探究转化 三角形的面积4

1 实实 探究探究 方能真方能真 感悟感悟 对三角形面积对三角形面积计算公式推导中渗透计算公式推导中渗透 转化转化 思想思想的思考的思考 唐建平 奉节县教科所 论文类别 学科教学类 学段 小学 学科 数学 摘要 摘要 转化思想是一种重要的数学思想 常常处于潜形态 蕴含在小学数学教材各知识领域中 本文通过对 三角形的面积 教学案例的剖析 谈谈课堂教学中如何让探究学习从形式走向实质 教 师在引导中渗透 学生在活动中真正感悟体验转化思想 关键词 关键词 探究学习 渗透 转化数学思想 思考 新修订数学课标强调学生通过数学学习不仅能获得基本的知识技能 更要获得基本的 数学思想方法 转化思想是一种重要的数学思想 蕴含在小学数学教材各知识领域中 在 教学中需要教师渗透和学生感悟 最近我听了五节 三角形的面积 教学 值得欣慰的是 教学中都体现了转化的思想和学生探究学习 但总觉得这个探究和转化只是一种虚假的形 式 缺乏实效 现摘取 三角形面积公式推导 的片断 谈谈我的想法 片断概述 片断概述 几位老师的共同做法是 在揭示课题后 让学生运用转化的方法自己推导出三角形的 面积公式 都以小组合作的形式进行了两次探究操作活动 第一次 把不同类别的三角形 拼成以前学过的会计算面积的图形 并从拼摆中思考怎样的两个三角形才能拼成 第二次 引导观察拼好的图形 找出原来的三角形和所拼的图形有什么关系 从而推导出三角形的 面积公式 不同的是提供的学具以及引入和交流的方式 师 1 播放 曹冲称象 的动画视频 引入课题 曹冲能运用转化的方法称出大象 可见 转化 是一种重要的解决问题的策略 今天我们就用转化的方法来学习三角形的面 积 你们能自己将三角形转化成学过的图形吗 接着给每小组提供一个学具袋 里面 装有相同的钝角 锐角 直角三角形各一对 学生每人选择学具拼摆 2 师 2 平行四边形的面积公式是怎样得到的 转化成长方形来的 那么能用这种 转化的方法推导出三角形的面积公式吗 接着为每小组提供一个平行四边形 长方形 正 方形 剪刀 学生开始操作 师 3 5 首先让学生算出一个平行四边形花坛的面积 再把这个花坛平均分成了两个 三角形 要求 你们能不能用转化的方法算出三角形的面积 用老师准备的图形 每组类 别不同 两个一样的三角形 自己拼成学过的图形 再推出三角形的公式吧 接着出示 操作提示 1 用两个 三角形拼成了一个 2 新拼成的图形的底和 高和原来三角形的底和高 3 三角形的面积公式是 学生读后开始 操作讨论 2 3 分钟后 每位老师都让学生按三角形的三种类别进行交流汇报 并将拼成的图形 展示在黑板上 未演示拼的过程 师 1 通过课件演示了三种不同的一对三角形通过平移 旋转拼成学过的图形的动画过程 并引导学生说出三角形的面积 底 高 2 接着又设 问 还能用其他方法吗 于是又演示了用一个三角形剪 割补 折等方法也剪拼成 一个平行四边形或长方形 并讲解转化成的平行四边形的底是原来三角形的一半 未验证 高是原来的高 所以 新的平行四边形的面积是三角形的底的一半乘高 即 三角形 底 2 高 也可以写成 三角形 高 2 底 其他四位老师也都演示了三种不同的一 对三角形拼成学过的图形 却没有平移 旋转等过程 学生在老师的引导下都很快填好了 空 得出结论 无论是哪种三角形 面积的计算公式都是底乘高底 高 2 思考 思考 这几个推导三角形面积公式的片断 看似都是学生自己在操作 观察 得出结论 但这种被动简单的拼图是真正地探究学习吗 转化 一定要老师说出来吗 显然不是 三角形面积这个新知识的基础是长方形 正方形 平行四边形的面积公式及三角形底和高 的认识 新旧知识的连接点是图形的转化和变换 在教学新知识之前老师的情境引入和复 习平行四边形面积公式的推导过程 唤起 转化图形 建立联系 推导公式 的学习方法 的认识 是为新知识的学习做好知识的 能力的以至情感方面的准备 也是充分利用已有 知识和学习经验 值得肯定 第一位老师能提供各种三角形让学生自主选择 有利于学生 发现 必须是两个完全相同的三角形才能拼成平行四边形或长方形 