教案_空间几何体的表面积和体积_

空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 学习目标学习目标 1 通过对柱 锥 台体的研究 掌握柱 锥 台的表面积和体积的求法 2 能运用公式求解柱体 锥体和台体的体积 并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系 3 了解球的表面积和体积公式推导的基本思想 掌握球的表面积和体积的计算公式 并会求球的表面 积和体积 4 会用柱 锥 台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积 要点梳理要点梳理 高清课堂 空间几何体的表面积和体积高清课堂 空间几何体的表面积和体积 395219395219 空间几何体的表面积空间几何体的表面积 要点一 棱柱 棱锥 棱台的表面积要点一 棱柱 棱锥 棱台的表面积 棱柱 棱锥 棱台是多面体 它们的各个面均是平面多边形 它们的表面积就是各个面的面积之 和 计算时要分清面的形状 准确算出每个面的面积再求和 棱柱 棱锥 棱台底面与侧面的形状如下表 项目 名称 底面侧面 棱柱平面多边形平行四边形面积 底 高 棱锥平面多边形三角形面积 底 高 1 2 棱台平面多边形梯形面积 上底 下底 高 1 2 要点诠释 要点诠释 求多面体的表面积时 只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形 利用平面图形求多面体的表 面积 要点二 圆柱 圆锥 圆台的表面积要点二 圆柱 圆锥 圆台的表面积 圆柱 圆锥 圆台是旋转体 它们的底面是圆面 易求面积 而它们的侧面是曲面 应把它们的侧面 展开为平面图形 再去求其面积 1 1 圆柱的表面积 圆柱的表面积 1 圆柱的侧面积 圆柱的侧面展开图是一个矩形 如下图 圆柱的底面半径为 r 母线长 那么l 这个矩形的长等于圆柱底面周长 C 2 r 宽等于圆柱侧面的母线长 也是高 由此可得 S圆柱侧l C 2 r ll 2 圆柱的表面积 2 222 Srrlr rl 圆柱表 2 2 圆锥的表面积 圆锥的表面积 1 圆锥的侧面积 如下图 1 所示 圆锥的侧面展开图是一个扇形 如果圆锥的底面半径为 r 母线长为 那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长 C r 半径等于圆锥侧面的母线长为 由此可得它ll 的侧面积是 1 2 SClrl 圆锥侧 2 圆锥的表面积 S 圆锥表 r2 r l 3 3 圆台的表面积 圆台的表面积 1 圆台的侧面积 如上图 2 所示 圆台的侧面展开图是一个扇环 如果圆台的上 下底面半径 分别为 r r 母线长为 那么这个扇形的面积为 r r 即圆台的侧面积为 S圆台侧ll r r l 2 圆台的表面积 22 Srrr lrl 圆台表 要点诠释 要点诠释 求旋转体的表面积时 可从旋转体的生成过程及其几何特征入手 将其展开后求表面积 但要搞清它 们的底面半径 母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系 4 4 圆柱 圆锥 圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示 圆柱 圆锥 圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示 要点三 柱体 锥体 台体的体积要点三 柱体 锥体 台体的体积 1 1 柱体的体积公式 柱体的体积公式 棱柱的体积 棱柱的体积等于它的底面积 S 和高 h 的乘积 即 V棱柱 Sh 圆柱的体积 底面半径是 r 高是 h 的圆柱的体积是 V圆柱 Sh r2h 综上 柱体的体积公式为 V Sh 2 2 锥体的体积公式 锥体的体积公式 棱锥的体积 如果任意棱锥的底面积是 S 高是 h 那么它的体积 1 3 VSh 棱锥 圆锥的体积 如果圆锥的底面积是 S 高是 h 那么它的体积 如果底面积半径是 r 用 1 3 VSh 圆锥 r2表示 S 则 2 1 3 Vr h 圆锥 综上 锥体的体积公式为 1 3 VSh 3 3 台体的体积公式 台体的体积公式 棱台的体积 如果棱台的上 下底面的面积分别为 S S 高是 h 那么它的体积是 1 3 Vh SSSS 棱台 圆台的体积 如果圆台的上 下底面半径分别是 r r 高是 h 那么它的体积是 22 11 33 Vh SSSSh rrrr 圆台 综上 台体的体积公式为 1 3 Vh SSSS 4 4 柱体 锥体 台体的体积公式之间的关系如下图所示 柱体 锥体 台体的体积公式之间的关系如下图所示 要点四 球的表面积和体积要点四 球的表面积和体积 1 1 球的表面积 球的表面积 1 球面不能展开成平面 要用其他方法求它的面积 2 球的表面积 设球的半径为 R 则球的表面积公式 