浅谈用数学思想来解决经济生活中利润类问题

浅谈用数学思想来解决经济生活中利润类问题浅谈用数学思想来解决经济生活中利润类问题 崔 园 宁波经贸学校 摘要摘要 本文探讨了如何用数学思想来解决经济生活中碰到的求利润 最大利润这样的一类应用题 用 方程思想可解决售价进价是不变的一类问题 而当售价进价变化时 我们则往往用函数思想来解决 且这两类问题中的销售量是常量或只是一般变量 而当问题进一步复杂化时 问题中的利润或销售量 不是一般变量而是随机变量时 我们往往会用数学期望等相关知识来解决 关键词关键词 方程思想 函数思想 数学期望 最大 利润 利润类应用题是生产经营中经常遇到的问题 是一个社会人尤其是商业人需要去关注的问题 作 为职业学校的数学教师 我觉得我有责任将数学与专业有机地结合起来 让数学为专业服务 所以我 觉得有必要将利润类应用题渗透到我们的数学课堂中 甚至有必要将它作为一个模块编入校本教材中 下面我浅谈一下如何用数学思想来解决经济生活中的利润类问题 一 一 用方程思想解决利润类问题用方程思想解决利润类问题 用方程思想解决的是最简单的一类利润 折扣问题 这是小学初中数学中经常出现的应用题 解 决这一类问题关键在于看清题意 列出方程 当然也可以是不等式 但其本质不变都是简单的套用公 式类的题目 核心公式 利润 收入 成本 下面我们来看几个例子 1 一种商品 甲店进货价比乙店便宜 12 两店同样按 20 的利润定价 这样 1 件商品乙店比甲店多 收入 24 元 甲店的定价是多少元 解析 设乙店进货价为元 可列方程 解得 故甲店定x24 121 2020 xx1000 x 价为 1000 1 12 1 20 1056 元 2 某公司经营甲 乙两种商品 每件甲种商品进价 12 万元 售价 14 5 万元 每件乙种商品进价 8 万 元 售价 10 万元 且进价售价不变 现准备购进甲 乙两种商品共 20 件 所用资金不低于 190 万元 不高于 200 万元 求 1 该公司有哪几种进货方案 2 该公司采用哪种进货方案可获得最大利润 最大利润多少 解析 设购进甲种商品件 乙种商品件 由题意 解得xy20 yx200812190 yx 且必须是整数 所以 所以有 3 种进货方案 设利润为 则105 7 xx10 9 8 xz 所以当选择方案 3 即当时 可获最大利润 最大405 025 2 xyxz10 10 yx 利润为 45 万元 对于上述 2 题关键在于学生能根据利润 成本 收入的核心公式列出方程 第 1 题是小学数学中 的应用题 比较简单这里就不赘述了 而第 2 题则是初中数学中的应用题 涉及到不等式和方程组的 一些知识 尤其是在求第 2 问时 利润 对于此题初中常用的方法可能是 3 种方案yxz25 2 8 12 9 11 10 10 罗列出来后 用分类讨论的思想将 3 种方案的利润都求出来比较利润 大小求得最后答案为选方案 3 其实此题也可用函数的思想来解决 因为利润 405 025 2 xyxz 此函数为一次函数 单调递增 则意味着越大值越大 所以当时 即选方案 3 时 0 kxz10 x 获取最大利润 解决这一类应用题 其核心思想都是方程 本质是对成本 收入 利润这些基本概念的理解 并 列出相关式子 二 用函数思想解决利润类问题二 用函数思想解决利润类问题 所有商人追求的都是利润最大化 而最大利润的获得往往只有两种途径 一是薄利多销 二是提 高售价 薄利未必多销 因为需求有限 而提高售价又往往会使销量减少 所以如何定好价 是经营 决策中一个非常重要的问题 所以问题较第一类复杂了些 第一类问题中的售价进价往往是不变的 那么当售价进价变化时我们又该如何来解决呢 下面我们来具体看几例 1 某商店购进一批单价为 40 元的商品 如果以 60 元的价格销售则每个月能卖出 300 件 根据市场调 查 销售单价每提高 1 元 则销售量减少 10 件 每降低 1 元 则销售量提高 20 件 问如何定价才能 获得最大利润 解析 即提高 5 元时 获最大利润 6250 6250 5 10 10300 20 2 1111 xxxy 而由得降低 