE BACA ac xb ab x c 7 1 证明 AD CD DE AC DE 垂直平分 AC AF CF DFA DFC 90 DAF DCF DAB DAF CAB 90 CAB B 90 DCF DAF B 在 Rt DCF 和 Rt ABC 中 DFC ACB 90 DCF B DCF ABC CDCF ABCB 即 CDAF ABCB AB AF CB CD 2 解 AB 15 BC 9 ACB 90 AC 22 ABBC 22 159 12 CF AF 6 1 9 2 yx 6 3x 27 x 0 BC 9 定值 PBC 的周长最小 就是 PB PC 最小 由 1 可知 点 C 关于 直线 DE 的对称点是点 A PB PC PB PA 故只要求 PB PA 最小 显然当 P A B 三点共线时 PB PA 最小 此时 DP DE PB PA AB 由 1 ADF FAE DFA ACB 90 地 DAF ABC EF BC 得 AE BE 1 2 AB 15 2 EF 9 2 AF BC AD AB 即 6 9 AD 15 AD 10 Rt ADF 中 AD 10 AF 6 DF 8 DE DF FE 8 9 2 25 2 当 x 25 2 时 PBC 的周长最小 此时 y 129 2 8 证明 1 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形 90 ADCD DEDGADCEDG ADECDGADECDG AECG 2 由 1 得 又CNDANMDCGDAECDGADE ANMN ANDNCNMN CNDN 即 AMN CDN 9 证明 DEFG为正方形 GD FE GDB FEC 90 ABC是等边三角形 B C 60 BDG CEF AAS a 解法一 设正方形的边长为x 作 ABC的高AH 求得3 AH 由 AGF ABC得 3 3 2 xx 解之得 32 32 x 或634 x 解法二 设正方形的边长为x 则 2 2x BD 在 Rt BDG中 tan B BD GD 3 2 2 x x 解之得 32 32 x 或634 x 解法三 设正方形的边长为x 则xGB x BD 2 2 2 由勾股定理得 222 2 2 2 x xx 解之得 634 x b 解 正确 由已知可知 四边形GDEF为矩形 FE F E BF FB EF FE 同理 BF FB GF FG A BC DE FG 解图 2 H A BC D E FG 解图 3 G F E D GF FG EF FE 又 F E F G FE FG 因此 矩形GDEF为正方形 10 解 1 ABE DAE ABE DCA BAE BAD 45 CDA BAD 45 BAE CDA 又 B C 45 ABE DCA 2 ABE DCA CD BA CA BE 由依题意可知CA BA 2 n m2 2 m n 2 自变量 n 的取值范围为 1 n 2 3 由BD CE可得BE CD 即 m n m n 2 m n 2 OB OC 2 1 BC 1 OE OD 2 1 D 1 2 0 BD OB OD 1 2 1 2 2 CE DE BC 2BD 2 2 2 2 22 2 BD 2 CE 2 2 BD 2 2 2 2 2 12 82 DE 2 22 2 2 12 82 BD 2 CE 2 DE 2 4 成立 证明 如图 将 ACE绕点A顺时针旋转 90 至 ABH的位置 则CE HB AE AH ABH C 45 旋转角 EAH 90 F D H A G ECB 连接HD 在 EAD和 HAD中 AE AH HAD EAH FAG 45 EAD AD AD EAD HAD DH DE 又 HBD ABH ABD 90 BD 2 HB 2 DH 2 即BD 2 CE 2 DE 2 11 解 1 RtA 6AB 8AC 10BC 点D为AB中点 1 3 2 BDAB 90DHBA BB BHDBAC DHBD ACBC 312 8 105 BD DHAC BC 2 QRAB 90QRCA CC RQCABC RQQC ABBC 10 610 yx 即y关于x的函数关系式为 3 6 5 yx 3 存在 分三种情况 当PQPR 时 过点P作PMQR 于M 则QMRM 1290 290C 1C 84 cos 1cos 105 C 4 5 QM QP 13 6 425 12 5 5 x 18 5 x 当PQRQ 时 312 6 55 x A BC D E R P H Q M 2 1 A BC D E R P H Q A BC D E R P H Q 6x 当PRQR 时 则R为PQ中垂线上的点 于是点R为EC的中点 11 2 24 CRCEAC tan QRBA C CRCA 3 6 6 5 28 x 15 2 x 综上所述 当x为 18 5 或 6 或 15 2 时 PQR 为等腰三角形 12 解 解 1 MN BC AMN B ANM C AMN ABC AMAN ABAC 即 43 xAN AN 4 3 x 2 分 S 2 1 33 2 48 MNPAMN SSx xx 0 x 4 3 分 2 如图 2 设直线BC与 O相切于点D 连结AO OD 则AO OD 2 1 MN 在 Rt ABC中 BC 22 ABAC 5 由 1 知 AMN ABC AMMN ABBC 即 45 xMN 5 4 MNx 5 8 ODx 5 分 过M点作MQ BC 于Q 则 5 8 MQODx 在 Rt BMQ与 Rt BCA中 B是公共角 BMQ BCA BMQM BCAC 5 5 25 8 324 x BMx 25 4 24 ABBMMAxx x 49 96 A B C MN