S球 4 R2 即球面面积等于它的大圆面积的四倍 2 2 球的体积 球的体积 设球的半径为 R 它的体积只与半径 R 有关 是以 R 为自变量的函数 球的体积公式为 3 4 3 VR 球 要点五 侧面积与体积的计算要点五 侧面积与体积的计算 1 1 多面体的侧面积与体积的计算 多面体的侧面积与体积的计算 在掌握直棱柱 正棱锥 正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上 对于一些较简单的几何组合体的 表面积与体积 能够将其分解成柱 锥 台 球 再进一步分解为平面图形 正多边形 三角形 梯形等 以求得其表面积与体积 要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理 并要注意一些性质的灵活运用 1 棱锥平行于底的截面的性质 在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中 有如下比例关系 对应线段 如高 斜高 底面边长等 的平方之比 SSS SSS 小锥底小锥全小锥侧 大锥底大锥全大锥侧 要点诠释 要点诠释 这个比例关系很重要 在求锥体的侧面积 底面积比时 会大大简化计算过程 在求台体的侧面积 底面积比时 将台体补成锥体 也可应用这个关系式 2 有关棱柱直截面的补充知识 在棱柱中 与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面 正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的 截面 棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式 S棱柱侧 C直截 其中 C直截 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长 ll V棱柱 S直截 其中 S直截 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长 ll 2 2 旋转体的侧面积和体积的计算 旋转体的侧面积和体积的计算 1 圆柱 圆锥 圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积 因此弄清侧面展开图的形式及侧面 展开图中各线段与原旋转体的关系 是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键 2 计算柱体 锥体和台体的体积 关键是根据条件找出相应的底面面积和高 要充分运用多面体 的有关问题的关键 典型例题典型例题 类型一 简单几何体的表面积类型一 简单几何体的表面积 例 1 如右图 有两个相同的直三棱柱 高为 底面三角形的三边 2 a 长分别为 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱 则的取值345 0 aa a a a 范围是 答案 15 0 3 a 解析 底面积为 侧面面积分别为 6 8 10 拼成三棱柱时 有三种情况 2 6a 22 1 2 62 1086 1248saa 22 2 242 108 2436 saa 22 3 242 106 2432 saa 拼成四棱柱时只有一种情况 表面积为 22 86 24 62428aa 由题意得 解得 22 24281248aa 15 0 3 a 总结升华 1 直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积 表面积等于它的侧面积与上 下两 个底面的面积之和 2 求斜棱柱的侧面积一般有两种方法 一是定义法 二是公式法 所谓定义法就是利用侧面积为 各侧面面积之和来求 公式法即直接用公式求解 例 2 在底面半径为 R 高为 h 的圆锥内有一内接圆柱 求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高 并求 此时侧面积的最大值 思路点拨 一般要画出其轴截面来分析 利用相似三角形求解 答案 高为 侧面积的最大值为 2 h1 2 Rh 解析 如右图 设圆柱的高为 x 其底面半径为 r 则 rhx Rh R hx r h 圆柱的侧面积 2 22 2 RR Srxx hxxhx hh 侧 2 22 22 2422 RhhRhhR xx hh 当时 2 h x 2 hR S 侧最大值 即内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高为 此时侧面积的最大值为 2 h1 2 Rh 总结升华 与旋转体有关的问题 常作轴截面 利用相似比得出变量之间的关系 进一步转化成代 数问题解决 例 3 粉碎机的下料斗是正四棱台形 如图 它的两底面边长分别是 80 mm 和 440 mm 高是 220 mm 