2010版高考数学 五年高考三年模拟 第三节不等式组与简单的线性规划试题 新人教版

1 第三节第三节不等式组与简单的线性规划第一部分不等式组与简单的线性规划第一部分 五年高考荟萃五年高考荟萃 20092009 年高考题年高考题 一 选择题 1 2009 山东卷理 设 x y 满足约束条件 0 0 02 063 yx yx yx 若目标函数 z ax by a 0 b 0 的是最大值为 12 则 23 ab 的最小值为 A 6 25 B 3 8 C 3 11 D 4 答案 A 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 当直线 ax by z a 0 b 0 过直线 x y 2 0 与直线 3x y 6 0 的交点 4 6 时 目标函数 z ax by a 0 b 0 取得最大 12 即 4a 6b 12 即 2a 3b 6 而 23 ab 23 23131325 2 6666 abba abab 故 选 A 命题立意 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题 要求能 准确地画出不等式表示的平面区域 并且能够求得目标函数的最值 对于形如已知 2a 3b 6 求 23 ab 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 2 2009 安徽卷理 若不等式组 0 34 34 x xy xy 所表示的平面区域被直线 4 3 ykx 分为 面积相等的两部分 则k的值是 A 7 3 B 3 7 C 4 3 D 3 4 答案 B 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 ABC 由 34 34 xy xy 得 A 1 1 又 B 0 4 C 0 4 3 S ABC 144 4 1 233 设ykx 与34xy 的 x 2 2 y O 2 z ax by 3x y 6 0 x y 2 0 A x D y C O y kx 4 3 2 交点为 D 则由 12 23 BCD SS ABC 知 1 2 D x 5 2 D y 5147 2233 kk 选 A 3 2009 安徽卷文 不等式组 所表示的平面区域的面积等于 A 2 3 B 3 2 C 3 4 D 4 3 解析 由 340 340 xy xy 可得 1 1 C 故S阴 阴 14 23 c ABx 选 C 答案 C 4 2009 四川卷文 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元 每吨乙产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原料不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元 答案 D 解析 设生产甲产品x吨 生产乙产品y吨 则有关系 A 原 料 B 原 料 甲产品x吨 3x 2x 乙产品 y吨 y 3y 则有 1832 133 0 0 yx yx y x 目标函数yxz35 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标 经验证知 当x 3 y 5 时可获得最大利润为 27 万元 故选 D 5 2009 宁夏海南卷理 设 x y 满足 24 1 22 xy xyzxy xy 则 A 有最小值 2 最大值 3 B 有最小值 2 无最大值 C 有最大值 3 无最小值 D 既无最小值 也无最大值 答案 B 解析 画出可行域可知 当zxy 过点 2 0 时 min 2z 但无最大值 选 B 6 2009 宁夏海南卷文 设 x y满足 24 1 22 xy xy xy 则zxy 3 4 0 6 O 0 3 13 y x9 13 3 A 有最小值 2 最大值 3 B 有最小值 2 无最大值 C 有最大值 3 无最小值 D 既无最小值 也无最大值 答案 B 解析 画出不等式表示的平面区域 如右图 由 z x y 得 y x z 令 z 0 画出 y x 的图象 当它的平行线经过 A 2 0 时 z 取得最小值 最小值为 z 2 无最 大值 故选 B 7 2009 湖南卷理 已知 D 是由不等式组 20 30 xy xy 所确定的平面区域 则圆 22 4xy 在区域 D 内 的弧长为 B A 4 B 2 C 3 4 D 3 2 答案 B 解析 解析如图示 图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求 易知图中两直线的斜率 分别是 1 2 1 3 所以圆心角 即为两直线的所成夹角 所以 11 23 tan1 11 1 23 所以 4 而圆的半径是 2 所以弧长是 2 故选 B 现 4 8 2009 天津卷理 设变量 x y 满足约束条件 3 1 23 xy xy xy 则目标函数 z 2x 3y 的最 小值为 A 6 B 7 C 8 D 23 答案 B 考点定位 本小考查简单的线性规划 基础题 解析 画出不等式 3 1 23 xy xy xy 表示的可行域 如右图 让目标函数表示直线 33 2zx y 在可行域上平移 知在点 B 自目标函数取到最小值 解 方程组 32 3 yx yx 