构成抛物线焦点弦的充要条件.doc

构成抛物线焦点弦的充要条件 温州中学 童美亚抛物线焦点弦问题在抛物线里是内容比较丰富的一类问题，由于抛物线定义中“到焦点的距离等于到准线的距离”这一特殊性，抛物线的焦点弦也有很多比较特殊的性质，我觉得如果能够把这些性质搬上课堂，和学生一起探究总结这些结论，对于引发学生学习数学的兴趣，锻炼学生的总结归纳能力是很有好处的。于是我上了“抛物线焦点弦性质”这样一堂课，自我感觉还不错，思路比较顺畅自然，学生也配合得很好，直到下课时，他们还饶有兴致的讨论抛物线焦点弦是否还有其它性质。课间，学生的一个提问，让我想到，其实这堂课还有可以改进的地方。一、 问题的产生 下课的时候，有个学生问我精编上的一道题，已知抛物线y2=2px（p0）弦长|AB|=x1+x2+p,求证：弦AB经过焦点。平时我们碰到的一些问题都是已知AB为抛物线焦点弦，求证它的一些性质，没想到题目还可以这样反着来出，于是我想“刚才课堂上讨论的那些只是由AB为抛物线焦点弦所推出的一些结论，反过来，由这些结论，能不能推出AB就是抛物线焦点弦呢？”于是我对焦点弦问题有了更深一步的认识，我们不仅可以由抛物线焦点弦来研究它的性质，而且可以更进一步由焦点弦的性质来探究满足什么条件的弦才是焦点弦。二、问题的探究 设AB为抛物线y2=2px（p0）焦点弦，且坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，F为抛物线焦点，M为AB中点，A，B，M分别为A，B，M在准线上的投影1 考虑弦长问题1：AB是抛物线y2=2px（p0）的焦点弦,求AB长？分析：对于这个问题，只要稍加提示，学生解决起来还是比较容易的，只要根据抛物线定义，就可以得到|AB|=x1+x2+p.于是我追问：AB为抛物线的一条弦，弦长|AB|= x1+x2+p是AB成为焦点弦（即过焦点的弦）的充要条件吗？这个问题的提出学生显出比较大的兴趣，有些同学马上拿出笔和纸进行计算。算了几分钟之后我叫了几个同学回答。学生甲：要证A，B，F共线，可先证kAFkBF.学生乙：要证A，B，F共线，可先求出AB所在直线方程，F点坐标满足方程即可。学生丙：要证A，B，F共线，可先求出AB所在直线方程，F到直线AB的距离为0即可。学生丁：要证A，B，F共线，证|AF|+|BF|=|AB|即可。根据前三个学生的思路，计算未果。根据学生丁的思路，能比较容易就得出结论，因为|AF|=x1+p/2, |BF|=x2+p/2,|AB|= x1+x2+p,所以|AF|+|BF|=|AB|,结论成立。师生共同归纳得出结论1：抛物线y2=2px（p0）的弦长|AB|= x1+x2+p是AB成为焦点弦的充要条件。问题2：如果已知AB的倾斜角为，则AB的弦长和有和关系？设直线AB：与抛物线方程联立得： 追问：AB是抛物线的一条倾斜角为的弦，弦长|AB|= 是AB成为焦点弦的充要条件吗？让学生思考一会，发现用刚才四个学生提出的证明三点共线的方法在这里都难以发挥作用。显然，倾斜角为的弦是一族平行弦，根据抛物线的几何性质知这一族平行弦中没有两条长度是相等的，既然我们已经证明过焦点的且倾斜角为的弦AB长为，所以可以得到倾斜角为弦长为的抛物线的弦AB必经过焦点，为焦点弦。结论2：倾斜角为的抛物线的弦长|AB|=是AB成为焦点弦的充要条件。2.考虑弦的两个端点横纵坐标之间的关系。问题3：抛物线焦点弦的两个端点A,B的横（纵）坐标之和或之积为定值吗？分析：由式得追问：，是不是AB成为焦点弦的充要条件？分析：A,B两个点，只要有一个定下来，那么根据A,B纵（横）坐标乘积为定值这一条件，另一个点也可以定下来。设AF延长线交抛物线于B（x,y）,所以抛物线的弦AB过点F，根据上面所证得，,所以，所以B与B重合，所以抛物线的弦AB经过焦点F。结论3：抛物线y2=2px（p0）的弦的两个端点A(x1,y1)，B(x2,y2)满足关系式，是AB成为焦点弦的充要条件。再问：把上面的条件去掉一个，即是不是AB为焦点弦的充要条件？分析：显然不是的，因为由只能得到，而横坐标为的除了B点之外还有一个点，即B点关于抛物线对称轴的对称点，所以我们还不能判定AB过焦点F，但是我们知道横坐标为的只有关于抛物线对称轴对称的两点，这两点的区别就是纵坐标，所以我们只要在命题中再加一个条件即可判定B与B重合，所以AB过焦点F。所以结论3可以减弱为：抛物线y2=2px（p0）的弦的两个端点A(x1,y1)，B(x2,y2)满足关系式，是AB成为焦点弦的充要条件。再问：如果结论3的条件中去掉，留下，那么AB还是抛物线的焦点弦吗？根据上面分析可知，而在抛物线y2=2px（p0）中纵坐标为的只有一个即B，所以B和B重合，所以AB经过焦点F。所以结论3可以进一步减弱为：抛物线y2=2px（p0）的弦的两个端点A(x1,y1)，B(x2,y2)满足关系式是AB成为焦点弦的充要条件。3.考虑以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线准线的关系问题4：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线位置关系如何？分析：要判断直线和圆的位置关系，只要把圆心到直线的距离和圆的半径比较大小。,所以圆心到直线的距离等于圆的半径，所以以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切。追问：以抛物线的一条弦|AB|为直径的圆与抛物线的准线相切是这条弦成为抛物线焦点弦的充要条件吗？分析：因为以|AB|为直径的圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于半径，即,又因为所以,即弦AB过焦点F。师生共同归纳得出结论4：以抛物线的弦AB为直径的圆与抛物线的准线位是AB为焦点弦的充要条件。4.考虑A,O,B三点共线问题5：若AB是抛物线y2=2px（p0）的焦点弦，A,B为A，B在准线上的射影，求证：A,O,B三点共线，B,O,A三点共线。分析：可设A(x1,y1)，B(x2,y2)，A(，B（ ，O（0，0），所以A,O,B三点共线，同理易得B,O,A三点共线。追问：反之，在抛物线上取一点A延长AO与抛物线准线交与一点B，过B作准线的垂线与抛物线交与B，则弦AB过焦点F吗？分析：因为A,O,B三点共线，所以,即，即即即，由结论3的减弱条件可知AB过焦点F。归纳得出结论5：若AB是抛物线y2=2px（p0）的一条弦，A,B为A，B在准线上的射影， A,O,B三点共线是AB为抛物线焦点弦的充要条件。 后记：这节课最主要的就是培养了学生的一种逆向思维的能力，对于一个新产生的问题我们可以正向去思