D 图 2 O Q 当x 49 96 时 O与直线BC相切 7 分 3 随点M的运动 当P点落在直线BC上时 连结AP 则O点为AP的中点 MN BC AMN B AOM APC AMO ABP 1 2 AMAO ABAP AM MB 2 故以下分两种情况讨论 当 0 x 2 时 2 8 3 xSy PMN 当x 2 时 2 33 2 82 y 大大 8 分 当 2 x 4 时 设PM PN分别交BC于E F 四边形AMPN是矩形 PN AM PN AM x 又 MN BC 四边形MBFN是平行四边形 FN BM 4 x 424PFxxx 又 PEF ACB 2 PEF ABC SPF ABS 23 2 2 PEF Sx 9 分 MNPPEF ySS 2 22 339 266 828 xxxx 10 分 当 2 x 4 时 2 9 66 8 yxx 2 98 2 83 x 当 8 3 x 时 满足 2 x 4 2y 大大 11 分 综上所述 当 8 3 x 时 y值最大 最大值是 2 12 分 13 解 1 BCPBER PCQPAB PCQRDQ PABRDQ 2 四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形 BCADCE ACDE PBPR 1 2 PC RE 又PCDR PCQRDQ A B C MN P 图 4 O EF A B C M N P 图 3 O 点R是DE中点 DRRE 1 2 PQPCPC QRDRRE 2QRPQ 又3BPPRPQQRPQ 3 1 2BP PQ QR 14 解 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 A C AB CD ABF CEB ABF CEB 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC ABCD DEF CEB DEF ABF CDDE 2 1 9 1 2 EC DE S S CEB DEF 4 1 2 AB DE S S ABF DEF 2 DEF S 18 CEB S 8 ABF S 16 DEFBCEBCDF SSS四边形 24816 ABFBCDFABCD SSS 四边形四边形 15 解 1 甲生的设计方案可行 根据勾股定理 得 22222 3 24 328 73ACADCD 28 73255AC 甲生的设计方案可行 2 1 8米 3 FD BC ADF ABC FDAD BCAB 3 3 55 FD 2 1FD cm 答 小视力表中相应 2 1cm 16 答案不惟一 EAF EBC 或 CDF EBC 或 CDF EAF 若 EAF EBC 理由如下 在 ABCD 中 AD BC EAF B 又 E E EAF EBC 17 解 1 2 310OBOA 2 30OB 10OA 3OB 1OA 点A 点B分别在x轴 y轴的正半轴上 10 03 AB 2 求得90ABC 2 3 02 3 2 3 2 3 tt S tt 3 1 3 0 P 2 2 13 3 P 3 4 13 3 P 4 3 2 3 P 18 解 解 1 MN BC AMN B ANM C AMN ABC AMAN ABAC 即 43 xAN AN 4 3 x S 2 1 33 2 48 MNPAMN SSx xx 0 x 4 2 如图 2 设直线 BC 与 O 相切于点 D 连结 AO OD 则 AO OD 2 1 MN 在 Rt ABC 中 BC 22 ABAC 5 由 1 知 AMN ABC AMMN ABBC 即 45 xMN 5 4 MNx 5 8 ODx 过 M 点作 MQ BC 于 Q 则 5 8 MQODx 在 Rt BMQ 与 Rt BCA 中 B 是公共角 BMQ BCA A B C MN D 图 2 O Q A B C M N P 图 1 O BMQM BCAC 5 5 25 8 324 x BMx 25 4 24 ABBMMAxx x 49 96 当 x 49 96 时 O 与直线 BC 相切 3 随点 M 的运动 当 P 点落在直线 BC 上时 连结 AP 则 O 点为 AP 的中点 MN BC AMN B AOM APC AMO ABP 1 2 AMAO ABAP AM MB 2 故以下分两种情况讨论 当 0 x 2 时 2 8 3 xSy PMN 当x 2 时 2 33 2 82 y 大大 当 2 x 4 时 设 PM PN 分别交 BC 于 E F 四边形 AMPN 是矩形 PN AM PN AM x 又 MN BC 四边形 MBFN 是平行四边形 FN BM 4 x 424PFxxx 又 PEF ACB 2 PEF ABC SPF ABS 23 2 2 PEF Sx MNPPEF ySS 2 22 339 266 828 xxxx 当 2 x 4 时 2 9 66 8 yxx 2 98 2 83 x 当 8 3 x 时 满足 2 x 4 2y 大大 综上所述 当 8 3 x 时 y值最大 最大值是 2 19 解 1 4 3 4 3 1 分 等腰 2 分 A B C MN P 图 4 O EF A B C M N P 图 3 O 2 共有 9 对相似三角形 写对 3 5 对得 1 分 写对 6 8 对得 2 分 写对 9 对得 3 分 DCE ABE 与 ACD 或 BDC 两两相似 分别是 DCE ABE DCE ACD DCE BDC ABE ACD ABE BDC 有 5 对 ABD EAD ABD EBC 有 2 对 BAC EAD BAC EBC 有 2 对 所以 一共有 9 对相似三角形 5 分 3 由题意知 FP AE 1 PF