（三管齐下）贵州省2014届高三数学 复习试题14 导数在研究函数中的应用理（含解析）新人教A版

1 1414 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 0 导学目标 1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求 函数的单调区间 多项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 多项式函数一般不超过三次 及最大 最小 值 自主梳理 1 导数和函数单调性的关系 1 若f x 0 在 a b 上恒成立 则f x 在 a b 上是 函数 f x 0 的解 集与定义域的交集的对应区间为 区间 2 若f x 0 在 a b 上恒成立 则f x 在 a b 上是 函数 f x 1 1 2 1 讨论函数f x 的单调性 2 证明 若a 1 f x1 f x2 x1 x2 多角度审题 1 先求导 根据参数a的值进行分类讨论 2 若x1 x2 结论等价于 f x1 x1 f x2 x2 若x1 x2 问题等价于f x1 x1 f x2 x2 故问题等价于y f x x是单调增函数 答题模板 1 解 f x 的定义域为 0 f x x a 2 分 a 1 x x2 ax a 1 x x 1 x 1 a x 若a 1 1 即a 2 时 f x x 1 2 x 故f x 在 0 上单调递增 若a 11 故 1 a 2 时 则当x a 1 1 时 f x 0 故f x 在 a 1 1 上单调递减 在 0 a 1 1 上 单调递增 若a 1 1 即a 2 时 同理可得f x 在 1 a 1 上单调递减 在 0 1 a 1 上单调递增 6 分 2 证明 考虑函数g x f x x x2 ax a 1 ln x x 1 2 则g x x a 1 2 a 1 a 1 x x a 1 x 4 1 1 2 a 1 由于 1 a0 即g x 在 0 上单调递增 从而当x1 x2 0 时 有g x1 g x2 0 即f x1 f x2 x1 x2 0 故 1 10 分 f x1 f x2 x1 x2 当 0 x1 1 f x1 f x2 x1 x2 f x2 f x1 x2 x1 综上 若a 1 12 分 f x1 f x2 x1 x2 突破思维障碍 1 讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于 0 或小于 0 的不等式的解集 一般就是 归结为一个一元二次不 等式的解集的讨论 在能够通过因式分解得到导数等于 0 的根的情况下 根的大小是 分类的标准 2 利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数 通过函数研究函数的性质进而 解决不等式问题 1 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 令f x 0 求出它在定义域内的一切实根 3 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大 的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 4 确定f x 在各个开区间内的符号 根据f x 的符号判定函数f x 在每个相应 小开区间内的增减性 2 可导函数极值存在的条件 1 可导函数的极值点x0一定满足f x0 0 但当f x1 0 时 x1不一定是极值 点 如f x x3 f 0 0 但x 0 不是极值点 2 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右 侧f x 的符号不同 3 函数的最大值 最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的 函数的极值是比较 极值点附近的函数值得出来的 函数的极值可以有多有少 但最值只有一个 极值只能在 区间内取得 最值则可以在端点取得 有极值的未必有最值 有最值的未必有极值 极值 可能成为最值 最值只要不在端点必定是极值 4 求函数的最值以导数为工具 先找到极值点 再求极值和区间端点函数值 其中最 大的一个是最大值 最小的一个是最小值 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 2011 大连模拟 设f x g x 是 R 上的可导函数 f x g x 分别为f x g x 的导函数 且f x g x f x g x 0 则当a xf b g x B f x g a f a g x C f x g x f b g b D f x g x f a g a 2 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图所示 则 函数f x 在开区间 a b 内有极小值点 5 A 1 个B 2 个 C 3 个D 4 个 3 2011 嘉兴模拟 若函数y a x3 x 在区间上为减函数 则a的取值 3 3 3 3 范围是 A a 0B 1 a1D 0 a 3 2 3 2 C m D m 3B a D a0 求函数y f x 在区间 a 1 a 1 内的极值 答案 自主梳理 1 1 增 增 2 减 减 3 增 减 2 1 f x 0 f x 0 f x 0 2 f x 0 f x 0 极大值 极小值 自我检测 1 C 2 D 3 C 4 C 5 18 解析 f x 3x2 2ax b 由题意Error 即Error 得a 4 b 11 或a 3 b 3 但当a 3 时 f x 3x2 6x 3 0 故不存在极值 a 4 b 11 f 2 18 课堂活动区 例 1 解题导引 1 一般地 涉及到函数 尤其是一些非常规函数 的单调性问题 往 往可以借助导数这一重要工具进行求解 函数在定义域内存在单调区间 就是不等式 f x 0 或f x 0 