最后设问 还有别的 方法吗 这具有一定的思考性和开放性 体现了探究 课件动画的演示也直观展示了 转化 思想 但遗憾的是只是自己演示 设问而不是追问 没给学生充分展示表达推导 过程和验证第二种方法的机会 而第二位老师让学生从平行四边形和长方形中去找三角形 3 学生就是剪开又合拢 转化从何体现 其他几位老师提供的每组都只有一对三角形 学生 随意就能合成一个长方形或平行四边形 且按提示机械操作 没有思考的空间 也没有让 学生去仔细思考表述拼的步骤方法 又怎能体会转化 老师讲的转化方法 学生仅仅理解 为 变形 在操作中只是在 拼 到底为什么要拼成平行四边形呢 并不清楚 其 实 数学思想常常处于潜形态 是不能像知识一样讲授的 只能在教学中渗透 学生在探 究中感悟体验 那么 如何渗透和真正体验感悟呢 一 认识一 认识 转化转化 的意义 在引导中渗透的意义 在引导中渗透 转化也称化归 它是指将未知的 陌生的 复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的 熟悉的 简单的问题 从而使问题顺利解决的数学思想 其本质是用联系 运动和发展的 观点去看问题 通过变换问题的形式 把未解决的或复杂的问题归结到已经能解决的或简 单的问题中去 从而获得对原问题的解决 转化思想是解决数学问题的基本思路和途径之 一 也是小学几何图形面积的公式推导的主要方法 然而像第二位老师那样让学生先从长 方形或平行四边形中得出三角形 再推导三角形面积公式 这就将简单问题复杂化了 反 而加大了学习新知的难度 我认为这不是真正意义上的转化 任何一种新的数学知识 总是原有知识发展和转化的结果 奥苏泊尔曾经说过 所 有新知的学习都是建立在其已有知识经验之上的 所以 学生的学习是从 已知 到 新知 的转化过程 其实质是知识的 迁移和重构 因此转化有利于新知识与旧知识 建立起联系 让学生利用已有的识经验推动新知识的学习 在转化的过程让学生经历知识 的形成过程 有利于促进学生对知识的理解和学习能力的发展 教学中 教师要将渗透数 学思想作为一项重要教学目标 在引导学生学习中 通过创设情境 故事引入 复习铺垫 联想对比等方法 逐步渗透一些转化的思考方法 让学生用转化的观点去学习新知识 分 析新问题 从而实现学习正迁移 较快地提高学习质量 培养学生解决问题的能力 当然 在新知的学习中 转化 不是孤立的 往往是与其他数学思想方法紧密相连 共同发挥 作用的 如三角形转化成平行四边形后 学生必需经历观察对比 新旧图形的联系 归 纳推理 特殊的类别到一般三角形 抽象 模型 公式文字 字母形式 等过程 才 能推导出面积公式 二 提高探究二 提高探究的实效 在活动中感悟的实效 在活动中感悟 自主探究是学生学习数学的重要方式之一 真正地数学探究学习 应为学生提供充分 的质疑 讨论 思考 表达的机会 课堂充满着观察 实验 推断等探索性与挑战性活动 三角形面积公式的推导 属典型的探索性学习内容 教材明确提示应采用转化的方法 4 因此教学中必须渗透转化思想 教师要放手让学生真探究 不牵着学生鼻子走 从而提高 探究的实效 让学生在具体的探究活动中自主发现 解决问题 感悟到转化思想方法的必 要性和优越性 1 独立思考 办法自想 独立思考是合作探究的前提 学生已有推导平行四边形面积公式的经验 当看到一个 三角形 面对怎样求面积的新问题时 让学生先猜想三角形的面积可能与什么有关 再根 据各自不同的生活经验和理解 想到不同的办法 有的可能会折 有的学生会剪 拼 即 自己想到转化的方法 并说说 转化 的思路 然后进行尝试操作 在大小不一样的三角 形中 尝试选择两个完全一样的三角形才能拼成学过的图形 这个自想办法和发现就是一 个探究的过程 也是一个感悟转化思想的过程 而课例中几位老师一开始就告诉学生运用 转化的方法去拼 这不是渗透 而是直接讲解 而且准备的都是两个完全一样的三角形 拼一下 对学生来说是很容易的事情 这严重禁锢了学生思维 学生只是机械的操作 表 面是体现了转化 其实学生没有思考的空间和转化的意识 