得 1 2 所以734 min z 故选择 B 8 6 4 2 2 4 15 10 551015 2x y 3 x y 1 x y 3 q x 2 x 3 7 h x 2 x 3 g x x 1 f x x 3 A B 9 2009 四川卷理 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元 每吨乙产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原料不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元 答案 D 考点定位 本小题考查简单的线性规划 基础题 同文 10 解析 设甲 乙种两种产品各需生产x y吨 可使利润z最大 故本题即 已知约束条件 0 0 1832 133 y x yx yx 求目标函数yxz35 的最大 5 值 可求出最优解为 4 3 y x 故271215 max z 故选 择 D 10 2009 福建卷文 在平面直角坐标系中 若不等式组 10 10 10 xy x axy 为常数 所 表示的平面区域内的面积等于 2 则a的值为 A 5 B 1 C 2 D 3 答案答案 D D 解析解析 如图可得黄色即为满足010101 yaxyxx的可行域 而与 的直线恒过 0 1 故看作直线绕点 0 1 旋转 当 a 5 时 则可行域不是一个 封闭区域 当 a 1 时 面积是 1 a 2 时 面积是 2 3 当 a 3 时 面积恰好为 2 故选 D 二 填空题 11 2009 浙江理 若实数 x y满足不等式组 2 24 0 xy xy xy 则23xy 的最小值是 答案 4 解析 通过画出其线性规划 可知直线 2 3 yxZ 过点 2 0时 min234xy 12 2009 浙江卷文 若实数 x y满足不等式组 2 24 0 xy xy xy 则23xy 的最小 是 命题意图 此题主要是考查了线性规划中的最值问题 此题的考查既体现了正确画线性 区域的要求 也体现了线性目标函数最值求解的要求 6 解析 通过画出其线性规划 可知直线 2 3 yxZ 过点 2 0时 min234xy 13 2009 北京文 若实数 x y满足 20 4 5 xy x x 则sxy 的最大值为 答案 9 解析 本题主要考查线性规划方面的基础知 属于基础知识 基本运算的考查 如图 当4 5xy 时 459sxy 为最大值 故应填 9 14 2009 北京卷理 若实数 x y满足 20 4 5 xy x y 则syx 的最小值为 答案 6 解析 本题主要考查线性规划方面 的基础知 属于基础知识 基本运算 的考查 如图 当4 2xy 时 246syx 为最小值 故应填6 15 2009 山东卷理 不等式0212 xx的解集为 答案 11 xx 7 解析 原不等式等价于不等式组 2 21 2 0 x xx 或 1 2 2 21 2 0 x xx 或 1 2 21 2 0 x xx 不等式组 无解 由 得 1 1 2 x 由 得 1 1 2 x 综 上得11x 所以原不等式的解集为 11 xx 16 2009 山东卷文 某公司租赁甲 乙两种设备生产 A B 两类产品 甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件 乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件 已知 设备甲每天的租赁费为 200 元 设备乙每天的租赁费为 300 元 现该公司至少要生产 A 类 产品 50 件 B 类产品 140 件 所需租赁费最少为 元 答案 2300 解析 设甲种设备需要生产x天 乙种设备需要生产y天 该公司所需租赁费为z元 则 200300zxy 甲 乙两种设备生产 A B 两类产品的情况为下表所示 产品 设备 A 类产品 件 50 B 类产品 件 140 租赁费 元 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为 5650 1020140 0 0 xy xy xy 即 6 10 5 214 0 0 xy xy xy 作出不等式表示的平面区域 当200300zxy 对应的直线过两直线 6 10 5 214 xy xy 的交 点 4 5 时 目标函数200300zxy 取得最低为 2300 元 命题立意 本题是线性规划的实际应用问题 需要通过审题理解题意 找出各量之间的 关系 最好是列成表格 找出线性约束条件 写出所研究的目标函数 通过数形结合解答问题 8 17 2009 上海卷文 已知实数 x y 满足 2 2 3 yx yx x 则目标函数 z x 2y 的最小值是 答案 9 解析 画出满足不等式组的可行域如右图 目标函数化为 xy 2 1 z 画直线 xy 2 1 及其平行线 当此直线经过点 A 时 z 的值最大 z 的值最小 A 点坐标为 3 6 所以 z 的最小值为 3 2 6 9 2005 20082005 2008 年高考题年高考题 一 一 选择题选择题 1 2008 山东 设二元一次不等式组 0142 08 0192 yx yx yx 所表示的平面区域为M 使函数 y ax a 0 a 1 的图象过区域M的a的取值范围是 A 1 3 B 2 