即 x2 2 ex 0 ex 0 x2 2 0 解得 x0 x2 a 2 x a 0 对x 1 1 都成立 即x2 a 2 x a 0 对x 1 1 恒成立 设h x x2 a 2 x a 只须满足Error 解得a 3 2 7 3 若函数f x 在 R 上单调递减 则f x 0 对x R 都成立 即 x2 a 2 x a ex 0 对x R 都成立 ex 0 x2 a 2 x a 0 对x R 都成立 a 2 2 4a 0 即a2 4 0 这是不可能的 故函数f x 不可能在 R 上单调递减 若函数f x 在 R 上单调递增 则f x 0 对x R 都成立 即 x2 a 2 x a ex 0 对x R 都成立 ex 0 x2 a 2 x a 0 对x R 都成立 而x2 a 2 x a 0 不可能恒成立 故函数f x 不可能在 R 上单调递增 综上可知函数f x 不可能是 R 上的单调函数 变式迁移 1 解 1 由题意得f x 3x2 2 1 a x a a 2 又Error 解得b 0 a 3 或a 1 2 由f x 0 得x1 a x2 a 2 3 又f x 在 1 1 上不单调 即Error 或Error 解得Error 或Error 所以a的取值范围为 5 1 1 2 1 2 例 2 解题导引 本题研究函数的极值问题 利用待定系数法 由极值点的导数值为 0 以及极大值 极小值 建立方程组求解 判断函数极值时要注意导数为 0 的点不一定是 极值点 所以求极值时一定要判断导数为 0 的点左侧与右侧的单调性 然后根据极值的定 义判断是极大值还是极小值 解 1 由题意可知f x 3ax2 b 于是Error 解得Error 故所求的函数解析式为f x x3 4x 4 1 3 2 由 1 可知f x x2 4 x 2 x 2 令f x 0 得x 2 或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表所示 x 2 2 2 2 2 2 f x 0 0 f x 单调递增 极大 值 单调递减 极小 值 单调递增 因此 当x 2 时 f x 有极大值 28 3 8 当x 2 时 f x 有极小值 4 3 所以函数的大致图象如图 故实数k的取值范围为 4 3 28 3 变式迁移 2 解 1 f x 2bx 1 a x Error 解得a b 2 3 1 6 2 f x 1 2 3x x 3 x 1 x 2 3x 函数定义域为 0 列表 x 0 1 1 1 2 2 2 f x 0 0 f x 单调递减极小值单调递增极大值单调递减 x 1 是f x 的极小值点 x 2 是f x 的极大值点 例 3 解题导引 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上 的最大值和最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最 大值 最小的一个是最小值 解 1 由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b 当x 1 时 切线l的斜率为 3 可得 2a b 0 当x 时 y f x 有极值 则f 0 2 3 2 3 可得 4a 3b 4 0 由 解得a 2 b 4 又切点的横坐标为x 1 f 1 4 1 a b c 4 c 5 2 由 1 得f x x3 2x2 4x 5 f x 3x2 4x 4 令f x 0 得x 2 或x 2 3 f x 0 的解集为 即为f x 的减区间 2 2 3 3 2 是函数的增区间 2 3 1 又f 3 8 f 2 13 f f 1 4 2 3 95 27 y f x 在 3 1 上的最大值为 13 最小值为 95 27 变式迁移 3 解 1 由题意得f x 3ax2 2x b 因此g x f x f x ax3 3a 1 x2 b 2 x b 因为函数g x 是奇函数 所以g x g x 即对任意实数x 有a x 3 3a 1 x 2 b 2 x b ax3 3a 1 x2 b 2 x b 9 从而 3a 1 0 b 0 解得a b 0 1 3 因此f x 的表达式为f x x3 x2 1 3 2 由 1 知g x x3 2x 1 3 所以g x x2 2 令g x 0 解得x1 x2 22 则当x时 g x 0 22 从而g x 在区间 上是减函数 22 当 x0 22 从而g x 在区间 上是增函数 22 由前面讨论知 g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值只能在x 1 2 时取得 2 而g 1 g g 2 5 32 4 2 3 4 3 因此g x 在区间 1 2 上的最大值为g 2 4 2 3 最小值为g 2 4 3 课后练习区 1 C 2 A 3 A 4 A 5 B 6 3 解析 f x x2 a x 1 x2 a x 1 x2 a x 1 x 1 2 x2 2x a x 1 2 又 x 1 为函数的极值 f 1 0 1 2 1 a 0 即a 3 7 解析 观察函数f x 的导函数f x 的图象 由单调性 极值与导数值的关系直接判 断 8 3 6 解析 f x 3x2 2mx m 6 0 有两个不等实根 则 4m2 12 m 6 0 m 6 或m 3 9 解 f x 由f x 0 得 2x 1 x2 2 2 x 2 x 1 x2 2 2 x 2 1 4 分 当x 2 时f x 0 故x 2 是函数的极小 值点 故f x 的极小值为f 2 8 分 1 2 当x 2 1 时f x 0 当x 1 时f x 0 得x 2 或x 0 故f x 的单调递增区间是 0 2 由f x 0 得 0 x 2 故f x 的单调递减区间是 0 2 8 分 2 由 1 得f x 3x x 2 令f x 0 得x 0 或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 0 0 0 2 2 2 f x 0