单元评估检测(五)

圆学子梦想 铸金字品牌 1 温馨提示 温馨提示 此套题为此套题为 WordWord 版 请按住版 请按住 Ctrl Ctrl 滑动鼠标滚轴 调节合适的观滑动鼠标滚轴 调节合适的观 看比例 答案解析附后 关闭看比例 答案解析附后 关闭 WordWord 文档返回原板块 文档返回原板块 单元评估检测单元评估检测 五五 第五章第五章 120 120 分钟分钟 150150 分分 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 1212 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 6060 分分 在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项 中中 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 已知数列 根据前三项给出的规律 则实数对 3 2 5 4 7 6 9 a 10 a b 可能是 A 19 3 B 19 3 C D 19 2 3 2 19 2 3 2 2 数列 an 中 a1 1 对所有的 n 2 都有 a1 a2 a3 an n2 则 a3 a5等于 A B C D 25 9 25 16 61 16 31 15 3 点 Pn n an n N 都在直线 y x 1 上 是 数列 an 为等差数列 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 在等比数列 an 中 a1 1 公比为 q 且 q 1 若 am a1a2a3a4a5 则 m A 9B 10C 11D 12 圆学子梦想 铸金字品牌 2 5 2014 郑州模拟 等差数列 an 中 2a3 2a11 0 数列 bn 是等比数列 且 a2 7 b7 a7 则 b6b8 A 2B 4C 8D 16 6 已知数列 an 的前 n 项和 Sn n2 9n 第 k 项满足 5 ak0 且 a1 a2 a3成等比数列 求 a1的值 3 是否存在 a1 使得 a1 a2 an 成等差数列 若存在 求出所有这样的 a1 若 不存在 说明理由 圆学子梦想 铸金字品牌 6 答案解析答案解析 1 解析 选 C 由 a b 8 a b 11 解得 a b 19 2 3 2 方法技巧 数列通项公式的一般求法 用观察 归纳 猜想 证明的方法 找数列的通项公式时 首先要注意观察各个式 子的特征 并据此把式子分解成几个部分 然后各个击破 对于正负相间的项 用 1 的指数式来予以调整 2 解析 选 C 因为 a1 1 当 n 2 时 a1 a2 a3 an n2 所以 a1 a2 a3 an 1 n 1 2 则得 an 1 n 1 2 所以 a3 a5 3 2 2 9 4 5 4 2 25 16 所以 a3 a5 故选 C 9 4 25 16 36 25 16 61 16 加固训练 在数列 an 中 a1 1 anan 1 an 1 1 n n 2 n N 则的值是 a3 5 A B C D 15 16 15 8 3 4 3 8 解析 选 C 当 n 2 时 a2 a1 a1 1 2 所以 a2 2 当 n 3 时 a3a2 a2 1 3 所以 a3 1 2 当 n 4 时 a4a3 a3 1 4 所以 a4 3 圆学子梦想 铸金字品牌 7 当 n 5 时 a5a4 a4 1 5 所以 a5 所以 2 3 a3 5 3 4 3 解析 选 A 若点 Pn n an n N 都在直线 y x 1 上 则 an n 1 an 1 an n 2 n 1 1 即数列 an 为等差数列 反之 若数列 an 为等差数列 点 Pn n an n N 不一定满足 y x 1 故选 A 4 解析 选 C 因为 a1 1 所以 am a1a2a3a4a5 q q2 q3 q4 q10 即 am a1q10 所 以 m 11 5 解析 选 D 因为 an 是等差数列 所以 a3 a11 2a7 2a3 2a11 4a7 0 解 a2 7 a2 7 得 a7 0 或 a7 4 因为 bn 为等比数列 所以 bn 0 b7 a7 4 b6b8 16 b2 7 6 解析 选 B an S1 1 1 2 即 an 8 1 10 2 2 因为 n 1 时也适合 an 2n 10 所以 an 2n 10 因为 5 ak 8 所以 5 2k 10 8 所以 k0 由 a1 2 a3 a2 4 所以 2q2 2q 4 即 q2 q 2 0 又 q 0 解之得 q 2 所以 an 的通项公式 an 2 2n 1 2n 2 Sn a1 b1 a2 b2 an bn a1 a2 an b1 b2 bn n 1 2 2 1 2 1 2 n 1 2 2n 1 n2 2 18 解析 1 因为 an 1 1 3 所以 an 1 1 1 1 3 2 2 3 故 1 1 1 3 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 圆学子梦想 铸金字品牌 11 所以 1 1 1 1 1 1 2 所以数列是公差为 的等差数列 1 1 1 2 而 a1 所以 1 3 1 1 1 1 1 3 1 3 2 所以 n 1 1 1 3 2 1 2 n 2 2 所以 an 1 an 1 2 2 2 2 