10 C 2 9 D 10 9 答案 C 解析 本题考查线性规划与指数函数 如图阴影部分为平面区域 M 显然1a 只需 研究过 1 9 3 8 两种情形 1 9a 且 3 8a 即29 a 9 2 2008 广东 若变量xy 满足 240 250 0 0 xy xy x y 则32zxy 的最大值是 A 90 B 80 C 70 D 40 答案 C 解析 画出可行域 如图 在 10 20 B点取最大值 max 3 102 2070z 3 2007 北京 若不等式组 22 0 xy xy y xya 表示的平面区域是一个三角形 则a的取值范围 是 4 3 a 01a 4 1 3 a 01a 或 4 3 a 答案 D 4 2007 天津 设变量xy 满足约束条件 1 1 33 xy xy xy 则目标函数4zxy 的最大值 为 4 11 12 14 答案 B 16 14 12 10 8 6 4 2 y f x 3 8 2 10 1 9 10 5 2008 山东 10 2006 山东 已知 x 和 y 是正整数 且满足约束条件 7 2 2 10 x yx yx 则 x 2x 3y 的最小值是 A 24 B 14 C 13 D 11 5 答案 B 6 2006 广东 在约束条件 42 0 0 xy syx y x 下 当53 s时 目标函数yxz23 的最 大值的变化范围是 A 15 6 B 15 7 C 8 6 D 8 7 答案 D 7 2006 天津 设变量x y满足约束条件 63 2 xy yx xy 则目标函数yxz 2的最小 值为 A 2 B 3 C 4 D 9 答案 B 8 2006 安徽 如果实数xy 满足条件 10 10 10 xy y xy 那么2xy 的最大值为 A 2 B 1 C 2 D 3 答案 B 9 2006 辽宁 双曲线 22 4xy 的两条渐近线与直线3x 围成一个三角形区域 表示 该区域的不等式组是 A 0 0 03 xy xy x B 0 0 03 xy xy x C 0 0 03 xy xy x D 0 0 03 xy xy x 答案 A 10 10 2005 重庆 不等式组 1 1 log 2 2 2 2 x x 的解集为 A 0 3 B 3 2 C 3 4 D 2 4 11 设xy 满足约束条件 20 5100 0 0 xy xy x y 则2zxy 的最大值为 答案 11 解析 本小题主要考查线性规划问题 作图 略 易知可行域为一个四角形 其四个顶点 分别为 0 0 0 2 2 0 35 验证知在点 35 时取得最大值 11 11 2007 浙江浙江 设m为实数 若 22 250 30 25 0 xy x yxx yxy mxy 则 m的取值范围是 答案 0 0 m m 4 3 12 2007 湖南湖南 设集合 2 0 Axyyxx Bxyyxb AB 1 b的取值范围是 2 若 xyAB 且2xy 的最大值为 9 则b的值是 答案 1 1 2 9 2 14 2007 福建 已知实数 x y 满足 2 2 03 xy xy y 则2Zxy 的取值范围是 答案 5 7 解 令 1 2 x e 2 x 2 解得 1 x 2 令 2 3 log 1 x 2 x 2 解得 x 10 选 C 15 2006 全国 设2zyx 式中变量xy 满足下列条件 1 2323 12 y yx yx 则 z 的最大值为 答案 11 12 16 2006 北京 已知点 P x y 的坐标满足条件 4 1 xy yx y 点 O 为坐标原点 那么 PO 的最小值等于 最大值等于 答案 2 10 17 2005 山东设 x y满足约束条件 5 3212 03 04 xy xy x y 则使得目标函数65zxy 的值最大 的点 x y是 答案 2 3 18 2005 福建 非负实数yx 满足yx yx yx 3 03 02 则的最大值为 答案 9 19 2005 江西 设实数x y满足的最大值是则 x y y yx yx 032 042 02 答案 3 2 第二部分第二部分 三年联考题汇编三年联考题汇编 2009 年联考题 一 选择题 1 山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习 若实数x y满足不等式 1 1 022 4 0 x y yx yx y 则的取值范围是 A 3 1 1 B 3 1 2 1 C 2 2 1 D 2 1 答案 C 2 山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习 已知满足约束条件 3 0 05 x yx yx 则 yxz42 的最小值是 13 A 5 B 6 C 10 D 10 答案 B 3 福建省福州市普通高中 09 年高三质量检查 已知实数 yxz yx x yx yx2 3 05 则目标函数满足的最小值为 A 6B 3C 2 5 D 19 答案 B 4 北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试文 设实数x y满足 50 0 3 xy xy x 则 3zxy 的最小值为 A 6 B 3 C 5 D 27 答案 A 5 北京市崇文区2009年3月高三统一考试理 在如图所示的坐标平 面 的可行域内 阴影部分且包括边界 若目标函数 z x ay取得最 