2 5 元 获最大利润 6125 元 6125 5 2 20 20300 20 2 2222 xxxy 所以两者比较后 应提高 5 元 这样才能获最大利润 6250 元 2 一家旅社有客房 300 间 每间房租 20 元 每天都会客满 旅社欲提高档次 并提高租金 如果每 增加 2 元 房客出租数会减少 10 间 不考虑其他因素时 旅社将房间租金提高到多少时 每天房客的 租金收入最高 解析 设提高个 2 元 则将有间空房空出 每天客房租金总收入为xx10 则当时 8000 10 20 10300 220 2 xxxy10 x8000 max y 即每间租金为元时 每天租金总收入最高 为 8000 元 4021020 我们可以把客房看成是商品 则租金就是售价 租出的客房间数就是销量 所以其本质是和第一 题一样的题目 区别在于第二题售价只提高不减少 而第一题售价即可提高又可降低 且销量随售价 的提高和降低是不同的关系式 所以我在这里举了两例 总之上述两例的售价都不是固定的 销量随售价的变化而变化 所以可得出利润关于售价的变化 量之间的函数关系式 这个关系式往往是二次的 所以用二次函数求最值的知识就可解决 但是我们也可以发现这两例中成本是不变的 且销量关于售价的函数是一次的 那么如果成本也 跟着变化或者销量关于售价的函数不是一次的 那么这样的例子我们又该如何解决呢 下面我们再来 看两例 3 霓虹化妆品生产企业为了占有更多的市场份额 拟在 2010 年度进行一系列的促销活动 经过市场 调查和测算 化妆品的年销量万件与年促销费用 万元之间满足与成反比例 如果不搞促xtx 31 t 销活动 化妆品的年销量只能是 1 万件 已知 2010 年生产化妆品的固定投资为 3 万元 每生产 1 万件 化妆品需再投资 32 万元 当将每件化妆品的售价定为 年平均成本的 150 与 年平均每件所点促 销费的一半 之和 则当年的产销量相等 求当该企业 2010 年的促销费投入多少万元时 企业的年利 润最大 y 解析 由题意 代入得 则年销量 售价为 3 1xkt 0 1 tx2 k 1 23 tx 则 x t x x 2 323 2 3 2 1 1 32 50 323 2 323 2 3 t t txx x t x x y 由均值不等式得当时 万元 7 t42 max y 4 某工厂生产某种产品 已知该产品的月生产量 吨 与每吨产品的价格 元 吨 之间的关系xp 式为 且生产吨的成本为 元 问该产品每月生产多少 2 5 1 24200 xp xxR20050000 吨时能获取最大利润 最大利润多少 解析 设每月生产吨的利润为元 则xy 由5000024000 5 1 20050000 5 1 24200 32 xxxxxy24000 5 3 2 xy 得舍去 此时 则每月生产 200 吨时获最大利润 315 万元 200 200 x3150000 max y 第 3 题的成本是变化的 既涉及促销费用又涉及固定投资和追加投资 而第 4 题是售价关于销量 是二次的且成本也变化的题目 所以在解这 2 题时肯定比前 2 题要复杂些 对于第 3 题其列出来的函 数经过整理后为 对于这一问题求最值 用均值不等式最为简单 而对 0 2 1 1 32 50 t t t y 于第 4 题的求解 因为其函数列出来经过整理后为 是三次的 0 5000024000 5 1 3 xxxxf 函数求最值 那么我们当然可以使用导数的知识来解决此问题 上述例题虽然使用了不同的方法来求最大利润 但其本质是一致的 都是列出利润关于销量或售 价的函数后 求函数最值的问题 所以用函数思想来解决求利润最大的问题是极有效的一种思想 三 用数学期望解决利润类问题三 用数学期望解决利润类问题 数学课堂中的实际应用问题都是简化了的有很多假设的数学模型 实际问题则更加复杂化 多元 化 经济生活中我们追求利润 利益的最大化 供不应求和供过于求都不利于利润的最大化 但需求 量 销售量 供应量都是不是简单直观的量 批量生产有助于降低成本但并非生产越多越好 而需 求量更是不好预测的量 它可能随定价的高低 