n 2 2 由 1 知 an n 2 所以 bn 2 2 2 2 2 2 1 1 2 故 Tn b1 b2 bn 1 1 1 3 1 2 1 4 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 3 2 2 3 1 2 方法技巧 裂项相消法的应用技巧 裂项相消法的基本思想是把数列的通项 an分拆成 an bn 1 bn或者 an bn bn 1或者 an bn 2 bn等 从而达到在求和时逐项相消的目的 在解题中要善于根据这个基本 思想变换数列 an的通项公式 使之符合裂项相消的条件 在裂项时一定要注意把 圆学子梦想 铸金字品牌 12 数列的通项分拆成的两项一定是某个数列中的相邻的两项或者是等距离间隔的 两项 只有这样才能实现逐项相消后剩下几项 达到求和的目的 19 解析 1 因为 an 是等差数列 且 a3 5 a7 13 设公差为 d 所以解得 a1 2 5 1 6 13 a1 1 2 所以 an 1 2 n 1 2n 1 n N 在 bn 中 因为当 n 1 时 b1 2b1 1 所以 b1 1 当 n 2 时 由 Sn 2bn 1 及 Sn 1 2bn 1 1 可得 bn 2bn 2bn 1 所以 bn 2bn 1 所以 bn 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 所以 bn 2n 1 n N 2 cn anbn 2n 1 2n 1 Tn 1 3 2 5 22 2n 1 2n 1 2Tn 1 2 3 22 5 23 2n 3 2n 1 2n 1 2n 得 Tn 1 2 2 2 22 2 2n 1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 2 1 2 1 1 2 1 4 2n 1 1 2n 1 2n 3 2n 3 2n 所以 Tn 2n 3 2n 3 n N 加固训练 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn a1 2 当 n 2 时 Sn 1 1 an Sn 1 成 等差数列 1 求证 Sn 1 是等比数列 2 求数列 nan 的前 n 项和 Tn 圆学子梦想 铸金字品牌 13 解析 1 因为 Sn 1 1 an Sn 1 成等差数列 所以 2an Sn Sn 1 2 n 2 所以 2 Sn Sn 1 Sn Sn 1 2 即 Sn 3Sn 1 2 所以 Sn 1 3 Sn 1 1 n 2 所以 Sn 1 是首项为 S1 1 3 公比为 3 的等比数列 2 由 1 可知 Sn 1 3n 所以 Sn 3n 1 当 n 2 时 an Sn Sn 1 2 3n 1 又因为 a1 2 符合上式 所以 an 2 3n 1 n N 所以 Tn 2 4 3 6 32 2 n 1 3n 2 2n 3n 1 3Tn 2 3 4 32 6 33 2 n 1 3n 1 2n 3n 得 2Tn 2 2 3 2 32 2 3n 1 2n 3n 2n 3n 3n 1 2n 3n 2 1 3 1 3 所以 Tn 2 1 3 1 2 20 思路点拨 1 由 2S2 S3 4S4成等差数列求等比数列 an 的公比 然后写 出其通项公式 2 写出等比数列 an 的前 n 项和 Sn 表示 Sn 分 n 为奇数或偶数讨论其最大 1 值 进而得出证明 解析 1 设等比数列 an 的公比为 q 由 2S2 S3 4S4成等差数列 所以 S3 2S2 4S4 S3 S4 S3 S2 S4 可得 2a4 a3 于是 q 又 a1 所以等比数列 a4 3 1 2 3 2 圆学子梦想 铸金字品牌 14 an 的通项公式为 an 1 n 1 3 2 1 2 1 3 2 2 Sn 1 Sn 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 为奇数 2 1 2 2 1 为偶数 当 n 为奇数时 Sn 随 n 的增大而减小 所以 Sn S1 1 1 1 1 13 6 当 n 为偶数时 Sn 随 n 的增大而减小 所以 Sn S2 1 1 1 2 25 12 故对于 n N 有 Sn 1 13 6 21 解析 1 n 1 时 a1 S1 2 1 1 n 2 时 an Sn Sn 1 2n 1 2n 1 1 2n 1 所以 an 2n 1 显然 an 2n 1是递增的 故不存在常数 M 使 an M 恒成立 即不满足条件 an 不是上凸有界数列 2 设 bn 的公差为 d 则 b1 2 4 3 1 3 2 2 18 解得 b1 8 d 2 所以 Tn nb1 d n 1 2 8n 2 n2 9n 因为 n 1 2 T 2 2 Tn 1 1 0 2 1 1 2 b 2 1 2 d 2 所以 Tn 1 即 Tn 满足条 T 2 2 件 圆学子梦想 铸金字品牌 15 又 Tn n2 9n n 9 2 2 81 4 当 n 4 或 5 时 Tn取得最大值 20 即 Tn 20 满足条件 综上 Tn 为上凸有界数列 22 解析 1 a2 2 a3 0 a4 2 2 a2 2 a1 2 a1 a3 2 a2 2 2 a1 当 02 时 a3 2 a1 2 4 a1 所以 a1 4 a1 2 a1 2 得 a1 2 舍去 或 a1 2 22 综合 得 a1 1 或 a1 2 2 3 假设这样的等