小值的最优解有无数个 则 y xa 的最大值是 A 2 3 B 2 5 C 1 6 D 1 4 答案 B 6 北京市崇文区2009年3月高三统一考试文 在如下图所示的坐标平面的可行域内 阴 影部分且包括边界 若目标函数 z x ay取得最小值的最优解有无数个 则a等于 A 1 B 1 C 3 D 3 答案 B 7 2009 福州三中理 已知 x y 满足 1 1 073 y x yx 则 S y x 的最大值是 答案 3 8 2009福州三中文 已知x y满足 1 1 073 y x yx 则S yx4 的最大值 答案 9 9 2009 厦门一中 设二元一次不等式组 14 2190 80 0 2140 x xy xyMyaa xy 所表示的平面区域为 若函数 1 a 的图象没 有经过区域 Ma则的取值范围是 答案 0 1 1 2 9 w w 10 2009 广东三校一模 若点y x 在不等式组 022 01 02 yx y x 表示的平面区域内 运动 则yxt 的取值范围是 1 2 A 1 2 B 2 1 C 2 1 D 答案 A 11 2009 东莞一模 已知点 yxP满足条件yxzk kyx xy x 3 02 0 若为常数的 最大值为 8 则k 答案 6 12 2009 茂名一模 已知实数 x y满足不等式组 20 40 250 xy xy xy 目标函数 zyax aR 若取最大值时的唯一最优解是 1 3 则实数a的取值范围是 答案 1 13 2009 湛江一模 若x y满足约束条件 30 03 0 x yx yx 则yxz 2 的最大值为 答案 9 14 2009 潮州实验中学一模 满足不等式组 0 087 032 yx yx yx 则目标函数yxk 3的 最大值为 答案4 15 15 山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习 已知变量 230 330 10 xy x yxy y 满足约束条件若目标函数 zaxy 其中 a 0 仅在点 3 0 处取得最大值 则a的取值范围为 16 山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习 已知变量x y满足 20 350 xy xy 则 2 2x yz 的最大值为 17 安徽省示范高中皖北协作区 2009 届高三第一次联考试题 已知函数 2 0 1 0 xx f x xx 则不等式 4f x 的解集为 答案 2 3 18 安徽省示范高中皖北协作区 2009 届高三第一次联考试题 已知实数 x y满足条件 10 10 330 x xyzyax xy 若使z取得最大值的有序数对 x y有无数个 则a 答案 1 3 19 山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习 某公司计划 2009 年在甲 乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告 广告总费用不 超过 9 万元 甲 乙电视台的广告收费标准分别为500元 分钟和 200 元 分钟 规定甲 乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告 能给公司带来的收益分别为 0 3 万元和 0 2 万元 问该公司如何分配在甲 乙两个电视台的广告时间 才能使公司的收益最大 最 大收益是多少万元 解解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟 总收益为z元 由题意得 300 50020090000 00 xy xy xy 3 分 目标函数为30002000zxy 5 分 二元一次不等式组等价于 300 52900 00 xy xy xy 作出二元一次不等式组所表示的平面区域 即可行 域 8 分 0100200 300 100 200 300 400 500 y x l M 16 如图 作直线 300020000lxy 即320 xy 平移直线l 从图中可知 当直线l过M点时 目标函数 取 得最大值 联立 300 52900 xy xy 解得100200 xy 点M的坐标为 100 200 10 分 max 30002000700000zxy 元 答 该公司在甲电视台做 100 分钟广告 在乙电视台做 200 分钟广告 公司的收益最 大 最大收益是 70 万元 12 分 1212 月份更新月份更新 一 选择题 1 2009 临沂一模 若实数 x y 满足 10 0 xy x 则 1 y x 的取值范围是 A 1 1 B 1 1 C 1 D 1 答案 B 2 2009 上海十四校联考 实数 x y 满足不等式组 yxk yx yx yx 3 0 087 032 则目标函数 的最大值为 答案 4 3 2009 临沂一模 如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分 包括 边界 则这个不等式组是 答案 0 1 220 x y xy 17 4 2009 上海闸北区 设实数yx 满足条件 32 0 yx yx x 则yxz 2的最大值是 答案 4 5 2009 日照一模理 设 222 43120 30 0 312 xy pxxyRq xyrxyR r xy