求式子最值的几种常见的方法

求式子最值的几种常见的方法 我任教新教材已有二个轮回了 通过这几年教 学和学习中 总结了几种求式子最值的常用方法 式 子最值主要还是求函数最大值和最小值 第一种方法是熟练利用基础函数的一些性质 基 础函数包括指数函数 对数函数 幂函数 三角函数 这此函数图像和性质 学生必须牢牢记住掌握 比如 二次函数在实数内求最值 只求对称轴函数值即可 再加上开口方向就定出最大或最小值 比如 y sinx 有实数内求最大或最小值 掌握正弦函数性质 直接 指出最大值是 1 最小值是 1 若求基础函数在定义 域内某一个区间内最值 就得看此区间函数单调情况 再求最值 方法二 利用单调性求最值 比如 y 1x 2 在 区间 3 4 上最值 先证明 y 1x 2 在 3 4 上是单调 递减的 所以 x 3 时 y 最大 1 x 4 时 y 最小 1 2 方法三 利用线性规划求最值 例如 若变量 x y 满足 y 1x y 0 x y 2 0 则 z x 2y 取值范围点 A 1 3 B 3 1 C 3 3 D 1 1 先画可行域 画直线 x 2y 0 平移直线 x 2y 0 在可能域内求使 z x 2y 产生最值的最优解 代入 z x 2y 选 C 有些函数最值还可以把线性规划问题加深求非线 性目标函数最值 常利用式子几何意义来求 如 已 知实数 x y 满足约束条件 x 1y 0 x y 1 则 x 2 2 y2 最小值是 解决这个问题利用几何意义在可行域内找一点到 2 0 点距离平方最小 最后得 9 2 这些类型还 有利用斜率意义等 方法四 利用不等式求最值 利用不等式求最值 常用基本不等式 2 a 0 b 0 则 a b 2ab 这个式子必须有一个固定 值 当 a b 确定能求出 ab 积最大值 当 ab 积固定 时能求出 a b 的最小值 但在 a b 前提下 老师在教 学中给同学总结一正 二定 三相等 例如 设 a b c n N 且 1a b 1b c na c 恒成立 求 n 的最 大值是 A 2 B 3 C 4 D 6 解决这道题实际上就是求 a c 1a b 1b c 的 最小值 上式变形 a b b c 1a b 1b c 展开 后利用重要不等式求出选 C 利用不等式 2 求最值例 子很多 但利用不等式 1 a2 b2 2ab a b 是实数题型也有 例如 在 ABC 中 A B C 所对边 a b c 若 a2 b2 2c2 求 cosC 最小值为 A 32 B 22 C 12 D 12 解这道题先用余弦定理 cosC a2 b2 c22ab 再利 用不等式 1 放缩 a2 b2 c22ab a2 b2 c2a2 b2 c22c2 12 选 C 方法五 利用函数求导方法求最值 例求函数 f x x3 x2 x 在 2 1 上最大值与 最小值 先求 f x 的导 y 3x2 2x 1 令 y 0 求根 x1 1 x2 13 再求 f 2 f 1 f 13 f 1 的函数值 再选出函数值最大的 最小的 求式子最值的方法很多 比如换元法 数形结合 等 具体问题具体解决 比如求圆上一点到圆外直线 距离最大 最小 只求圆心到直线距离加半径或减半 径 表面上是考查点到直线距离公式 实际上可以归 纳到利用几何意义求最值 通过平时练