计算制造这一下料斗所需铁板的面积 思路点拨 问题的实质是求正四棱台的侧面积 欲求侧面积 需先求出斜 高 可在有关的直角梯形中求出斜高 答案 2 8 105 解析 如图所示 O O1是两底面的中心 则 OO1是正棱台的高 设 EE1是 斜高 过 E1作 E1F OO1交 OE 于 F 则 E1F OE 在直角梯形 OO1E1E 中 22 11 EEE FEF 22 111 OOEOEO 2 44080 2002 269 mm 2 边数 n 4 两底面边长 a 440 mm a 80 mm 斜高 h 269 mm 11 22 Scchn aah 正棱台侧 52 1 4 80440 2692 8 10 mm 2 答 制造这一下料斗约需铁板 2 8 105 mm2 总结升华 1 解决与正棱台有关的计算问题 关键是利用有关直角梯形 即上图中的梯形 OEE1O1 梯形 OAA1O1 梯形 AEE1A1 2 求棱台的侧面积 只需利用公式求解即可 这就需要求出上 下底面半径以及母线长 类型二 简单几何体的体积类型二 简单几何体的体积 例 4 已知一个三棱台上 下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形 侧面是全等的等腰梯形 且侧面面积等于上 下底面面积之和 求棱台的高和体 积 答案 4 3cm 2 1900cm 解析 如右图所示 在三棱台 ABC A B C 中 O O 分别为上 下 底面的中心 D D 分别是 BC B C 的中点 则 DD 是梯形 BCC B 的高 所以 1 3 2030 75 2 SDDDD 侧 又 A B 20 cm AB 30 cm 则上 下底面面积之和为 222 3 2030 325 3 cm 4 SS 下上 由 S侧 S上 S下 得 75 325 3DD 所以 13 3 cm 3 DD 310 3 20 cm 63 O D 3 305 3 cm 6 OD 所以棱台的高 22 22 13 310 3 5 34 3 cm 33 hO OD DODO D 由棱台的体积公式 可得棱台的体积为 3 h VSSS S 下下上上 222 4 3333 203020 301900 cm 3444 总结升华 注意构造简单几何体中的特殊三角形与特殊梯形 它们的数量关系往往是连接已知与 未知的桥梁 要注意利用 例 5 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则这个几何体的体积为 m3 答案 6 解析 由三视图可知这个几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的 其体积为等于圆锥的体积与长方体的体积之和 即 22 11 133 2 1 33 Vr habc m3 6 总结升华 给出几何体的三视图 求该几何体的体积或表面积时 首先根据三视图确定该几何体的 结构特征 再利用公式求解 此类题目是新课标高考的热点 应引起重视 解析 由三视图可知 其几何体是由一个正方体挖去一个圆锥 所得 所以其体积是正方体的体积减去圆锥的体积之差 即 2 8 3 类型三 球的表面积与体积类型三 球的表面积与体积 例 6 已知过球面上三点 A B C 的截面到球心的距离等于球半径的一半 且 AC BC 6 AB 4 求球 面面积与球的体积 答案 54 27 6 解析 如右图 设球心为 O 球半径为 R 作 OO1 平面 ABC 于点 O1 由于 OA OB OC R 则 O1是 ABC 的外心 设 M 是 AB 的中点 由于 AC BC 则 O1 CM 设 O1M x 连接 O1A O1B 易知 O1M AB 则 22 1 2O Ax 22 11 62OCCMO Mx 又 O1A O1C 2222 262xx 解得 7 2 4 x 111 9 2 4 O AO BOC 在 Rt OO1A 中 OO1A 90 OA R 1 2 R OO 由勾股定理得 2 2 2 9 2 24 R R 解得 3 6 2 R 则 S 球 4 R2 54 3 4 27 6 3 VR 球 总结升华 本题利用球面的性质 根据条件中的等量关系建立方程 例 7 已知正四棱锥的底面边长为 a 侧棱长为 2a 1 求它的外接球的体积 2 求它的内切球的表面积 答案 1 2 3 8 6 27 a 2 47 3 a 解析 如右图 作 PE 垂直底面 ABCD 于 E 则 E 在 AC 上 1 设外接球的半径为 R 球心为 O 连接 OA OC 则 OA OC OP O 为 PAC 的外心 即 PAC 的外接圆半径就是球的半径 AB BC a 2ACa PAC 为正三角形 2PAPCACa 2 6 2 coscos303 a AE Ra OAE 23 48 6 327 VRa 球 2 设内切球的半径为 r 作 PE BC 于 F 连接 EF 则有 2222 7 2 22 a PFPBBFaa 2 1177