经济形势的好坏 对手公司是否推出类似产品 市场 上是否有其他替代品而有很明显的变化 所以需求量 销售量 往往是一个随机变量 所以理性的决 策者会想方设法建立更贴近现实的数学模型 在解决利润效益类问题时 理性的商家往往可以根据过 去的数据 概率 利用数学期望等有关知识来制定最佳生产和销售策略 比如 1 某人用 10 万元进行为期一年的投资 方案有两种 一是购买股票 二是存银行获取利息 买股票 的收益决定于经济形势 若形势好可收益 4 万元 若形势中可收益 1 万 若形势差则亏本 2 万 如果 存银行 假设年利率为 10 可得利息 1 万元 又设经济形势好 中 差的概率为 0 3 0 5 0 2 试 问选择哪种方案能使投资回报率最大 解析 此题为投资收益类题目 其实质仍可归结为求利润最大的问题 存银行获取利息的收益是不变 的 而投资股票则收益高但同时也伴随着风险 经济形势好时收益好 而经济形势差时则要亏损 事 先不知道哪种形势会出现 所以要比较两种投资方案获利的期望大小 购买股票的获利期望为万元 存银行的获利期望为万3 12 0 2 5 013 04 1 E1 2 E 元 因为 所以选择投资股票 21 EE 2 某商场某产品每周的销售量是一个随机变量 分布列为 而 20 11 1 0 kkP Zk 商场每周的进货量为区间中的某一整数 每销售一件可获利 5000 若供大于求 则每积压一 20 11 件产品亏损 1000 若供不应求 则从其他商店调剂 仅获利 2000 元 问此商场初进货 包括存货 应为多少才能使周平均利润最大 解析 该题每周的销售量是一个离散型的随机变量 是等概率的分布列 则每周的利润是销售量 的函数 也为随机变量 设商场初进货 包括存货 每周为 每周利润为随机变量 则 n 20 20003000 20005000 5000 12 11 10006000 10005000 nnnn n nnn 1 0 kP 73800 18 20090007200200 20 2 201 200 20 300500 11 100 11 2 1 11 600 200300 500 100600 20003000 1 050001 0 10006000 1 0 22 1 11 20 1 1 11 20 1 nnn n n nnnnnn n nnn nnnE n n n n 所以当时 即周进货量为 18 件时 周平均利润最大 为 73800 元 18 n 3 国际市场每年对我国某种出口产品的需求量在上服从均匀分布 每出口 1 吨可获X 4000 2000 利 3 万元 积压 1 吨则亏损 2 万元 问该公司应准备多少吨该种货物 才能使所获利润最大 解析 该题的需求量是一个连续型的随机变量 利润是需求量的函数 XLX 设准备吨 则利润y40002000 y 4000 3 2000 23 Xyy yXXyX XL 又已知的概率密度函数为X 其它 0 40002000 2000 1 X Xf 由于是随机变量的函数 故其数学期望为 XLX 4000 2000 2000 1 3 2000 1 25 y y dXydXyXdXXfXLXLE 1016000 2 5 2000 1 72 yy 则是关于的一个二次函数 求最值由配方法可得当时 最大 XLEy3200 y XLE 所以该公司应准备 3200 吨该种货物 才能使所获利润最大 对于上述 3 例 题目则比前两类例题要复杂得多 有更多不确定的因素而使可能出现的结果也是 不确定的 在解决这类利润效益类问题时 理性的商家往往可以根据过去的数据 概率 利用数学 期望等有关知识来制定最佳生产和销售策略 第 1 题是相对较简单的题目 因为其收益 利润 是一 随机变量 求其数学期望值则只需进行简单的加减运算即可 而第 2 第 3 题 因为其需求量 销售 量 是一个随机变量 而利润是关于需求量的函数 所以问题就复杂得多了 这两题的区别在于第 2 题中销售量是离散型的随机变量 而第 3 题中的销售量是连续型的随机变量 所以第 3 题还用到了微 积分的相关知识 综上所述 解决利润类的应用题 我们可用方程思想 函数思想或用数