看到的只是是一种变形 没感 悟数学思想 这种没有思维含量的操作 只是一种无效的形式化的实践活动 不是真正地 探究 2 探究层层递进 转化步步深入 自主探究一般需经历提问 思考 猜测 验证 结论的过程 教材在研究三 角形的面积计算公式时 没有给出推导的过程 其意图在于给教师和学生留下较大的创造 空间 使学生从多种途径探索 转化是解决这个问题的基本方法 而转化思想的渗透是一 个逐渐的过程 需要浸润和滋养 而不是灌注和告之 因此 教师应理解编者意图 引导 学生按一定程序操作 如观察猜想 联想回忆 操作发现 验证归纳 问题解决 探究中 教师要注意把握和推进三个层次的关系 1 知识结构的内在关联 转化的前提是新旧知识间有内在的联系 在三角形面积 教学中渗透转化思想 教师首先必须对平面图形面积计算问题进行内在的知识结构分析 要透过各图形表面的不同去寻找他们之间共有的内在本质联系 引导学生发现转化的基本 方法 如平行四边形要转化成长方形的前提是要找到直角 三角形要转化成长方形的前提 也是要找到直角或斜边上的中点 而三角形要转化成平行四边形的前提是要找到平行线 在推导三角形的面积时 学生受上节课的影响 可能局限在用一个三角形上 很难发现图 形之间的内在关系结构 转化不一定能成功 教师应有意识地将一个长方形或平行四边形 分成两个同样的三角形 把学生的思维从上节课的转化方式中拓展出来 为学生发现图形 5 之间的内在关系结构做铺垫 引导他们想到用两个三角形拼成平行四边形或长方形的方法 在此基础上 独立实践 相互模仿 并进一步反思自己的操作结果 用这种方法对所有的 三角形都适用吗 这实际上就是找图形间的关联结构 学生把握了这个关系结构就找到了 解决问题的基本方法 转化 也为后面的学习积累了数学活动分经验 2 探究过程的层次递进 根据知识之间的结构关联性 可以循序渐进地让学生分 层自主探究 第一层 操作学具 感知形变 准备各种大小形状不同的三角形各一对 给充裕的时 间让学生自己找 比 拼 并记录拼的过程 选图 平移 旋转 平移 合成 从而 发现用两个完全一样 全等 的三角形 可以拼成一个长方形 正方形或平行四边形 在 交流中 要求边演示学具边口述思维过程 在广泛地交流中 让学生进一步发现无论什么 三角形 只要是两个完全一样都能拼成 这样形象直观感知和体验图形的转化过程 第二层 观察思考 找到关联 形变后 教师要引导学生观察拼成的正方形 长方 形或平行四边形与原三角形的关系 帮助学生明确 变 不是盲目随意的变 不是为了变 而变 而是在 变 的基础上能找到变化前后的关系 这是很关键的一步 教师要努力引 导学生发现图形转化前后线段之间的对应关系和面积的相等关系 一半关系 感悟三角形 的底和高与拼成的图形的长方形的长与宽或平行四边形底和高的转化 第三层 推导公式 建立模型 前两步的最终目的是要获得未知图形面积计算的结论 根据转化前后图形之间各部分的对应关系 思考它们面积之间的关系 最终推导出公式 三角形的面积 底 高 2 可以直接去掉平行四边形中的一个三角形 让学生进一步体 验除以 2 同时用可以用字母形式来表达从已知推理未知的过程 这是渗透模型思想 发展学生逻辑思维的重要资源和手段 第四层 深化认识 加深感悟 为了使学生加深对三角形面积计算公式的理解 可再 次动手 动脑 引导学生只用一个三角形通过割补 折叠等方式实现转化 教师再利用课 件动态演示三角形转化的过程 直观感知从 形变 到 质变 验证探究结论的正确性 进一步体验公式的由来 并从从特殊到一般 用不完全归纳法得出所有三角形的面积 底 高 2 再次加深对转化 归纳 抽象等数学思想的感悟 3 注重交流提炼 发展数学思维 学生通过直观操作尝试 发现转化的方法后 思维的兴奋点会始终停留在具体拼折的 方法上 这只是一种直觉思维 如果教师对 为什么能转化成功 在这些活动中图形 之间的联系是什么 等没有追问 再到下个内容的学习时 学生的水平依然停留在自己 6 摸索到的几种偶然成功的方法上 就不会体悟到转化成功的必然性 体悟到转化背后的道 理 因此 即使学生具备了一定的知识经验 教师也